Релятивістські ефекти для руху планет сонячної системи

Продовження. Початок: 

Максимально просто про загальну теорію відносності https://valeriyshvetsscience.blogspot.com/2025/03/blog-post_23.html

Зовнішній розвйазок Шварцшильда                https://valeriyshvetsscience.blogspot.com/2025/03/blog-post_23.html 

    Раніше ми розглянули гравітаційне поле, створюване нерухомою сферично-симетричною масою за її межами в рамках релятивістської теорії гравітації. Тепер розглянемо рух матеріальної точки  у такому полі і проаналізуємо релятивістські поправки до її закону руху.

       Традиційним для релятивістської теорії гравітації є трактування гравітаційного поля , як геометричного ефекту. Тобто джерело гравітаційного поля відповідним чином змінює геометрію простору. З математичної точки зору геометрія чотиривимірного простору-часу повністю описується метричним тензором. Джерело гравітаційного поля впливає на вигляд цього тензора, тим самим впливаючи на геометрію простору.  Чим ближче до джерела поля, тим більшим буде цей вплив. Наприклад знаменита теорема Піфагора в околі джерела гравітації перестає виконуватись. Через властивості простору гравітація впливає і на всі без виключення фізичні явища, що відбуваються у цьому просторі. Якщо в класичному випадку гравітаційне поле описується один гравітаційним потенціалом, то у релятивістському випадку таких потенціалів буде стільки, скільки компонент у метричного тензора. У загальному випадку їх 16.

          Рівнянням руху у релятивістському випадку уде рівняння геодезичної лінії, тобто найкоротшої лінії, що з`єднує у викривленому просторі точки початку і кінця руху. Рівняння геодезичної лінії має вигляд

d²x^σ/dt² + [Γ^σ_ab - Γ⁴_ab (dx^σ/dt)] (dx^a/dt) (dx^b/dt) = 0,

де a, b, σ =1, 2, 3 позначають лише просторові координати. Символи Кронекера  тут відповідають розв`язкам зовнішньої задачі Шварцшильда і мають вигляд ( тут ми випишемо лише ненульові компоненти)

Γⁱ_ij = gⁱⁱ (ꝺg_ij/ꝺxⁱ) / 2;     Γⁱ_jj = - gⁱⁱ (ꝺg_jj/ꝺxⁱ) / 2;

Γⁱ_ii = gⁱⁱ (ꝺg_ii/ꝺxⁱ) / 2;     i, j = 1, 2, 3, 4.

Підкладаючи ці значення символів Кристофеля у закон руху – рівняння геодезичної і враховуючи, що компоненти метричного тензора залежать лише від відстані до центра поля r, надамо цьому рівнянню руху наступного вигляду

d[(g_σσ/g₄₄) (dx^σ/dt)]/dt - (ꝺg_aa/ꝺx^σ) (dx^a/dt)²/(2 g₄₄) = 0.

Повернемось тепер до традиційних позначень просторових координат у сферичній системі координат x¹ = r, x² = θ, x³ = φ. Нагадаємо, що коваріантні компоненти метричного тензора для зовнішнього розв`язку Шварцшильда мають вигляд

g₁₁ = - 1/(1 – 2 m/r);     g₂₂ = - r²;

g₃₃ = - r² sin²(θ);     g₄₄ = 1 – 2 m/r.

         Випишемо тепер систему рівнянь руху. Для σ = 3 матимемо наступне рівняння

d[(g₃₃/g₄₄) (dφ/dt)]/dt = 0

або

d[r² sin²(θ)/ (1 – 2 m/r) (dφ/dt)]/dt = 0.

Після одноразового інтегрування матимемо

dφ/dt = A (1 – 2 m/r)/( r² sin²(θ)),

де А – довільна стала.

          Для σ = 2 рівняння руху буде таким

d[(g₂₂/g₄₄) (dθ/dt)]/dt + 2 r² sin(θ) (dφ/dt)²/(2 g₄₄) = 0.

Тут ми врахували, що ꝺg₁₁/ꝺθ = ꝺg₂₂/ꝺθ = 0, а ꝺg₃₃/ꝺθ – 2 r² sin(θ). Це рівняння можна суттєво спростити, якщо виключити з нього  похідну dφ/dt, використавши для цього перше рівняння. Матимемо

d[(g₂₂/g₄₄) (dθ/dt)]/dt + 2 r² sin(θ) [A (1 – 2 m/r)/( r² sin²(θ))]²/(2 g₄₄) = 0

або

d[(r²/(1 – 2 m/r)) (dθ/dt)]/dt - A² cos(θ) (1 – 2 m/r)/( r² sin³(θ)) = 0

або

d[(r²/(1 – 2 m/r)) (dθ/dt)] - A² cos(θ) [(1 – 2 m/r)/( r² sin³(θ))] dt = 0.

Рівняння суттєво спроститься, якщо у другому доданку від диференціала dt перейти до диференціала dθ

dt = (dt/dθ) dθ.

Тепер рівняння можна записати так

d[(r²/(1 – 2 m/r)) (dθ/dt)]² = A² (cos(θ)/sin³(θ)) dθ = 0.

Тепер рівняння легко інтегрується один раз і ми отримуємо

(dθ/dt)² = [B – A²/sin²(θ)] (1 – 2 m/r)²/r⁴.

Тут В довільна стала.

         Можна легко переконатись, що рух матеріальної точки у гравітаційному полі центральної маси буде плоским і у релятивістському випадку. Цей висновок випливає з аналізу останнього диференційного рівняння. Для цього дане рівняння руху слід доповнити початковими умовами, як то є традиційним для задач динаміки. У виборі початкових умов ми ніяк не обмежені, але цю їх довільність доцільно використати для спрощення розгляду властивостей цього рівняння. Нехай у початковий момент часу t = 0 полярний кут θ = π/2, а швидкість його зміни dθ/dt = 0. Тепер у початковий момент часу

(dθ/dt)² = [B – A²/sin²(π/2)] (1 – 2 m / r)² / r⁴ = 0.

Звідси

B = A²

і рівняння для полярного  кута суттєво спрощується

(dθ/dt)² = - A² cot²(θ) (1 – 2 m / r)² / r⁴.

Це рівняння можна спростити ще більше, якщо здобути корінь квадратний від обох його частин

dθ/dt = ± i A cot(θ) (1 – 2 m / r) / r².

Оскільки це рівняння описує закон руху реального тіла, то його розвйазок не може бути комплексним, а останнє неминуче через наявності у його правій частині уявної одиниці в якості множника. Дійсний розвйазок виникає лише у разі, якщо права частина дорівнює нулю, тобто

A cot(θ) (1 – 2 m / r) / r² = 0

або

cot(θ) = 0.

Останнє можливо лише у разі θ = π/2. Інші значення полярного кута не узгоджуються  з початковою умовою θ(0) = π/2. А це і означає, що рух матеріальної точки відбувається у площині θ = π/2.

       Замість третього рівняння системи рівнянь руху для σ = 1 через його складність зручно розглянути чотиривимірне рівняння геодезичної лінії для часової координати

d²t/ds² + Γ⁴_αβ (dx^α/ds) (dx^β/ds) = 0.

Для стаціонарного поля відмінними від нуля у цьому рівнянні будуть лише наступні символи Кристофеля

Γ⁴_4α = g⁴⁴ (∂g₄₄/∂x^α)/2.

Оскільки у разі зовнішнього розвйазку Шварцшильда g⁴⁴ = 1/g₄₄, то вирази для символів Кристофеля спрощуються

Γ⁴_4α = [∂ln(g₄₄)/∂x^α] / 2.

Тепер рівняння для часової координати набуває вигляду

d²t/ds² + 2 Γ⁴_α4 (dx^α/ds) (dt/ds) = 0

або

d²t/ds² + [d ln(g₄₄)/ds] (dt/ds) = 0.

Тут ми врахували ту обставину, що

2 Γ⁴_α4 (dx^α/ds) = [∂ln(g₄₄)/∂x^α] (dx^α/ds) = d ln(g₄₄)/ds.

Рівняння руху має доволі просту структуру і його можна один раз зінтегрувати. Для цього представимо його так

d ln(dt/ds)/ds + d ln(g₄₄)/ds = 0

або

d ln(dt/ds) + d ln(g₄₄) = d ln [g₄₄ (dt/ds)] = ln(h)

або

dt/ds = h/(1 – 2 m / r),

де h – довільна стала. Тепер візьмемо до уваги, що квадратична форма, поділена на квадрат диференціала часу у разі зовнішнього розвйазку Шварцшильда має вигляд

(ds/dt)² = - (1 – 2 m / r)^-1 (dr/dt)² – r² (dθ/dt)² – r² sin(θ) (dφ/dt)² + 1 – 2 m / r.

Використовуючи отримані вище вирази для похідних, маємо

(dr/dt)² = (1 – 2 m/r)² [1 – (1 – 2 m/r) (1/h² + A²/r²)].

Ця рівність і є першим інтегралом третього рівняння.

         Отримаємо тепер рівняння орбіти. Для цього розділимо останнє рівняння на рівняння для азимутального кута (памйатаємо, що полярний кут залишається сталим). Маємо

(du/dφ)² = (h² – 1)/a² + 2 m u/a² – u² + 2 m u³.

Тут введені такі позначення u = 1/r, a² = h² A². Релятивістський характер цього рівняння зумовлений останнім членом у правій частині. Якщо його відкинути, то ми отримуємо рівняння конічного перерізу. Його фокальний параметр p і ексцентриситет e визначаються формулами

p = a²/m,     e = [1 + (a²/m²) (h² – 1)]^1/2.

Релятивістський доданок на великій відстані від джерела поля є надзвичайно малим. Так, наприклад, відбувається для всіх планет сонячної системи. Якщо цей доданок розглядати як збурення, то траєкторію можна обчислювати методом послідовних наближень, відкидаючи його у нульовому наближенні, а у першому наближенні підкладати у цей додатковий член розвйазок нульового наближення. Якщо мати на увазі планети сонячної системи, то у нульовому наближенні їх траєкторіями є еліпси в одному з фокусів яких знаходиться Сонце. Врахування збурення призводить до того, що більші вісі цих еліпсів  у повільно рухаються у прямому напрямку. Ми опускаємо відповідні математичні викладки і наведемо лише остаточний результат для кута попороту більших осей еліпсів

Δω = 6 π m / [a (1 – e²)],  m = γ M/c².

Тут γ – гравітаційна стала. Для планет сонячної системи цей ефект за сторіччя становить: Меркурій – 43, Венера – 8.6, Земля – 3.8, Марс – 1.4 секунди. Як бачимо, в межах сонячної системи вплив релятивістських гравітаційних ефектів є надзвичайно малим.