Чи українці і московити один народ з точки зору статистичної фізики?

« Пам`яті мого першого наставника по науці і по життю професора Юрія Петровича Красного присвячується »

« Усі мислячі істоти народжуються нерівними.
Досконале суспільство дає кожному рівну можливість
плавати на його власній глибині »
(Френк Герберт)

« Уся Несправедливість полягає не в нерівності прав, а в зазіханнях на рівноправність »
(Фрідріх Ніцше)

Зміст:

1.Вступ
2.Енергія – матеріальний ресурс
3.Мікроканонічний ансамбль
4.Канонічний ансамбль
5.Температура – життєвий рівень
6.Ентропія – свобода
7.Вільна енергія – експансія
8.Влада
9.Тиск – агресивність
10.Великий канонічний ансамбль
11.Хімічний потенціал – густина населення
12.Розподіл Больцмана – нейтральне і заможне суспільство
13.Розподіл Фермі – агресивне суспільство
14.Розподіл Бозе – толерантне суспільство

Вступ

Метою даної статті є доведення того факту, що поведінку великих людських спільнот можна описати точними математичними формулами. Поширена точка зору на людину та, що її поведінка є непередбачуваною. А щодо великих людських спільнот не варто і сподіватись щодо прогнозування їх поведінки. Першими навчились керувати великими масами людей ще левіти 2500 років тому – автори Старого Заповіту. Їх алгоритм керування був чисто емпіричним, не містив жодних формул, але був надзвичайно ефективним і працює досі. Нашою метою є створення математичної моделі людського суспільства, яка б дозволяла зрозуміти за допомого математичних формул механізм його функціонування, а також і механізм влади над ним. Стартовим майданчиком для пошуку такої моделі є статистична фізика. Вона розглядає системи, що складаються з колосальної кількості елементів: елементарні частинки, атоми, молекули. Нас же цікавлять люди. Що спільного між атомами і людьми? Механічний рух атома з високою точністю може описати класична механіка. Його внутрішній стан також з високою точністю може описати квантова механіка. А чи можна описати матеріальний стан пересічної людини, рівень її особистої свободи, тиск влади на її поведінку тощо? Описати не за допомогою слів, але за допомогою чисел і формул? Виявляється можна. А такі категорії статистичної фізики як внутрішня енергія, вільна енергія, температура, хімічний потенціал, тиск, ентропія мають свої аналоги у людському суспільстві. Засадничі розподіли ймовірностей статистичної фізики також мають свої аналоги у світі людей.

Проте аналогія між людською спільнотою і системою атомів або молекул у статистичній фізиці не є буквальною. В обох випадках базою розгляду є фазовий простір. Для системи атомів або молекул він задається сукупністю координат і проекцій імпульсу всіх складових частинок. У разі людських спільнот він задається координатами і майновим станом всіх осіб спільноти. Ця базова відмінність призводить до відмінності всіх конкретних формул, що описують поведінку людей, від відповідних формул, що описують поведінку атомів або молекул, проте фундаментальні закономірності зберігаються. Зокрема, три закони термодинаміки мають місце не лише для атомів або молекул, але і для людських спільнот.

Дана стаття присвячена обґрунтуванню і використанню найпростішої моделі людського суспільства, але здатної пояснити засадничі властивості великих людських спільнот.

Висновки:

1. Матеріальні ресурси, якими володіють окремі люди, розподілені нерівномірно – точніше за показниковим законом. Це відбувається навіть за умови, якщо люди генетично абсолютно ідентичні і виходять на життєвий шлях в абсолютно однакових стартових умовах. Генетика і різноманітність умов формування різних людей лише підсилюють цю нерівномірність.

2. Матеріальна свобода є підґрунтям свободи особистої в найширшому розумінні цього слова. Підґрунтям же матеріальної свободи є кількість матеріальних благ в розпорядженні окремої людини. Свобода окремої людини є тим більшою, чим більша ця кількість. Фізичним аналогом для свободи суспільства і окремої людини є така характеристика фізичної системи як ентропія.

3. Свобода і рівність несумісні категорії. Математичним виразом нерівності між людьми є дисперсія для закону розподілу матеріальних ресурсів у суспільстві. Досягнення максимальної рівності людей можливе лише при досягненні мінімального рівня їх особистої свободи і навпаки.

4. Влада над людиною і її особиста свобода - пов’язані категорії. Чим більшою є влада над людиною, тим меншою є її особиста свобода і навпаки.

5. Майновий стан пересічної людини можна охарактеризувати лише його ймовірністю. Але ймовірність одночасно є часткою людей всієї спільноти, що перебувають у даному майновому стані. Тобто поведінка великих людських спільнот піддається точному математичному опису, на відміну від поведінки окремої людини.

6. Потенційна небезпека країни для її сусідів прямо пропорційна середній густині її населення і його життєвому рівню. Фізичним аналогом потенційної агресивності країни є тиск, що виникає у фізичній системі, або рівняння стану.

7. Нейтральна людська спільнота за високих температур і малих густин добре описується розподілом ймовірностей Больцмана. Але цей розподіл не придатний для низьких температур і великих густин.

8. Агресивна людська спільнота за довільних температур і густин добре описується розподілом Фермі. Ця спільнота може комфортно існувати і за повною відсутністю свободи. За високих температур і малих густин цей розподіл переходить у розподіл Больцмана.

9. Толерантна людська спільнота за довільних температур і густин добре описується розподілом Бозе. Ця спільнот фізично може існувати лише за наявності свободи. За високих температур і малих густин цей розподіл переходить у розподіл Больцмана.

10. Агресивна людська спільнота створює додатковий тиск на своїх сусідів порівняно з нейтральною, що може спонукати її до агресії щодо сусідів.

11. Толерантна людська спільнота здійснює менший тиск на своїх сусідів порівняно з нейтральною, що може спонукати їх до агресії.

12. Населення України і Московії описуються різними законами розподілу. Українці описуються розподілом Бозе. Московити описуються розподілом Фермі.

Енергія - матеріальний ресурс

Замкненою системою називатимемо спільноту людей, ізольовану від будь-якої взаємодії з оточенням. Цю спільноту розділимо на дві не рівні частини. Одна складається з N осіб, інша з n осіб, причому N >> n або матеріальні ресурси однієї системи суттєво переважають матеріальні ресурси іншої. При цьому друга обставина важливіша за першу. Більшу систему назвемо термостатом, а меншу – просто системою. Замкнутою системою може бути населення всієї планети, системою – населення окремої країни, термостатом – решта населення планети. Замкненою системою може бути населення окремої країни, термостатом – державний апарат цієї країни, системою решта людей, що не є носіями державної влади. Тут умова N >> n не виконується, але матеріальні ресурси, контрольовані державою можуть значно перевищувати матеріальні ресурси населення поза державним апаратом. В Російській імперії майже вся орна земля належала приватним особам. Проте решта природних ресурсів держави були власністю цієї держави. У Радянському союзі вже і вся орна земля належала державі, а також житло мешканців великих міст і вся промисловість. Приватна власність населення була мізерною порівняно з власністю держави. Термостатом може бути і все населення даної країни, за виключенням окремої людини, яка у даному разі може відігравати роль системи.

Кожну людину характеризуватимемо її статками, тобто сукупністю матеріальних засобів існування, якими вона володіє. Ці статки можна виразити у грошовому еквіваленті, а отже виміряти. Для термостату статки окремих людей позначимо E₁, E₂, … , E_N. Для системи - ε₁, ε₂, …, ε_n. Для замкненої системи вважатимемо, що загальна вартість матеріальних ресурсів не змінюється E₁ + E₂ + … + E_N + ε₁ + ε₂ + … + ε_n = E₀. Тобто окремі люди створюють нові матеріальні цінності – нові вартості, але споживають рівно таку ж саму їх кількість. Статки окремих людей, як і статки їх сукупності для стислості далі називатимемо енергіями. Отже ми розглядаємо ситуацію, коли енергія замкненої системи зберігається.

Кожну людину також можна характеризувати її координатами у реальному просторі (радіус-векторами) R₁, R₂, … , R_N, r₁, r₂, …, r_n. Координатам окремої людини з геометричної точки зору відповідає точка у тривимірному просторі. Вважатимемо, що сучасна людина живе не лише безпосередньо на поверхні Землі, а і на довільній відстані від неї при врахуванні нерівностей земної поверхні, хмарочоси і космічні подорожі. Сукупності координат всіх людей з геометричної точки зору відповідає точка просторі розмірності 3N+3n.

Кожна з величин E₁, E₂, … , E_N, ε₁, ε₂, …, ε_n може мати складну структуру через те, що містить як матеріальні ресурси, що контролюються виключно даною людиною, так і матеріальні ресурси, що належать кільком особам. Таку спільну власність можна розглядати як матеріальну взаємодію між людьми. Власності окремих людей можна розглядати в якості координат N+n – вимірного Декартового простору. Якщо об`єднати підпростір енергій і підпростір координат, то ми отримаємо простір розмірності 4N+4n, який зручно, за аналогією з фізичними системами, називати фазовим простором, де кожному стану системи з геометричної точки зору відповідає точка цього простору. При необхідності можна розглядати і фазовий простір більшої розмірності, якщо до параметрів, що характеризують стан людини, додати інші її параметри: платня, соціальний статус тощо.

У підпросторі енергій з геометричної точки зору закон збереження енергії

E₁ + E₂ + … + E_N + ε₁ + ε₂ + … + ε_n = E₀

можна розглядати як рівняння поверхні у N+n – вимірному просторі. Якщо енергії не залежать від координат, то у фазовому просторі з розмірністю 4N+4n закону збереження енергії відповідатиме об`єм гіперциліндру, стінки якого перпендикулярні до енергетичної гіперповерхні у підпросторі енергій. Надалі ми не враховуватимемо залежність енергій від координат. Це дозволить обмежитись розглядом лише підпростору енергій. Найпростіший вигляд поверхня, що відповідає заданій енергії замкненої системи, має у разі, якщо матеріальні статки окремих людей повністю ними контролюються, тобто люди не мають спільної власності. Таку систему можна назвати ідеальною спільнотою, аналогічною ідеальному газу, що складається з атомів або молекул. У цьому разі закон збереження енергії у підпросторі енергій є рівнянням площини.

Проте окремі доданки цієї суми, які складають енергії системи і термостату, можуть з часом змінюватись. На практиці такі зміни можна розглядати як такі, що відбуваються стрибком: люди купують або продають майно, люди купують або продають різноманітні товари, люди отримують платню або сплачують кредити тощо. Кожна така стрибкова зміна майнового стану окремої людини викликає і стрибкову зміну майнового стану спільноти. З геометричної точки зору кожній такій стрибковій зміні майнового стану відповідає інша точка N+n – вимірного простору енергії. Оскільки сукупне майно при цьому не змінюється, то всі такі точки лежать на поверхні, що відповідає енергії E0. За досить великий проміжок часу такі точки покриють всю площину. Чим більший проміжок часу ми візьмемо, тим більшою буде густина цих точок.

Можна слідкувати за еволюцією замкненої системи у часі. При цьому траєкторією системи буде набір точок, що нагадують ламану лінію у гіперпросторі. Оскільки стрибкові зміні стану замкненої системи незначні порівняно з повною енергією системи, то можна вважати траєкторією системи квазінеперервну ламану лінію, що практично не відрізняється від неперервної. Замість того, щоб слідкувати за траєкторією системи у гіперпросторі, зручно розглядати статичний ансамбль точок, кожна з яких відповідає певному стану системи. При цьому кожну таку точку зручно розглядати як ідентичну копію однієї і тієї ж системи, яка вже не змінює свого стану. Звідси і назва ансамбль (сукупність).

Надалі ми базуватимемось на ергодичній гіпотезі, яка полягає у тому, що середнє значення будь-якої фізичної характеристики системи, обчислене через усереднення за часом цієї характеристики внаслідок еволюції системи, збігається з середнім по ансамблю. Відповідну статичну густину розподілу ймовірностей для знаходження кількості копій системи в різних станах легше моделювати, ніж виконувати відповідне усереднення за великий проміжок часу значень даної характеристики.

Чим з більшої кількості елементів складається система, тим густіше розташовані точки, що відповідають мікростанам системи, у фазовому просторі. Оскільки надалі ми матимемо справу з макроскопічними системами, тобто системами з колосальною кількістю елементів, то сукупність таких точок можна вважати квазінеперервною і застосовувати до неї апарат диференційного та інтегрального числення, тобто понять диференціалів, похідних та інтегралів.

З позиції теорії ймовірностей кожну таку точку можна розглядати як елементарну подію. У статистичній фізиці їй відповідає мікроскопічний стан системи. Сукупність всіх точок, що відповідають даному майновому стану, можна назвати простором елементарних подій. У нашому випадку – це всі точки, що лежать на площині, яка відповідає заданій енергії.

Перше спрощуюче припущення полягатиме у тому, що всі такі точки (елементарні події) рівноправні. З математичної точки зору це означатиме, що ймовірності потрапляння спільнотою у стани, що відповідають цим точкам (елементарні ймовірності), однакові і дорівнюють P0 = 1/Γ0. Тут і надалі ми позначатимемо індексом 0 величини, що стосуються замкненої системи.

Всі використовувані нами у цій статті величини мають розмірність енергії. У багатьох випадках працювати з розмірними величинами не зручно. Так, у випадку ентропії це призводить до її визначення з точністю до довільної сталої, що залежить від вибору одиниці вимірювання енергії. Ситуація спрощується у разі існування виділеної самою природою одиниці вимірювання. У квантовій фізичній статистиці такою виділеною величиною є стала Планка. Для людської спільноти і її матеріальних статків такою виділеною величиною є прожитковий мінімум ε0, тобто мінімальна кількість матеріальних благ, необхідна для фізичного виживання окремої людини у суспільстві. Надалі ми вважатимемо прожитковий мінімум одиницею вимірювання всіх величин, що мають розмірність енергії, тобто поводитимемось з ними як з нерозмірними.

Мікроканонічний ансамбль

Розглянемо сукупність компактно розташованих точок, мірою яких є dΓ`. У теорії ймовірностей ця сукупність називається подією. У статистичній фізиці вона називається кількістю мікростанів, що відповідає певній ділянці енергетичної площини або статистичною вагою цієї ділянки. Якщо прийняти зазначену вище гіпотезу про рівномірний розподіл точок (мікростанів) енергетичною поверхнею, то ймовірність спільноти належати до такого майнового стану визначатиметься класичним означенням ймовірності, відповідно до якого, ймовірність окремої елементарної події (мікростану) слід просто помножити на їх кількість

_{dP₀(E₀) = p₀ (E₀) dΓ₀ (E₀) = dΓ₀ (E₀) / Γ₀ (E₀).}

Якщо мова йде про диференціали відповідних величин, то для них класичне означення ймовірності дійсне навіть у разі, коли для скінчених ймовірностей воно не працює. Ця ймовірність прив’язана до поверхні, що відповідає вартості даного сукупного майна (даній енергії). Зручно задати цю ймовірність як об`ємну функцію. Це можна зробити за допомогою дельта-функції, яка є нулем за межами цієї площини, і дорівнює нескінченості на самій площині. При цьому її інтеграл має дорівнювати одиниці. Це так звана сингулярна узагальнена функція. Сенс інтегралу від неї визначається відповідним межовим переходом. Отже,

_{dP₀(E) = A(E) δ(E - E₀) dΓ₀(E) / Γ₀(E).}

Тут А – стала нормування, а Е – довільна енергія замкненої системи. Значення цієї сталої отримується з умови нормування ймовірності, тобто рівності одиниці суми таких ймовірностей за всіма можливими значеннями вартості сукупного майна

_{∫ dP₀ = 1.}

Тут ми використовуємо інтегрування, а не підсумовування, оскільки надалі матимемо справу лише з дуже великими за кількістю елементів системами. Якщо замість сталої нормування А розглянути сталу нормування С таку, що

_{C(E) = A(E) / Γ₀(E),}

то вираз для ймовірності можна записати так

_{dP₀(E) = С(E) δ(E – E₀) dΓ₀(E).}

Такий розподіл ймовірностей у статистичній фізиці називається мікроканонічним. Він служить основою для отримання інших базових розподілів статистичної фізики – канонічного і великого канонічного розподілів.

Канонічний анстамбль

Розглянемо тепер замкнену систему як сукупність термостату і взаємодіючої з ним системи. Енергію термостату позначимо через E, системи – через ε, всієї сукупної спільноти через E₀. Очевидно, що

_{E₀ = E + ε.}

Оскільки термостат і система взаємодіють між собою, то їх енергії не зберігаються окремо. Це означає, що функції мікростанів (точок) фазового простору є об`ємними функціями і для термостату, і для системи. Надалі будемо вважати, що Γ(E) при заданій енергії термостату Е означає кількість точок, що знаходяться у фазовому підпросторі термостату під енергетичною поверхнею E=const. Аналогічно γ(ε), що відповідає енергії ε, означатиме кількість точок, яка знаходиться у фазовому підпросторі системи під енергетичною поверхнею ε=const. Очевидно, що фазовий простір замкненої системи є добутком фазових просторів термостату і системи, тому

_{Γ₀(E₀) = Γ(E) γ(ε),}

_{E₀ = E + ε.}

Якщо фазовий простір термостату має розмірність N, а фазовий простір системи – розмірність n, розмірність їх спільного фазового простору буде N n. Тут ми не беремо до уваги координатний підпростір фазового простору.

Розглянемо термостат детальніше. Такий розгляд простіше зробити саме для нього, оскільки закон розподілу ймовірностей тут має універсальний і максимально простий характер. Ймовірність dP` приналежності стану термостату сукупності станів dΓ визначатиметься аналогічно попередньому

_{dP`(E) = p`(E) dΓ(E).}

Друга наша гіпотеза полягатиме у тому, що взаємодія між термостатом і системою надзвичайно мала порівняно з загальною енергією термостату і, навіть, системи.. Крім того, термостат у багато разів перевищує систему у всіх сенсах. Це означає, що енергія термостату у висліді такої взаємодії змінюється надзвичайно мало, залишаючись переважно близькою до його середнього значення ͞E, коливаючись у вузьких межах ͞E – ΔE/2 < E < ͞E + ΔE/2. Обмін частинками між термостатом і системою ми тут не розглядаємо, вважаючи їх кількість фіксованою і для термостату, і для системи. Істотним є те, що і статистична вага термостату також змінюється у вузьких межах ͞Γ(Е) – ΔΓ(Е) / 2 < Γ(Е) < ͞Γ(Е) + ΔΓ(Е) / 2. Тут

_{ΔΓ(Е) = Γ(Е + ΔE) - Γ(Е).}

Нагадаємо, що Γ(Е+ΔE) – це кількість точок (мікростанів), що лежать під енергетичною поверхнею Е + ΔE=const, а Γ(Е) – це кількість точок, що лежать під енергетичною поверхнею Е=const. Тобто ΔΓ(Е) – це кількість точок (мікростанів), що лежать у прошарку між цими двома енергетичними поверхнями. Якщо величина ΔE достатньо мала, то всі мікростани цього прошарку мають однакову ймовірність – працює класичне означення ймовірності. Тоді інтеграл нормування можна легко обчислити з високою точністю так

_{∫ dP` = ∫ p`(E) dΓ(E) = p`(/E/) ΔΓ(/E/) = 1.}

Звідси

_{ΔΓ(/E/) = 1 / p`(/E/).}

Оскільки

_{dΓ(E) = [dΓ(E) / dE] dE,}

то зручно від диференціала за статистичною вагою перейти до диференціала за енергією

_{dP`(E) = p`(E) [dΓ(E) / dE] dE.}

Тепер обчислення інтеграла нормування дасть наступний результат

_{∫ dP`= ∫ p`(E) [dΓ(E) / dE] dE = p`(/E/) [dΓ(/E/) / d/E/] Δ/E/ = 1.}

Звідси

_{ΔΓ(/E/) = [dΓ(/E/) / d/E/] Δ/E/.}

Стосовно ж системи жодних припущень щодо її конкретних статистичних властивостей, можна не робити. Важливим є те, що система лише незначним чином може впливати на термостат. Останнє означає, що незалежно від закону розподілу ймовірностей для станів системи, закон розподілу ймовірностей для термостату визначається лише його властивостями, які надзвичайно близькі до властивостей всієї замкненої системи. Якщо її закон розподілу мікроканонічний, то таким же він буде і для термостату. Очевидно, що статистична вага замкненої системи є добутком статистичних ваг термостату і системи, тобто

_{dP₀(E, ε) = С(E₀) δ(E + ε – E₀) dΓ(E) Δγ(ε).}

Тут ми не конкретизуємо величину Δγ(ε), вважаючи, що вона може відповідати як дискретному розподілу точок, так і квазінеперервному. В останньому разі

_{Δγ(ε) = dγ(ε).}

Якщо цей закон розподілу для замкненої системи зінтегрувати за станами термостату, то ми отримаємо закон розподілу ймовірностей для нашої системи

_{P(ε) = С(E₀) ∫ δ(E + ε – E₀) dΓ(E) Δγ(ε).}

Цей закон розподілу суттєво залежатиме від статистичної ваги мікростанів системи γ(ε). Якщо ми цікавитимемось лише ймовірністю одного мікростану системи p(ε), то, оскільки

_{P(ε) = p(ε) Δγ(ε),}

то він від статистичної ваги мікростанів вже не залежатиме

_{p(ε) = С(E₀) ∫ δ(E + ε – E₀) dΓ(E).}

Зручно перейти від інтегрування за статистичною вагою до інтегрування за енергією, оскільки аргументом дельта-функції є саме енергія. У цьому разі, з урахуванням співвідношення

_{ΔΓ(/E/) = [dΓ(/E/) / d/E/] Δ/E/,}

матимемо

_{p(ε) = С(E₀) ∫ [ΔΓ(/E/) Δ/E/] δ(E + ε – E₀) dE.}

У висліді інтегрування

_{p(ε) = С(E₀) [ΔΓ(/E/) / Δ/E/]_{E₀ - ε}.}

Оскільки кількість елементарних подій або мікростанів термостату, або просто точок його фазового простору пропорційна його об`єму, а останній пропорційний кубу енергії її енергії, тобто Γ(E) ~ E3, то ΔΓ(Е) ~ E2 ΔE. Враховуючи, що енергія термостату є надзвичайно великою, маємо для відповідних числових значень ΔΓ >> ΔE. Це означає, що з двох величин ΔΓ і ΔE від енергії суттєво залежить лише величина ΔΓ. Для величини ΔE цією залежністю можна знехтувати і об`єднати її з нормувальним множником С(E₀)

_{z-1(E₀) = С(E₀) / ΔE₀.}

Величина ж ΔΓ(/E/) безпосередньо пов`язана з термодинамічною характеристикою термостату, що називається ентропією

_{S(/E/) = ln[ΔΓ(/E/)].}

Тут ми ввели ентропію чисто формально. Її реальний зміст для нашого конкретного випадку ми розглянемо пізніше. Математична зручність цієї величини у тому, що вона залежить від середньої енергії термостату вже не так сильно як відповідна статистична вага, оскільки ентропія є показником експоненти, яка визначає енергетичну залежність від середньої енергії статистичної ваги. Важливо, що ентропія у даному разі є характеристикою макроскопічного його стану термостату, що характеризується саме його середньою енергією /E/. Оскільки середня енергія з переважаючою ймовірністю знаходиться у дуже вузькому інтервалі енергій Δ, який має статистичну вагу ΔΓ(/E/), то ця статистична вага є характеристикою даного макростану, а відповідно його характеристикою є і ентропія.

Оскільки E = E₀ – ε, то ентропію можна розвинути в ряд за степенями малої величини ε

_{S(/E/) = S(E₀) – ε dS(E₀) / dE₀.}

Проте і похідна ентропії за енергією має чітко визначений фізичний сенс. Це так звана температура термостату. Про її фізичний зміст для нашого конкретного розгляду ми також поговоримо пізніше. Але оскільки наша система і термостат знаходяться у стані термодинамічної рівноваги, то це і температура системи, а також і температура всієї замкненої системи – термостата плюс системи

_{dS(E₀) / dE₀ = 1 / T.}

Остаточно закон розподілу ймовірностей мікростанів спільноти за її сукупним майном визначатиметься так

_{p(ε) = z^-1 exp(- ε / T).}

У статистичній фізиці він називається канонічним розподілом, або розподілом Гіббса, нормувальний множник - статистичною сумою. Остання формально визначатиметься так

_{z^-1 = [С(E₀) / ΔE₀] exp[S(E₀)],}

але у кожному конкретному випадку її доцільно визначати з умови нормування.

_{z^-1 = Σ_n exp(- ε_n / T),}

де підсумовування здійснюється за всіма можливими станами системи. Отже,

_{p(ε_n) = exp(- ε_n/T) / z.}

Канонічний розподіл ще називається розподілом Гіббса.

Температура - життєвий рівень

Зручність температури як характеристики фізичної системи полягає у тому, що вона легко вимірюється у разі її невеликих значень термометрами. З фізичної точки зору вона характеризує інтенсивність руху атомів або молекул, з яких складається фізична система. Вона також характеризує інтенсивність передачі енергії між системою і термостатом і між окремими частинами самої системи. У разі людської спільноти температура у найпростішому випадку показникового закону розподілу ймовірностей визначає середню кількість матеріальних ресурсів, які контролює окрема людина. А зараз ми розглянемо ті властивості температури, що не залежать від моделі.

Розглянемо дві системи, що знаходяться у стані рівноваги між собою. Прикладом таких систем можуть бути населення Сполучених штатів і Канади. Проігноруємо економічну взаємодію цих держав з іншими країнами світу. Тобто вважатимемо систему Сполучені штати і Канаду з сукупними матеріальними ресурсами E1 і E2 замкненою системою. Ясно, що у цьому разі їх спільний матеріальний ресурс зберігається

_{E = E₁ + E₂ = const.}

Очевидно, у разі статистичної рівноваги кількість матеріальних ресурсів, що за великий проміжок часу перетинає кордон між цими країнами в обох напрямках, приблизно дорівнює нулю. Пізніше, при обговоренні ентропії, буде зазначено, що у стані статистичної рівноваги ентропія замкненої системи має максимально можливе значення. Вважатимемо, що система знаходиться у стані статистичної рівноваги, якщо як би ми її не поділили на дві частини за достатньо великий проміж часу обмін енергією між цими частинами у середньому дорівнює нулю. Ентропія замкненої системи є сумою ентропій кожної з країн

_{S(E) = S(E₁) + S(E₂) = S(E₁) + S(E - E₁)}

і залежить лише від однієї з енергій E₁, E₂. З умови екстремума цієї функції за змінною ε1 маємо

_{dS(E)/dE₁ = dS(E₁) / dE₁ + dS(E - E₁) / dE₁ = 1 / T₁ – 1 / T₀ = 0.}

Звідси випливає висновок: температури двох систем, що знаходяться у стані статистичної рівноваги між собою і у сукупності утворюють замкнену систему, однакові. Рівність температур Сполучених штатів і Канади означає, що добробут громадян в обох країнах приблизно на одному рівні і з матеріальної точки зору немає різниці у якій країні жити.

Якщо ж дві системи, які сукупно утворюють замкнену систему, не знаходяться у стані статистичної рівноваги, то їх сукупна ентропія буде меншою, ніж у разі досягнення цієї статистичної рівноваги. Це означає, що у процесі еволюції такої замкненої системи до стану рівноваги сукупна ентропія буде зростати, тобто її похідна буде додатною

_{dS(E) / dt = dS(E₁) / dt + dS(E - E₁) / dt =}

_{= [dS(E₁) / dE₁ + dS(E - E₁) / dE₁] dE₁ / dt =}

_{= (1 / T₁ – 1 / T₂) dE₁ / dt > 0.}

Якщо температура другої країни більша за температуру першої країни T₂ > T₁, то dE₁/dt > 0 і матеріальні ресурси першої держави будуть зростати, а другої зменшуватись. На прикладі Сполучених штатів і Мексики, якщо їх розглядати як замкнену систему, зрозуміла невигідність для Сполучених штатів відкритість їх кордону з Мексикою. Через цю обставину відбувається вирівнювання життєвих рівнів обох країн за рахунок саме Сполучених штатів. Тому зрозумілим є і прагнення України до вступу у Європейське економічне співтовариство. У цьому разі відбуватиметься швидке підвищення життєвого рівня українців за рахунок країн співтовариства. Матеріальний сенс температури для людської спільноти можна зрозуміти на такому простому прикладі.

Приклад. Розглянемо максимально просту модель спільноти людей – певний аналог ідеального газу у статистичній фізиці. Ця спільнота має три характерні властивості. Перша: матеріальні ресурси, що перебувають у окремих членів спільноти змінюються незалежно один від одного. Це означає відсутність будь-якої спільної власності у окремих членів даної спільноти. У цьому разі матеріальні ресурси окремих людей E₁, E₂, …, E_n є незалежними, а також і змінюються незалежно один від одного. Друга: всі члени абсолютно ідентичні один одному від народження і за соціальними умовами виховання. Третя: енергії окремих осіб не залежать від координат. Всі три припущення доволі далекі від реального життя. Перше припущення справедливе хіба що для тоталітарного суспільства, члени якого мають мінімальні матеріальні ресурси у особистій власності і майже не мають спільної власності. Друге припущення не описує жодне реальне суспільство, але відповідає уявленням філософів-романтиків про ідеальне суспільство. Проте саме на таких уявленням базується сучасна правова система західних країн. Друге припущення означає, що єдиними характеристиками окремих людей є величини E₁, E₂, …, E_n і вони не мають внутрішньої структури, що несла б відбиток індивідуальності окремої людини. Третє припущення означає, що матеріальний добробут людей не залежить від місця проживання, хоча очевидно, що це не так. Наприклад, рівень життя у столиці держави завжди вищий за рівень життя у віддаленому селі.

Для опису такої спільноти використаємо канонічний розподіл ймовірностей

_{P(E) = exp(- E / T) / Z.}

Тут енергія системи є сумою незалежних доданків

_{E = E₁ + E₂ + … + E_n.}

Якщо майнові стани спільноти утворюють континуальну множину, знизу обмежену нулем, а зверху нескінченістю, і кожному майновому стану відповідає лише один мікростан, тобто dΓ(E) / dE = 1, то умова нормування для канонічного розподілу має вигляд

_{Z = ∫ exp(- E / T) dΓ = ∫ exp(- E₁ / T) dΓ₁ ∫ exp(- E₂ / T) dΓ₂ … ∫ exp(- E_n / T) dΓ_n =}

_{= ∫ dR₁ ∫ dE₁ exp(- E₁ / T)∫ dR₂ ∫ dE₂ exp(- E₂ / T) … ∫ dR_n ∫ dE_n exp(- E_n / T) =}

_{= [∫ exp(- E / T) dE]ⁿ = Vⁿ Tⁿ.}

Тут ми врахували, що енергії окремих осіб не залежать від їх координат і можна інтегрувати незалежно за координатами і енергіями, тобто

_{∫ dR_i = V.}

Звідси

_{P(E) = exp[-(E₁ + E₂ + … + E_n) / T] / (Vn Tn) = Π_i [exp(- E_i / T) / (V T)]n = Π_i p(E_i),}

де V - об`єм системи. Тобто закон розподілу ймовірностей нашої людської спільноти є добутком однакових законів розподілу окремих людей. Кожний з них є відомим з математичної статистики показниковим розподілом (з точністю до множника V)

_{p(E) = exp(- E / T) / (V T).}

Якщо за допомогою цього розподілу знайти математичне сподівання, то

_{/E/ = T.}

͞Тепер ми можемо легко надати температурі людської спільноти конкретного фізичного змісту: температура дорівнює середній кількості матеріальних благ, що припадають на одну людину. Вища температура відповідає вищому матеріальному добробуту людей. Таку температуру можна легко обчислити теоретично, виходячи з її фізичного сенсу.

Отриманий нами показниковий розподіл ймовірностей можна застосувати не лише як характеристику окремої людини, але і як характеристику всієї людської спільноти. Зроблене нами припущення про ідентичність людей дозволяє інтерпретувати ймовірність p(E) не лише як ймовірність пересічної людини мати рівень матеріального добробуту E, але і як долю всіх людей, що мають цей рівень добробуту. Цікавим і важливим є той факт, що навіть для абсолютно ідентичних людей з точки зору генетики і стартових умов виховання і навчання, їх матеріальний добробут в результаті дії стихійних сил реального життя буде розподіленим за показниковим законом. Останній означає, що людей з малим рівнем добробуту завжди буде набагато більше, ніж людей з великим рівнем добробуту. Цієї нерівності можна уникнути лише за допомогою насилля, тобто за рахунок нехтування свободою людей. Отже перед людством завжди існує така альтернатива: свобода без рівності або рівність без свободи. Тому засадниче гасло масонів, яке піднімало мільйони людей на бунт проти законної влади (французька революція) – за рівність і свободу – є внутрішньо суперечливе і фізично не здійсненне.

Малюнок. Ймовірність статків в залежності від величини цих статків для пересічної людини при температурі суспільства, рівній 1, тобто прожитковому мінімуму

Площу під графіком можна розбити на три характерні ділянки: від 0 до 2 – бідна частина населення; від 2 до 4 – середній клас; більше 4 – багата частина населення. Бачимо, що при низькій температурі суспільства, коли температура – середня кількість матеріальних ресурсів, що припадає на одну людину дорівнює прожитковому мінімуму, тобто 1, більшість людей є бідними, майже на порядок менша їх кількість належить до середнього класу і дуже мала може вважатись багатою. Щодо найбіднішої частини населення слід зробити наступне зауваження. Коли особистий матеріальний ресурс людини значно менший за прожитковий мінімум, то така ситуація не сумісна з фактом фізичного виживанням цієї людини. Ясно, що сучасне суспільство не може дозволити значній кількості своїх членів помирати з голоду. Завжди існують державні і недержавні організації, які опікуються знедоленими з різних причин людьми. Наведена крива відповідає результату дії лише випадкових сил у житті суспільства. Врахування не стихійних сил в життя суспільства, зазначених вище, призводить до суттєвої відмінності реальної кривої від теоретичної саме в області малих значень енергії. З математичної точки зору для малих температур слід використовувати розподіли Фермі або Бозе, зокрема для T = 1.

Універсальним шляхом розв’язання проблеми знедолених є підвищення температури суспільства. На наступному малюнку видно, як при зростанні температури суспільства швидко зменшується відсоток знедолених людей, що вимагають для свого існування втручання держави або благодійних організацій.

Малюнок. Ймовірність статків в залежності від величини цих статків для пересічної людини при температурах суспільства, рівних 1, 3, 5 прожиткових мінімумів

Температури багатих держав у десятки разів вищі, ніж температури бідних, тому прошарки бідних людей у багатих державах незначні. І саме тому населення бідних країн прагне потрапити у будь-який спосіб на території багатих держав. Саме для запобігання цього напливу небажаного населення на свою територію, Сполучені штати на кордоні з Мексикою вже багато років будують непроникну стіну. Природна ж неоднаковість людей, так само як і різноманітність їх стартових умов є ще однією надзвичайно вагомою підставою для їх майбутньої матеріальної нерівності у дорослому самостійному житті. Така нерівність є універсальною властивістю світу живого: рослинного і тваринного. Саме така нерівність є фундаментом еволюції всього живого на Землі від примітивних одноклітинних організмів до колосального різноманіття сучасного життя на планеті.

Ми розглянули сенс температури у разі так би мовити функції розподілу людської спільноти, яка описується класичною функцією розподілу ймовірностей (показниковою). У разі інших законів розподілу сенс температури вже буде не таким простим. Для кожного нового розподілу ймовірностей нам доведеться окремо з’ясовувати сенс температури.

Ентропія - свобода

Ентропію нашої системи s(ε) можна виразити і через її функцію розподілу ймовірностей p(ε_n). Для цього її умову нормування

_{Σ_n P(E_n) = 1}

зручно записати у вигляді інтегралу

_{∫ P(E) dΓ = 1.}

Тут інтегранда, як і у разі термостату, має гострий пік і відмінна від нуля лише у вузькій області Δγ(/ε/). Тоді інтеграл з великою точністю можна замінити простим добутком і умова нормування матиме вигляд

_{P(/E/) Γ(/E/) = 1.}

Виходячи з означення ентропії системи, маємо

_{S(/E/) = ln[ΔΓ(/E/)] = - ln[P(/E/)] = (F - /E/) / T = /(F- E) / T/ = /ln[P(E)]/.}

Тут ми врахували ту обставину, що ентропія лінійно залежить від середньої енергії системи, а для лінійних функцій усереднення можна переносити з аргументу на саму функцію. Отже, повертаючись від інтегрування до підсумовування, матимемо

_{S(/E/)= - Σ_n P(E_n) ln[P(E_n)].}

Якщо ж для конкретної системи адекватнішим є використання інтегралу, то вираз для ентропії буде наступним

_{S(/E/)= - ∫ dR ∫ dE ρ(E) ln[ρ(E)].}

Тут ρ(E) – вже не ймовірність, як у разі підсумовування, а густина ймовірності. Зв`язок між ймовірністю і густиною ймовірності можна встановити лише за конкретизації залежності густини станів від енергії системи. Другий закон термодинаміки (про перший закон мова йтитиме нижче) можна сформулювати на основі ентропії. «У замкнутій системі ентропія не зменшується; з часом вона або зростає, або залишається сталою». Стосовно людської спільноти сказане означає, що суспільство, надане саме собі розвивається у напрямку до більшої матеріальної свободи його громадян. Зрозуміло, що мова йде про рівноважний стан суспільства. Будь-яке збурення суспільства завжди супроводжується зменшенням свободи його громадян. Оскільки особиста свобода базується на матеріальній свободі, то зростання добробуту людини означає і зростання її особистої свободи. Може здатися, що стан анархії у суспільстві, тобто його нерівноважний стан, супроводжується більшою свободою громадян, ніж його упорядкований стан за нормальної діяльності державного апарату. Насправді це ілюзія. Частина членів суспільства дійсно в умовах анархії отримує інколи небачені владні можливості, але анархія призводить до розвалу відлагодженого механізму діяльності всіх ланок суспільства. Зупиняється виробництво, зростає безробіття, зменшуються доходи населення. Починаються перебої з виробництвом продукції сільського господарства, зростають ціни. Одним словом падає життєвий рівень (температура) основної маси народу і відповідно до нашої моделі падає свобода матеріальна і будь яка інша, що на ній базується.

Третій закон термодинаміки також стосується ентропії. Для фізичної системи він формулюється так: «Ентропія чистої кристалічної речовини прямує до нуля при температурі, що прямує до абсолютного нуля». Стосовно людської спільноти це означає, що при падінні добробуту люди поступово упорядковуються у «кристалічну гратку», де про якусь індивідуальність не може бути і мови. Тобто їх індивідуальна свобода (ентропія) прямує до нуля. Тому не випадково програма ілюмінатів, а за нею програма комуністів (див. Маніфест комуністичної партії) вимагали скасування приватної власності. В рамках нашої моделі ця вимога аналогічна прямуванню температури суспільства до нуля, а одночасно з нею прямуванню до нуля і матеріальної, і особистої свободи людини.

Але не для всякої системи ентропія прямує до нуля при прямуванні до нуля температури. Якщо система неоднорідна, то при кристалізації системи можуть утворюватися дефекти гратки. У цьому разі навіть за нульової температури може існувати залишкове ненульове значення ентропії. Можливо не випадково для максимального контролю в армії над солдатами у кожному підрозділі їх намагають підібрати одного віку і навіть однієї національності, не говорячи вже про однакову стать. Програма комуністичної партії, викладена у маніфесті комуністичної партії передбачала повну атомізацію суспільства через руйнування родини і повне позбавлення людей приватної власності через глобальну її націоналізацію. Це виглядає як створення максимально сприятливих умов для реалізації третього закону термодинаміки, тобто максимальне позбавлення людини особистої свободи.

Приклад. Для показникового розподілу, що описує розподіл ймовірностей окремої людини, густина ймовірностей має вигляд

_{ρ(ε) = exp(- ε / T) / (V T)}

ентропія має наступний вигляд

_{s(/ε/)= ln(V T) + /ε/ / T.}

Для сукупності з N ідентичних в обговорюваному вище сенсі людей,

_{S(/E/) = N [ln(V T) + /E/ / T].}

Якщо матеріальну свободу людей вимірювати їх ентропією, то видно, що ця свобода зростає із зростанням температури суспільства за логарифмічним законом. Вільне суспільство – це багате суспільство. При прямуванні температури до нуля ентропія відповідно до отриманої формули спочатку прямує до нуля, при T=1 / e дорівнює нулю, а далі набуває від`ємних значень. Це протирічить третьому закону термодинаміки. Проте тут слід мати на увазі наступну обставину. Температура суспільства не може бути нульовою, оскільки при такій температурі людська спільнота не може фізично існувати (ми домовились вимірювати температуру у величинах прожиткового мінімуму). В рамках нашої моделі p з математичної точки зору граничним значенням температури, меншим за яке вона не може бути, є T=1/e. З фізичної точки зору воно не може бути меншим за 1. Проте важливіше інше. Показниковий закон розподілу в принципі не претендує на опис поведінки системи при низьких температурах. У цьому разі адекватними ситуації є розподіли Фермі і Бозе, які ми розглянемо нижче. При високих температурах всі три розподіли практично не відрізняються один від одного.

Малюнок. Залежності ентропії і влади від температури

З малюнка видно, що особиста свобода людини монотонно зростає із зростанням добробуту (температури) суспільства. Цей закон зростання є практично логарифмічним. Саме тому так званий цивілізований світ складається з багатих країн, де паралельно існує і високий рівень особистої свободи. Відповідно, залежність влади над людиною з боку держави є монотонно спадною функцією, тобто чим багатша в середньому пересічна людина, тим меншу владу над нею має держава або інша людина.

Особиста свобода людини полягає у можливості якісно харчуватись, якісно лікуватись, жити у комфортних житлових умовах, працювати за покликанням на високооплачуваній роботі тощо. Всі ці можливості відкриваються перед пересічною людиною у багатій країні.

Дисперсія - нерівність

Дисперсія є важливою характеристикою закону розподілу ймовірностей. Вона визначає розкиданість значень випадкової величини щодо її середнього значення, тобто характеризує їх нерівність цьому середньому значенню. Дисперсія визначається так

_{D(E) = /E²/ - /E/².}

Корінь квадратний з дисперсії називається середнім квадратичним відхилення. Якщо розглянути інтервал

_{[/E/ - D(E)^1/2, /E/ + D(E)^1/2],}

то ймовірність того, що значення випадкової величини E не належать цьому інтервалу, надзвичайно мала. Середнє квадратичне відхилення може бути ефективною характеристикою людської спільноти. Чим більшим воно є, тим більшим є реальна відмінність у доходах різних груп людей і навпаки. Майнова нерівність тотожна нерівності рівня свободи різних людей. Розглянемо цю ситуацію на конкретному прикладі

Приклад. Нехай закон розподілу ймовірностей для пересічної людини є показниковим

_{ρ(ε) = exp(- ε / T) / (V T).}

Внутрішня енергія такої спільноти є

_{E = N /ε/ = N T,}

а дисперсія

_{D(E) = N T².}

Видно, що дисперсія зменшується з температурою як її квадрат. Тобто чим нижчим є добробут людей, тим нижчою є їх нерівність. Відповідно тим нижчою є і їх свобода. На цьому прикладі добре видна непослідовність масонського гасла: «Свобода, рівність і братерство». Під цим гаслом мільйони людей у різні часи і у різних країнах піднімались на бунт проти законної влади, руйнували власні держави. Це і нідерландська, і англійська, і французька революції. Насправді з трьох термінів: свобода, рівність, братерство вони реально розуміли і прагнули реалізувати лише один – рівність. Заклик до братства не заважав їм пролити море крові найкращих представників власного народу, а слово свобода вони просто не розуміли. У висліді вони суттєво знекровили власну інтелектуальну еліту, суттєво зменшили кількість заможних людей і середній рівень життя решти, суттєво зменшили рівень свободи у суспільстві, оскільки влада аристократії не була такою деспотичною як влада представників черні, що прорвались на вищі її щаблі, але досягли більшої рівності. Це досягнення заспокоїло бунтівників.

Вільна енергія - експансія

Канонічний розподіл або розподіл Гіббса можна записати і у іншому вигляді, а саме

_{P(E_n ) = exp[(F - E_n ) / (V T)],}

де величина

_{F(V,T) = - T ln(z)}

називається в термодинаміці вільною енергією. У даному разі вільна енергія також певним чином характеризує енергетичний стан нашої системи. Для канонічного розподілу легко встановити взаємний зв’язок середньої енергії, вільної енергії, ентропії і температури

_{S(/E/, V) = [F(V, T) - /E/] / T.}

Звичайно цей зв`язок записують так

_{F(V, T) = /E/ – T S(/E/, V) .}

Його можна записати у вигляді диференційного рівняння

_{dF(V, T) = /E/ – T dS(/E/, V) .}

Виписане рівняння називається першим законом термодинаміки.

Важливість вільної енергії, як енергетичної характеристики системи, полягає у тому, що її зміна дорівнює виконаній над тілом або тілом роботи

_{dA = dF.}

Стосовно енергії (внутрішньої енергії) такого зв`язку між енергією і роботою немає. Зміна внутрішньої енергії системи призводить не лише до виконання роботи над системою або зовнішнім середовищем, але і до зміни майнового стану самої спільноти через зміну ентропії. При обчисленні диференціала вільної енергії ми маємо враховувати її залежність від температур.

Приклад. Знайдемо вільну енергію спільноти ідентичних людей. Для пересічної людини закон розподілу ймовірностей її статків, як було показано вище, є показниковим

_{ρ(ε) = exp(- ε / T) / (V T).}

Енергія такої спільноти

_{E = N /ε/,}

ентропія

_{S(/E/) = N [ln(V T) + /ε/ / T].}

& Вільна енергія

_{F(T, V) = E – T S = - N T ln(V T).}

Її диференціал

_{dF(T, V) = - N [ln(V T) + 1] dT = dA(T, V).}

Якщо температура системи зростає, то dT > 0, при цьому dF < 0, тобто зростання температури можливе лише за рахунок зовнішнього джерела. Для цього над системою потрібно виконати роботу, абсолютна величина якої

_{│dA│= N [ln(T) + 1] dT.}

Якщо температура системи спадає dT < 0, при цьому dF > 0, то таке зменшення температури супроводжується зменшенням її внутрішньої енергії і виконанням роботи над зовнішнім середовищем, величина якої

_{dA = N [ln(T) + 1] dT.}

Яскравим прикладом використання розглянутої закономірності є індустріалізація в Радянському союзу. У тридцяті роки більшість населення Радянського союзу мешкала у селі. Роль зовнішнього середовища тут відігравала держава, створена більшовиками. Її промисловий потенціал був мізерним і абсолютно недостатнім для здійснення світової революції, з ідеєю якої носились тоді більшовики і їх хазяї. Потрібна була індустріалізація. Для такого масштабного будівництва були необхідні колосальні ресурси. Одним з джерел цих ресурсів були якраз селяни. В умова Нової економічної політики двадцятих років їх життя майже налагодилось і почало навіть нагадувати життя до більшовицького перевороту 1917 року. Тобто вони знову напрацьовували і споживали доволі суттєвий матеріальний ресурс. Мовою нашої моделі це означає, що температура села була доволі високою. Цей ресурс більшовики вирішили використати для індустріалізації. Перше, що вони зробили – відібрали у селян землю і засоби її обробітку (так звана колективізація сільського господарства). Селяни залишились без приватної власності. Життєвий рівень села суттєво впав. Село, як система, виконало роботу по створенню промислового потенціалу Радянського союзу. Друге, що вони зробили, – це примусили селян важко працювати у колгоспі, не сплачуючи їм нічого за працю. Фізично виживати селяни мали за рахунок невеликих присадибних ділянок, що залишились у них для господарювання (не у власності). Це звільнило додатковий ресурс на користь індустріалізації, тобто ще зменшило температуру села. Для того, щоб від такого життя селяни не втекли у міста, їм не видавали паспорти і не дозволяли без дозволу залишати село навіть на добу. Фактично влада використовувала запропоновану нами модель на чисто інтуїтивному рівні. Про інтелектуальні можливості тодішньої влади можна особливо не поширюватись. Знання таблиці множення серед її типових представників було великим досягненням. Про дії з дробами можна було б і не згадувати.

Влада

Ми виходимо з того, що особиста свобода і влада над особистістю тісно між собою пов’язані. Можна запропонувати різні форми цього зв’язку. Ми пропонуємо одну з таких можливих форм. Вважаємо, що влада над особистістю v(T) просто є оберненою величиною щодо її особистої свободи s(T)

_{v(T) = c / s(T).}

Значення сталої с визначається точкою відліку влади над особистістю. Для ентропії s(T) такою природною точкою відліку є нуль температури. Для влади над особистістю ця точка не може бути точкою відліку, оскільки величина влади у цьому випадку просто дорівнює нескінченості. Якщо в якості точки відліку для влади взяти температуру, що дорівнює трансцендентному числу е і відповідає середині майнового інтервалу, відведеному нами для середнього класу при Т = 1, то с = 2.

Всі диктатори прагнуть максимальної влади над громадянами своєї країни. Згідно з нашим підходом це можливе лише у разі жебрацького стану цих громадян. Високий життєвий рівень громадян і диктатура речі несумісні. Саме тому однією з головних вимог комуністичного маніфесту є повне скасування приватної власності. Згідно з нашою моделлю це автоматично означає майже нульове значення особистої свободи громадян. Тобто глобальною метою комуністичного руху – світової революції – було встановлення глобальної світової диктатури над людьми земної кулі. Але диктатура в ім`я чого або кого?

Тиск - агресивність

Термодинамічна система у статистичній фізиці має таку важливу характеристику як тиск. За означенням

_{P(T, V) = - [∂F(T, V) / ∂V]_T T.}

Для неодноразово використовуваної вище моделі людської спільноти

_{F(T, V) = - N T ln(V T).}

У висліді

_{P(T, V) = n T,}

де, наприклад, n = N / V - середня густина людей на території певної країни. Ця формула з точністю до числового коефіцієнта збігається з формулою для тиску ідеального газу елементарних частинок, або атомів чи молекул. Відповідний числовий коефіцієнт у цьому разі потрібен для того, щоб вимірювати температуру фізичної системи у зручних для практики одиницях – градусах Кельвіна і називається сталою Больцмана. Так само як і для фізичних систем, у разі людських спільнот їх тиск залежить від середньої густини населення даної країни і його життєвого рівня і прямо пропорційний цим величинам. З цієї точки зору слід очікувати небезпечних дій з боку такої країни як Китай – країни перенаселеної і з доволі високим життєвим рівнем населення.

Агресивність Московії також у часовому вимірі зростала пропорційно життєвому рівню її населення. Коли за рахунок переважно нафтодоларів життєвий рівень Московії значно перевищив життєвий рівень України, Московія напала на Україну. При цьому в якості середньої густини населення Московії слід брати густину населення на територіях, придатних для проживання, а не на всій території Московії. Якщо в якості системи розглядати конкретну країну, то тиск визначає потенційний рівень її агресивності щодо сусідів. Якщо тиск у сусідніх країн такий же як і твоїй власній, то немає підстав очікувати агресивних дій твоєї країни щодо сусідніх або навпаки. Якщо тиск з боку сусідніх країн вищий за тиск всередині твоєї країни, то слід очікувати агресії цих країн на твою.

Великий канонічний ансамбль

При виведенні канонічного розподілу ми виходили з того, що система і термостат обмінюються лише енергією. При цьому кількість частинок у системі залишається незмінною. Великі розміри, у будь-якому сенсі, термостату дозволяли використати для його опису мікроканонічного розподілу ймовірностей, а випадковий характер обміну системи і термостату енергією закономірно привів до опису системи канонічним розподілом ймовірності. Тепер ми розглянемо загальніший випадок, коли система і термостат обмінюються не лише енергією, але і частинками. Отже розглянемо замкнену систему як сукупність термостату і взаємодіючої з ним системи. Енергію термостату позначимо через E, системи – через ε, всієї сукупної спільноти через E₀ . Очевидно, що

_{E₀ = E + ε.}

Кількість частинок замкненої системи позначимо через N₀ , системи – через n, термостату – через N. Очевидно, що

_{N₀ = N + n.}

Фазовий простір термостату – кількість точок, з яких він складається, позначимо через Γ, фазовий простір системи – через γ. Оскільки термостат і система взаємодіють між собою, то їх енергії і кількості частинок не зберігаються окремо. Це означає, що точки (мікростани) фазового простору є об`ємними функціями і для термостату, і для системи. Надалі будемо вважати, що Γ при заданій енергії термостату Е і кількості його частинок N означає кількість точок, що знаходяться у фазовому просторі термостату під енергетичною поверхнею E=const. Аналогічно γ, що відповідає енергії ε, і кількості частинок n означатиме кількість точок, яка знаходиться під енергетичною поверхнею ε=const. Очевидно, що фазовий простір замкненої системи є добутком фазових просторів термостату і системи

_{Γ`(E₀ ) = Γ(E) γ(ε).}

Якщо фазовий простір термостату має розмірність N, а фазовий простір системи – розмірність n, то розмірність їх спільного фазового простору буде N n. Для простоти ми не беремо до уваги координати частинок. Розглянемо термостат детальніше. Такий розгляд простіше зробити саме для нього, оскільки закон розподілу ймовірностей тут має універсальний і максимально простий характер. Ймовірність dP приналежності стану термостату сукупності станів dΓ визначатиметься аналогічно попередньому

_{dP(E, N) = p(E, N) dΓ(E, N).}

_{/E/ – ΔE / 2 < E < /E/ + ΔE / 2 .}

Так само у вузьких межах змінюються і кількості частинок у ньому

_{/N/ – ΔN/2 < N < /N/ + ΔN/2.}

Істотними є те, що і статистична вага термостату також змінюється у вузьких межах ͞

_{Γ(Е, N) – ΔΓ(Е, N) / 2 < Γ(Е, N) < ͞Γ(Е, N) + ΔΓ(Е, N) / 2.}

Тут

_{ΔΓ(Е, N) = Γ(Е + ΔE, N + ΔN) - Γ(Е, N).}

Нагадаємо, що Γ(Е+ΔE, N+ΔN) – це кількість точок (мікростанів), що лежать під енергетичною поверхнею Е + ΔE=const, а Γ(Е, N) – це кількість точок, що лежать під енергетичною поверхнею Е=const. Тобто ΔΓ(Е, N) – це кількість точок (мікростанів), що лежать у прошарку між цими двома енергетичними поверхнями. Якщо величини ΔE і ΔN достатньо малі, то всі мікростани цього прошарку мають однакову ймовірність – працює класичне означення ймовірності. Тоді інтеграл нормування можна легко обчислити з високою точністю так

_{∫ dP(E, N) = ∫ p(E, N) dΓ(E, N) = p(/E/, /N/) ΔΓ(/E/, /N/) = 1.}

Звідси

_{ΔΓ(/E/, /N/) = 1 / p(/E/, /N/).}

Оскільки

_{dΓ(E, N) = [∂Γ(E, N) / ∂E]_N dE + [∂Γ(E, N) / ∂N]_E dN,}

то зручно від диференціала за статистичною вагою перейти до диференціалу за енергією і кількістю частинок

_{dP(E, N) = p(E, N) [∂Γ(E, N) / ∂E]_N dE + p(E, N) [∂Γ(E, N) / ∂N]_E dN.}

Тепер обчислення інтеграла нормування дасть наступний результат

_{∫ dP(E, N) = ∫ p(E, N) [∂Γ(E, N) / ∂E]_N dE + ∫ p(E, N) [∂Γ(E, N) / ∂N]_E dN =}

_{= p(/E/, /N/) [∂Γ(/E/, /N/) / ∂/E/]_N ΔE + p(/E/, /N/) [∂Γ(/E/, /N/) / ∂/N/]_N ΔN = 1.}

Звідси

_{[∂Γ(/E/, /N/) / ∂/E/]_N ΔE / ΔΓ(/E/, /N/) + [∂Γ(/E/, /N/) / ∂/N/]_E ΔN / ΔΓ(/E/, /N/) = 1}

_{ΔΓ(/E/, /N/) = [∂Γ(/E/, /N/) / ∂/E/]_N ΔE + [∂Γ(/E/, /N/) / ∂/N/]_E ΔN.}

З високою точністю можна вважати, що

_{[∂Γ(/E/, /N/) / ∂/E/]_N = ΔΓ(/E/, /N/) / ΔE,}

_{[∂Γ(/E/, /N/) / ∂/N/]_E = ΔΓ(/E/, /N/) / ΔN.}

Стосовно ж системи жодних припущень щодо її конкретних статистичних властивостей, можна не робити. Важливим є лише те, що система лише незначним чином може впливати на термостат. Останнє означає, що незалежно від закону розподілу ймовірностей для станів системи, закон розподілу ймовірностей для термостату визначається лише його властивостями, які надзвичайно близькі до властивостей всієї замкненої системи. Якщо її закон розподілу мікроканонічний, то і для термостату він буде мікроканонічним. Важливо лише, що статистична вага замкненої системи буде добутком статистичних ваг термостату і системи, тобто

_{dP₀ (E, ε, N, n) = С(E₀ , N₀ ) δ(E + ε – E₀ ) δ(N + n – N₀ ) dΓ(E, N) Δγ(ε, n).}

Тут ми не конкретизуємо величину Δγ(ε, n), вважаючи, що вона може відповідати як дискретному розподілу точок, так і квазінеперервному. В останньому разі Δγ(ε, n) = dγ(ε, n). Якщо цей закон розподілу для замкненої системи зінтегрувати за станами термостату, то ми отримаємо закон розподілу ймовірностей для нашої системи

_{p`(ε, n) = С(E₀ , N₀ ) ∫ δ(E + ε – E₀ ) δ(N + n – N₀ ) dΓ(E, N) Δγ(ε, n).}

Цей закон розподілу суттєво залежатиме від статистичної ваги мікростанів системи γ(ε, n). Якщо цікавитимемось лише ймовірністю одного довільного стану системи (мікростану) p(ε, n), то, оскільки

_{p`(ε, n) = p(ε, n) Δγ(ε, n),}

він від статистичної ваги мікростанів вже не залежатиме

_{p(ε, n) = С(E₀ , N₀ ) ∫ δ(E + ε – E₀ ) δ(N + n – N₀ ) dΓ(E, N).}

Зручно перейти від інтегрування за статистичною вагою до інтегрування за енергією і кількістю частинок, оскільки аргументами дельта-функцій є саме енергія і кількість частинок

_{p(ε, n) = С(E₀ , N₀ ) ∫ δ(E + ε – E₀ ) δ(N + n – N₀ ) [∂Γ(E, N) / ∂E]_N dE + [∂Γ(E, N) / ∂N]_E dN.}

У висліді інтегрування

_{p(ε, n) = С(E₀ , N₀ ) {[ΔΓ(/E/, /N/) / ΔE]_N₀ – n + ΔΓ(/E/, /N/) / ΔN]_{E₀ - ε}}.}

Оскільки кількість елементарних подій або мікростанів термостату, або просто точок його фазового простору пропорційна його об`єму, а останній пропорційний кубу енергії її енергії, тобто Γ(E, N) ~ E³, то ΔΓ(Е, N) ~ E² ΔE. Те саме стосується і кількості частинок Γ(E, N) ~ N³, ΔΓ(Е, N) ~ N² ΔN. Враховуючи, що енергія термостату є надзвичайно великою, маємо для відповідних числових значень ΔΓ >> ΔE, ΔN. Це означає, що з трьох величин ΔΓ, ΔE і ΔN від енергії і кількості частинок суттєво залежить лише величина ΔΓ. Для величин ΔE, ΔN цією залежністю можна знехтувати. Тоді

_{p(ε, n) = С(E₀, N₀) [ΔΓ( ͞E₀– ε, N₀ – n ) / ΔE(E₀, N₀) + ΔΓ(E₀– ε, N₀ – n ) / ΔN(E₀, N₀)].}

Величина ж ΔΓ безпосередньо пов`язана з термодинамічною характеристикою термостату, що називається ентропією

_{S(/E/, /N/) = ln[ΔΓ(/E/, /N/)].}

Тепер попередню рівність можна записати так, об’єднавши всі сталі величини у нормувальний множник

_{p(ε, n) = С`(E0, N0) exp[S(͞E0– ε, N0 – n)].}

Очевидно що ентропію можна розвинути в ряд за степенями малих величин ε і n

_{S(/E/, /N/) = S(E₀, N₀) – ε ∂S(E₀, N₀) / ∂E – n ∂S(E₀, N₀) / ∂N.}

За означенням температури

_{∂S(E₀, N₀) / ∂E = 1 / T.}

Ще одну похідну визначимо аналогічним чином

_{∂S(E₀, N₀) / ∂N = - μ / T.}

Зручно, щоб новий параметр системи μ, який називається у статистичній фізиці хімічним потенціалом і характеризує рівноважний стан термостату і системи, також мав розмірність енергії. Тому, для того, щоб розмірності лівиці і правиці співвідношення збігались, його потрібно розділити на величину, що також має розмірність енергії. Єдиною такою вже введеною характеристикою системи є температура. Тому вона і міститься у знаменнику. Температура не може бути від`ємною, оскільки похідна ентропії за енергією завжди додатна. Це означає, що із зростанням внутрішньої енергії системи завжди зростає і її температура. А от хімічний потенціал може мати будь-який знак. Проте з естетичних міркувань щодо запису відповідних законів розподілу у статистичній фізиці прийнято вводити знак мінус в означення хімічного потенціалу. Отже ентропію термостату можна записати так

_{S(/E/, ) = S(E₀, N₀) + (μ n – ε) / T.}

Відповідно закон розподілу ймовірностей мікростанів спільноти за її сукупним майном визначатиметься так

_{p(ε, μ, T) = z^-1(μ, T) exp[(μ n – ε) / T].}

_{z^-1 (μ, T) = С`(E₀, N₀) exp[S(E₀, N₀)],}

але у кожному конкретному випадку її доцільно визначати з умови нормування.

Важливо зазначити, що температура є характеристикою всієї замкненої системи. Якщо наша мала система також є макроскопічною, тобто складається з статистично великої кількості елементів, то температура характеризує і термостат, і цю систему однаковим чином. У разі, якщо система складається з небагатьох елементів або навіть з одного, то температура є характеристикою лише термостату. Так само і хімічний потенціал характеризує всю замкнену систему. Якщо наша мала система також є макроскопічною, тобто складається з статистично великої кількості елементів, то хімічний потенціал характеризує і термостат, і цю систему однаковим чином. У разі, якщо система складається з небагатьох елементів або навіть з одного, то хімічний потенціал є характеристикою лише термостату. А от статистична сума є характеристикою саме системи. Алгоритм її знаходження залежить від конкретного закону залежності статистичної ваги від енергії і кількості частинок Γ(E, N). Якщо майнові стани малої спільноти дискретні, які саме ми не конкретизуємо, то умова нормування матиме вигляд

_{z^-1(μ, T) = Σ_n Σ_ε exp[(μ n - ε) / T],}

де підсумовування здійснюється за всіма можливими станами системи. При цьому спочатку при фіксованій кількості частинок підсумовування здійснюється за всіма енергетичними станами, а опісля за всіма кількостями частинок.

Великий канонічний розподіл можна записати і через термодинамічний потенціал. Для цього обчислимо ентропію системи

_{s(/ε/, T, μ) = - Σ_n Σ_ε p(ε, μ, T) ln[p(ε, μ, T)] =}

_{= ln[z(μ, T)] – μ /n/ / T + /ε/ /T.}

Звідси, вводячи термодинамічний потенціал Ω(ε, T, μ), отримуємо

_{-T ln[z(μ, T)] = /ε/ - T s(ε, T, μ) - μ /n/ = Ω(ε, T, μ).}

Остаточно

_{p(ε, μ, T) = exp[(Ω + μ n – ε) / T].}

А для термодинамічного потенціалу можна записати наступний вираз

_{Ω(ε, μ, T) = - T ln{Σn Σε exp[(μ n - ε) / T]}.}

Тут ми параметри термостату позначали великими літерами, а системи – малими. Надалі, де ми розглядатимемо лише систему, її параметри також позначатимемо великими літерами, як це прийнято у статистичній фізиці.

Хімічний потенціал - густина населення

Якщо температура з фізичної точки зору характеризує інтенсивність руху атомів або молекул, з яких складається фізична система, то хімічний потенціал опосередковано характеризує їх густину. І не просто густину, а інтенсивність переходу частинок між системою і термостатом і між окремими частинами самої системи. На відміну від температури, у нас немає простого приладу для вимірювання хімічного потенціалу. Його можна лише обчислити, виходячи з відомих значень інших параметрів системи, наприклад, таких як густина частинок і температура.

Розглянемо головну властивість хімічного потенціалу, як зручної характеристики рівноважного стану системи. Для цього візьмемо дві системи, що знаходяться між собою у контакті, обмінюючись і енергією, і частинками. Для простоти вважатимемо температури обох систем однаковими, а хімічні потенціали різними. Прикладом таких систем можуть бути населення Сполучених штатів і Канади. Проігноруємо економічну взаємодію цих держав з іншими країнами світу. Тобто вважатимемо систему Сполучені штати і Канаду з сукупними матеріальними ресурсами ε₁ і ε₂ замкненою системою і густинами населення n₁ і n₂. Ясно, що у цьому разі їх спільний матеріальний ресурс зберігається

_{E = E₁ + E₂ = const.}

Так само зберігається і загальна кількість населення обох країн

_{N = N₁ + N₂ = const.}

Очевидно, у разі статистичної рівноваги кількість матеріальних ресурсів, що за великий проміжок часу перетинає кордон між цими країнами в обох напрямках, приблизно дорівнює нулю. Так само дорівнює нулю і кількість населення, що перетинає кордон між двома країнами в обох напрямках. Ми вже з’ясували, що у стані статистичної рівноваги ентропія замкненої системи має максимально можливе значення. Вважатимемо, що замкнена система знаходиться у стані статистичної рівноваги, тобто як би ми її не поділили на дві частини за достатньо великий проміж часу обмін енергією і людьми між цими частинами дорівнює нулю. Як ми вже казали, вважатимемо для простоти, що температури обох країн однакові, а щодо хімічних потенціалів жодних припущень робити не будемо. Ентропія замкненої системи є сумою ентропій кожної з країн

_{S(E, T) = S(N₁, T) + S(N₂, T) = S(N₂, T) + S(N - N₁, T)}

і залежить лише від однієї з густин n₁, n₁. З умови екстремума цієї функції за змінною n₁ маємо

_{dS(N, T) / dn₁ = dS(N₁, T) / dN₁ + dS(N - N₁, T) / dN₁ = - μ₁ / T + μ₂ / T = 0.}

Звідси випливає висновок: хімічні потенціали двох систем, що знаходяться у стані статистичної рівноваги між собою і у сукупності утворюють замкнену систему, однакові

_{μ₁ = μ₂.}

Рівність хімічних потенціалів Сполучених штатів і Канади означає, що добробут громадян в обох країнах приблизно на одному рівні і з матеріальної точки зору немає різниці у якій країні жити. Люди з однаковою інтенсивністю перетинають кордон в обох напрямках.

Якщо ж дві системи, які сукупно утворюють замкнену систему, не знаходяться у стані статистичної рівноваги, то їх сукупна ентропія буде меншою, ніж у разі досягнення статистичної рівноваги. Це означає, що у процесі еволюції такої замкненої системи до стану рівноваги сукупна ентропія буде зростати, тобто її похідна буде додатною

_{dS(E, T) / dt = dS(N₁, T) / dt + dS(N - N₁, T) / dt =}

_{= [dS(N₁, T) / dN₁ + dS(N - N₁, T) / dN₁] dN₁ / dt =}

_{= (- μ₁ / T + μ₂ / T) dN₁ / dt > 0.}

Якщо хімічний потенціал другої країни більша за хімічний потенціал першої країни μ₂ > μ₁, то dn₁ / dt > 0 і людські ресурси першої держави будуть зростати, а другої зменшуватись. Тобто людські ресурси перетікають з тих країн, де хімічний потенціал більший у ті країни, де хімічний потенціал менший. На прикладі Російської федерації і Китаю, якщо їх розглядати як замкнену систему, зрозуміла невигідність для Російської федерації відкритість її кордону з Китаєм. Через цю обставину за рахунок китайців відбувається збільшення населення далекого Сходу Російської федерації.

Для обчислення хімічного потенціалу потрібно мати якесь рівняння, до якого входив би хімічний потенціал та інші параметри системи. Для цього достатньо обчислити будь-яку характеристику системи, наприклад, кількість частинок у ній. Ясно, що вигляд такого рівняння залежатиме від конкретного вигляду функції розподілу ймовірностей. Проте, незалежно від вигляду розподілу ймовірностей, залежність хімічного потенціалу від густини буде монотонною, тобто більшій густині відповідатиме і більше значення хімічного потенціалу.

Розподіл Больцмана - заможне і нейтральне суспільство

Нижче ми розглянемо три варіанти людського суспільства. Перший – члени суспільства абсолютно байдужі один до одного, тобто між людьми відсутня будь-яка взаємодія. Така спільнота описується законом розподілу Больцмана. Другий – члени суспільства сприймають один одного лише як суперників в боротьбі за місце під сонцем. Тобто між людьми існує взаємодія, яку можна було охарактеризувати як відштовхування. Така людська спільнота описується розподілом Фермі. Третій – між людьми існує взаємна приязнь і повага. Тобто між ними існує взаємодія, яку можна було охарактеризувати як взаємне притягання. Така спільнота описується законом розподілу Бозе. У цьому параграфі ми розглянемо перший варіант.

Розглянемо сукупність людей, які економічно між собою не взаємодіють, тобто є аналогом ідеального газу статистичної фізики. За яким би принципом ми не утворили з цієї системи меншу підсистему, ця менша підсистема буде невзаємодіючою з рештою системи, а отже незалежною від неї. В якості критерію відбору людей у підсистему візьмемо їх майновий стан. Тоді для кожної такої підсистеми можна застосувати великий канонічний розподіл

_{p(ε_i, μ, T) = exp[Ω_i / T + (μ – ε_i) n_i / T].}

Цей результат безпосередньо випливає з загального виразу для великого канонічного розподілу ймовірностей. Дійсно, якщо при нехтуванні взаємодією можна записати, що

_{Ω = Σ_i Ω_i,}

_{N = Σ_i n_i,}

_{E = Σ_i ε_i n_i,}

де підсумовування здійснюється за всіма енергетичними станами і, то як і має бути для невзаємодіючих частинок, функція розподілу для всієї системи представиться добутком функцій розподілу для окремих частинок

_{P(E, μ, T) = Π_i p(ε_i, μ, T)}

або

_{exp[(Ω + μ N – E) / T] = Π_i exp[Ω_i / T + (μ – ε_i) n_i / T].}

Вираз для p(ε_i, μ, T) можна суттєво спростити, якщо припустити малість середньої кількості частинок у кожному енергетичному стані /n_i/ << 1. У цьому разі ймовірність відсутності частинок у заданому енергетичному стані буде близькою до одиниці

_{p₀(ε_i, μ, T) = exp(Ω_i / T) = 1.}

Ймовірність наявності у заданому стані однієї частинки буде дуже малою, а саме

_{p₁(ε_i, μ, T) = exp[(μ – ε_i) / T] << 1.}

Ймовірність наявності двох частинок

_{p₂(ε_i, μ, T) = {exp[(μ – ε_i) / T]}² << 1}

і більше

_{p_n(ε_i, μ, T) = {exp[(μ – ε_i) / T]}ⁿ.}

Ясно, що при знаходженні будь-якого середнього за допомогою цього розподілу ймовірностей достатньо враховувати лише перші доданки цієї послідовності. Інтерес становить середня кількість частинок у заданому енергетичному стані

_{/n_i/ = Σ_j n_j p_j(ε_i, μ, T) = 0 p₀(ε_i, μ, T) + 1 p₁(ε_i, μ, T).}

Остаточний результат буде таким

_{/n_i/ = exp[(μ – ε_i) / T].}

Цей закон розподілу називається законом Больцмана. Він визначає середню кількість частинок, що знаходиться в одночастинковому енергетичному стані при малій кількості частинок порівняно з кількістю енергетичних станів, доступних для них при заданій енергії.

Від середньої густини в даному одночастинкового енергетичному стані можна перейти і до ймовірності перебування у цьому стані. Для цього достатньо поділити середню кількість частинок на їх загальну кількість, тобто

_{p(ε_i, μ, T) = /n_i/ / N = N^-1 exp[(μ – ε_i) / T].}

Якщо порівняти отриману нами ймовірність з показниковим законом розподілу ймовірностей, отриманим для невзаємодіючої спільноти людей

_{p₁(ε_i, T) = V^-1 T^-1 exp(- ε_i / T),}

то легко отримати вираз для хімічного потенціалу у разі розрідженого ідеального газу

_{μ(n, T) = - T ln(T v),}

де v = V / N – об’єм, що припадає на одну частинку (об’єм життєвого простору, що припадає на одну людину). Середня кількість частинок системи очевидно визначатиметься так n = 1 / V. Отже у даному разі хімічний потенціал від’ємний. За абсолютною величиною він тим більший, чим вища температура системи і чим більший об`єм припадає на одну частинку, тобто чим система розрідженіша.

Формулу Больцмана можна отримати і з умови максимуму ентропії у рівноважному стані системи. Для цього потрібно отримати вираз для самої ентропії системи у довільному, не обов’язково рівноважному стані. Як і раніше систему вважатимемо такою, що складається з невзаємодіючих елементів. Її ентропія визначатиметься стандартним чином

_{S(E) = ln(Γ),}

де Γ – статистична вага стану системи з енергією E. Оскільки взаємодія не враховується, то енергетичний стан системи E цілком визначається можливим значеннями енергії однієї частинки εi і їх числами заповнення ni

_{E = Σ_i ε_i n_i.}

Нехай кожний одночастинковий стан системи вироджений з кратністю виродження gi, тобто кожному значенню енергії відповідає gi мікростанів. Якщо частинки тотожні, то перестановка частинок між цими станами не змінює макростану системи. Тобто реально статистична вага такого енергетичного стану буде в ni! меншою. Якщо ж, додатково, ми вважатимемо кількість частинок у даному одночастинковому стані значно меншою за величину його виродження gi, то частинки розподілятимуться за цими мікростанами незалежно одна від одної. Якщо для розміщення першої частинку у нас буде gi можливостей, то така ж кількість можливостей буде і для всіх інших частинок. Отже, статистична вага даного енергетичного стану γi визначатиметься так

_{γ_i = g_i n_i / n_i!.}

Статистична ж вага всієї системи, тобто кількість мікроскопічних станів, яка реалізує даний макроскопічний стан, визначатиметься наступним чином

_{Γ = Π_i γ_i.}

Тепер для ентропії матимемо наступний вираз

_{S(E) = ln(Π_i γ_i) = Σ_i ln(γ_i) = Σ_i ln(g_i n_i / n_i!) = n_i ln(g_i) – ln(n_i!).}

Враховуючи, що для великих ni >> 1 (мала густина означає лише, що n_i << n і n_i << g_i) можна скористатись наближеним співвідношенням

_{ln(n_i!) = n_i ln(n_i / e),}

де e -основа натурального логарифму, отримаємо, що

_{S(E) = Σ_i n_i ln(e g_i / n_i).}

Якщо ввести середню кількість частинок у кожному одночастинковому стані

_{/n_i/ = n_i / g_i,}

то вираз для ентропії можна переписати так

_{S(E) = Σ_i g_i /n_i/ ln(e / /n_i/).}

Ця формула справедлива як для рівноважної системи, так і для нерівноважної. Рівноважному стану відповідає рівність нулю варіаційної похідної ентропії за середньою густиною частинок у заданому стані. При цьому слід врахувати, що загальна кількість частинок газу

_{N = Σ_j n_j = Σ_j g_j /n_i/}

та їх енергія

_{E = Σ_j ε_j = Σ_j g_j /n_j/ ε_j}

зберігаються. Нагадаємо, що gi – ступінь виродження одночастинкової енергії εj. Врахувати наявність законів збереження можна за допомогою методу невизначених множників Лагранжа, тобто слід шукати екстремум наступного функціоналу

_{(δS / δ/n_i/) [S(E) + α E + β N] = 0.}

Звідси випливає, що

_{g_i [-ln(/n_i/) + α ε_j + β] = 0.}

Отже

_{/n_i/ = exp[(μ – ε_i) / T],}

якщо покласти α = - 1 / T, β = μ / T.

Розподіл Больцмана застосовний для опису більшості сучасних країн Європи, де високий життєвий рівень і не надто висока густина населення.

Розподіл Фермі - агресивне суспільство

Вище ми вже говорили, що показниковий розподіл ймовірностей, який є частинним випадком розподілу Больцмана, добре працює при високому добробуті і малій густині населення країни. Ці обмеження можна зняти. Знову розглянемо сукупність невзаємодіючих частинок (осіб), які знаходяться у певному енергетичному стані (на даному матеріальному рівні добробуту). Для системи невзаємодіючих частинок нашу систему можна представити сукупністю окремих підсистем, в якості яких можна взяти сукупності частинок, що знаходяться в одному одночастинковому стані. При цьому

_{N = Σ_i n_i,}

_{E = Σ_i ε_i n_i,}

Термодинамічний потенціал такої системи має вигляд

_{Ω(V, μ, T) =}

_{= - T ln{Σ_ε Σ_n exp[Σ_i (μ - ε_i) n_i / T]} =}

_{= - T ln{Σ_{ε₁,ε₂,…,ε_N} Σ_{n₁,n₂,…,n_N} Π_i exp[(μ - ε_i) n_i / T]} =}

_{= - T ln{Π_i Σ_{ε_i} Σ_{n_i} exp[(μ - ε_i) n_i / T]} =}

_{= - T Σ_{ε_i} ln{ Σ_{n_i} exp[(μ - ε_i) n_i / T]} =}

_{= Σ_i Ω_i(ε_i, μ, T),}

де

_{Ω_i(ε_i, μ, T) = - T ln{ Σ_{n_i} [exp[(μ - ε_i) / T]]^n_i}.}

Під агресивною спільнотою ми розумітимемо будь-яку людську спільноту з конфронтаційними стосунками між її членами. Прикладом такої спільноти є учасники індивідуальних чи командних спортивних змагань, будь-яка ієрархічна управлінська структура чи злочинне угрупування. Тобто будь-яка спільнота між членами якої постійна боротьба за місце під сонцем на кожному щаблі ієрархії спортивної, чиновницької, злочинної тощо. Для таких спільнот доцільно припустити, що на кожному щаблі ієрархії, майнової або владної знаходиться не більше однієї особи. Це означає, що ni може набувати лише два значення: 0 або 1. Тоді термодинамічний потенціал для підсистеми з заданим значенням енергії буде таким

_{Ω_i(ε_i, μ, T) = - T ln{1+ exp[(μ - ε_i) / T] }.}

За означенням середньої кількості частинок у стані із заданим значенням одночастинкової енергії

_{/n_i/ = - ∂ Ω_i(ε_i, μ, T) / ∂μ = 1 / { exp[(ε_i - μ) / T] + 1}.}

Такий закон розподілу називається функцією розподілу Фермі. Ця функція розподілу нормована на кількість частинок системи

_{Σ_i { exp[(ε_i - μ) / T] + 1}^-1 = N.}

Розподіл Фермі можна записати і як формулу для ймовірності

_{p(ε_i, μ, T) = N-1{ exp[(ε_i - μ) / T] + 1}^-1.}

За нульової температури

_{/ni/ = 1, 0 < ε_i < μ;}

_{/n_i/ = 0, μ < εi .}

Малюнок. Розподіл Фермі при різних температурах

З малюнка видно, що при нульовій температурі графік розподілу має вигляд сходинки, де функція розподілу дорівнює нуля при енергіях, більших за граничну, і одиниці при менших енергіях. Роль граничної енергії відіграє хімічний потенціал. Конкретне його значення для довільної температури можна знайти з умови нормування

_{Σ_i {exp[(ε_i - μ) / T] + 1} - 1 = V ∫ dε_i {exp[(ε_i - μ) / T] + 1}^-1 = N.}

При нульовій температурі ця умова має вигляд

_{V ∫ dε_i = N,}

де змінна інтегрування знаходиться в межах 0 < εi < μ. Звідси

_{μ = N / V = n,}

тобто хімічний потенціал додатний і дорівнює середній густині частинок в системі. Аналогічно можна знайти і середню енергію частинок (середній життєвий рівень людей даної спільноти) 0 < ε_i < μ

_{/ε_i/ = Σ_i ε_i p(ε_i, μ, T) = Σ_i ε_i /n_i/ / N = (V / N) ∫ ε_i dε_i = n μ² / 2 = μ / 2.}

Бачимо, що середня енергія (середній добробут) відмінна від нуля навіть при нульовій температурі. У цьому разі саме хімічний потенціал визначає добробут агресивної спільноти. При ненульових температурах сходинка розмивається тим більше, чим вищою є температура. При достатньо високих температурах розподіл Фермі переходить в розподіл Больцмана. Тобто високий життєвий рівень робить навіть агресивних людей байдужими один до одного.

У цьому граничному випадку температура людської спільноти знову означає середній рівень добробуту людей. Проте за низьких температур це вже не так. Тут температура визначає лише ширину розмазки характерної сходинки розподілу Фермі. Фізичний сенс цієї розмазки ми з`ясуємо нижче. Знайдемо термодинамічний потенціал нашої системи

_{Ω(V, μ, T) = - T Σ_i ln{1+ exp[(μ - ε_i) / T] } =}

_{= - T V ∫ ln{1+ exp[(μ - ε_i) / T] } d ε_i.}

Інтегруючи частинами, отримаємо (інтегрування відбувається в межах 0, ∞)

_{Ω(V, μ, T) = - V ∫ ε_i dε_i /{exp[(ε_i - μ) / T] + 1}.}

Такий же вираз, але з протилежним знаком, ми отримаємо для внутрішньої енергії системи

_{E(V, μ, T) = Σ_i ε_i /n_i/ = V ∫ ε_i dε_i /{exp[(εi - μ) / T] + 1},}

тобто

_{Ω(V, μ, T) = - E(V, μ, T).}

Оскільки термодинамічний потенціал, за означенням,

_{Ω(V, μ, T) = - P V,}

то ми отримуємо наступне рівняння стану

_{P V = E(V, μ, T)}

або

_{P(μ, T) = ∫ ε_i dε_i / {exp[(ε_i - μ) / T] + 1}.}

З іншого боку, для невзаємодіючої системи частинок при високих температурах (розподіл Больцмана або показниковий розподіл ймовірностей)

_{E(V, μ, T) = N /ε_i/}

або

_{P = n T,}

тобто ми маємо, вже отримане раніше рівняння стану для цього випадку. Отже розподіл Фермі при високих температурах і малих густинах дає таке ж рівняння стану як і розподіл Больцмана (показниковий розподіл). При нульовій температурі, коли розподіл Фермі має вигляд сходинки,

_{P = μ² / 2,}

; тобто від температури взагалі не залежить.

Знайдемо поправку до цього результату при низьких температурах. Для цього використаємо наступне розвинення в ряд за степенями малого параметру T / μ << 1

_{P(μ, T) = ∫ ε_i dε_i /{exp[(ε_i - μ) / T] + 1} = μ² / 2 + (π² / 6) T² + … .}

Обмежившись першими двома члена цього розвинення, матимемо

_{P(μ, T) = μ² / 2 + (π² / 6) T².}

Другий доданок є наслідком врахування агресивності людської спільноти тобто неможливості перебування більше однієї особи в одному одночастинковому енергетичному стані. Він додатний. Отже агресивність окремих членів людської спільноти при низьких температурах збільшує тиск, а отже агресивність всієї людської спільноти для інших країн. Прикладом такої країни може бути Московія з її агресивним населенням і доволі низьким життєвим рівнем. Цікаво, що агресивність країни пропорційна квадрату температури. Поки населення Московії у 90-х роках було дуже бідним, вона не становила загрози для сусідів. У 2000-і роки добробут населення за рахунок нафтодоларів суттєво зріс і Московія розпочала повномасштабну війну проти України. У тому ж наближенні для термодинамічного потенціалу матимемо

_{Ω(V, μ, T) = - V P(μ, T) = Ω₀(V, μ) – V (π² / 6) T2,}

де

_{Ω₀(V, μ) = - V μ² / 2.}

Відповідно до теореми про малі добавки, такою ж буде поправка і до вільної енергії

_{F(V, μ, T) = F₀(V, μ) – V (π² / 6) T²,}

де

_{F₀(V, μ) = Ω₀(V, μ).}

Взявши похідну від вільної енергії за температурою, отримаємо вираз для ентропії системи

_{S(V, μ, T) = - (∂F(V, μ, T) / ∂T)_V = V (π² / 3) T.}

Якщо для розподілу Больцмана (показникового розподілу ймовірностей) третій закон термодинаміки не виконувався, тобто ентропія не прямувала до нуля, коли до нуля прямувала температура, то для розподілу Фермі третій закон термодинаміки виконується. Ця обставина зайвий раз доводить, що розподіл Больцмана (показниковий розподіл) не придатний при низьких температурах, а розподіл Фермі придатний при довільних температурах. При високих температурах, як ми вже зазначали, розподіл Фермі переходить в розподіл Больцмана (показниковий розподіл).

Малюнок. Розподіли Фермі і Больцмана при різних температурах

Іншою важливою обставиною є те, що свобода (ентропія) властива лише тому вузькому прошарку людської спільноти, добробут якої перебуває в інтервалі (μ - T, μ + T) поблизу рівня Фермі. Тобто розподіл Фермі описує ієрархічне і майже повністю безправне суспільство, де особистою свободою користується лише вузьке коло людей, що належить до еліти суспільства, тобто має найвищий для даної спільноти рівень матеріальних благ у власному користуванні. Отже, уданому разі температура має сенс не середнього рівня добробуту людей даної спільноти, а величини еліти цієї спільноти, для якої доступна особиста свобода. Решта суспільства може мати цілком задовільний матеріальний рівень життя, але при повній відсутності особистої свободи. Ідеальним прикладом такої країни є Північна Корея, а також, у значній мірі, Китай.

Для фізичної системи, наприклад, металу в переносі заряду, тобто електропровідності, приймають участь лише електрони, що лежать у вузькому прошарку (μ - T, μ + T) поблизу рівня Фермі. Перенос заряду здійснюється завдяки взаємодії цих електронів із зовнішнім електричним полем. Електрони, що лежать нижче цього прошарку, можливості взаємодіяти з таким полем не мають, оскільки їх енергія фіксована їх оточенням, а взаємодія з полем мала б змінити цю енергію. Те саме можна сказати і про людське суспільство даного типу, тільки його елітарний прошарок має можливість на взаємодію із зовнішнім світом, яка могла б змінювати його майновий стан.

Розподіл Бозе - толерантне суспільство

Вище ми вже говорили, що показниковий розподіл ймовірності, який є частинним випадком розподілу Больцмана, добре працює при високому добробуті і малій густині населення країни. Ці обмеження можна зняти. Знову розглянемо сукупність невзаємодіючих частинок (осіб), які знаходяться у певному енергетичному стані (на даному матеріальному рівні добробуту). Для системи невзаємодіючих частинок нашу систему можна представити сукупністю окремих підсистем, в якості яких можна взяти сукупності частинок, що знаходяться в одному одночастинковому стані. При цьому

_{N = Σ_i n_i,}

_{E = Σ_i ε_i n_i,}

Термодинамічний потенціал такої системи має вигляд

_{Ω(V, μ, T) =}

_{= - T ln{Σ_ε Σ_n exp[Σ_i (μ - ε_i) n_i / T]} =}

_{= - T ln{Σ_{ε₁,ε₂,…,ε_N} Σ_{n₁,n₂,…,n_N} Π_i exp[(μ - ε_i) n_i / T]} =}

_{= - T ln{Π_i Σ_{ε_i} Σ_{n_i} exp[(μ - ε_i) n_i / T]} =}

_{= - T Σ_{ε_i} ln{ Σni exp[(μ - εi) ni / T]} =}

_{= Σ_i Ω(ε_i, μ, T),}

де

_{Ω(ε_i, μ, T) = - T ln{ Σ_{n_i} [exp[(μ - εi) / T]]^n_i}.}

Під толерантною спільнотою ми розумітимемо будь-яку людську спільноту з доброзичливими стосунками між її членами. Прикладом такої спільноти є, як правило, люди, об`єднані спільною метою, вірою, участю у спільних відповідальних акціях тощо. Серед членів такої спільноти головну роль відіграє не ієрархічне підпорядкування, а взаємна повага любов, гордість тощо. Тобто будь-яка спільнота між членами якої не йде постійна боротьба за місце під сонцем на вищому щаблі ієрархії. Це може бути спортивна, чиновницька, злочинна спільнота тощо. Але боротьба за місце під сонцем є їх спільною справою. В цій боротьбі вся спільнота виступає як одна сутність. Для таких спільнот доцільно припустити, що на кожному щаблі ієрархії, майнової або владної може знаходитись довільна кількість осіб. Це означає, що ni може набувати будь-яких значень від 0 до ∞. Видно, що термодинамічний потенціал для системи є геометричною прогресією. Ця прогресія буде збіжною лише у разі, якщо exp[(μ - εi) / T]} << 1.Необхідною умовою цього є від`ємність або рівність нулю хімічного потенціалу для довільних значень одночастинкової енергії. Підсумовуючи геометричну прогресію, маємо

_{Ω(ε_i, μ, T) = T ln{1- exp[(μ - ε_i) / T]}.}

За означенням середньої кількості частинок у стані із заданим значенням одночастинкової енергії

_{/n_i/ = - ∂ Ω(ε_i, μ, T) / ∂μ = 1 / { exp[(ε_i - μ) / T] - 1}.}

Такий закон розподілу називається функцією розподілу Бозе. Ця функція розподілу нормована на кількість частинок системи

_{Σ_i { exp[(ε_i - μ) / T] - 1}^-1 = N.}

Малюнок. Розподіли Бозе при різних температурах

Розподіл Бозе можна записати і як формулу для ймовірності

_{p(ε_i, μ, T) = N^-1{exp[(ε_i - μ) / T] - 1}^-1,}

яка же буде нормованою на одиницю. Легко бачити, що для високих температур розподіл Бозе збігається з розподілом Больцмана (показниковим розподілом)

_{p(ε_i, μ, T) = N^-1 exp[(μ - ε_i) / T].}

Хімічний потенціал для розподілу Бозе знаходиться з умови нормування цього розподілу на кількість частинок

_{Σ_i {exp[(ε_i - μ) / T] - 1}^-1 = V ∫dε_i { exp[(ε_i - μ) / T] - 1}^-1 = N.}

Якщо зафіксувати середню густину частинок системи, то при зменшенні температури хімічний потенціал буде зростати, залишаючись від’ємним. Він досягає нульового значення при температурі, що визначається з умови

_{∫dε_i [exp(ε_i / T₀) – 1]^-1 = n}

або

_{T₀ ∫ dx [exp(x) – 1]^-1 = n}

і далі залишається нулем. Звідси

_{T₀ = n / ln(2).}

Малюнок. Розподіли Бозе і Больцмана при різних температурах

При T > T0 графік розподілу Бозе нагадує графік розподілу Больцмана. При T < T0 починається процес Бозе-конденсації, тобто переходу частинок в стан з нульовою енергією. Якщо в будь-якому іншому стані частка таких частинок від їх загальної кількості для всієї системи є дуже малою, то у нульовому стані їх може нагромадитись, в міру зменшення температури, будь-яка кількість аж до всіх частинок системи. При T < T0 середня густина частинок в стані з заданою одночастинковою енергією, відмінною від нуля, буде визначатись попередньою формулою з нульовим хімічними потенціалом, тобто

_{n_i = T ln(2) = n T / T₀.}

Тобто нижче температури переходу показниковий закон залежності густини від температури змінюється на степеневий. При цьому, якщо для розподілу Больцмана при зменшенні температури густина зростала, то для розподілу Бозе у цьому інтервалі температур густина зменшується, натомість зростає густина частинок у стані з нульовою енергією тобто

_{n₀ = n (1 - T / T₀).}

Для енергії при малих температур отримаємо

_{E(V, T) = Σ_i ε_i /ni/ = V ∫ dε_i {ε_i / [exp(ε_i / T) + 1]} = V T² ln(2).}

Звідси для теплоємності при сталому об’ємі отримаємо

_{Cv(V, T) = (∂E(V, T) / ∂T)_V = 2 ln(2) V T.}

Тепер легко знаходимо ентропію системи при низьких температурах 0 < T < T0

_{S(V, T) = ∫ [C_v(V, T) / T] dT = 2 ln(2) V T}

і вільну енергію

_{F(V, T) = E(V, T) – T S(V, T) = V T2 ln(2) - V T² 2 ln(2) = - V T² ln(2).}

Звідси знаходимо тиск

_{P = - (∂F(V, μ, T) / ∂V)_T = ln(2) T².}

Для розподілу Бозе, так само як і для розподілу Фермі, виконується третій закон термодинаміки, тобто ентропія системи прямує до нуля, якщо до нуля прямує температура. Температура для розподілу Бозе має приблизно той же фізичний зміст, що і для розподілу Больцмана, тобто безпосередньо пов`язана з середнім життєвим рівнем спільноти. Критична температура T0 має сенс мінімального життєвого рівня, нижче якого починається вимирання спільноти. Кількість Бозе-конденсату є кількістю померлих людей внаслідок катастрофічного падіння їх життєвого рівня. Для розподілу Бозе тиск також прямує до нуля, якщо до нуля прямує температура. Тобто агресивність такої людської спільноти можна зменшувати до нуля, зменшуючи життєвий рівень цієї спільноти. Немає людей – немає проблеми. За таким сценарієм в Україні у сталінські часи було здійснені три голодомори з загальною кількістю жертв у 14.5 млн осіб і геноцид війною. Мається на увазі Друга світова війна, де Україна втратила понад 10 млн життів українців. Тобто українці від природи є толерантними людьми, що якраз і сприяє їх геноциду.

Ще одна цікава особливість толерантного суспільства. Особиста свобода всіх членів суспільства завжди відмінні від нуля при довільних температура. Свободою в рівній мірі користуються всі члени суспільства для будь-якої температури. Нагадаємо, що для агресивного суспільства особиста свобода є привілеєм лише елітарної частини суспільства, елітарної за ознакою кількості матеріальних благ в їх користуванні.

Зауважимо, що для агресивного суспільства геноцид не можливий, оскільки жодними процесами передачі енергії від системи неможливо відібрати мінімальну притаманну їй ненульову енергію, достатню для виживання практично всіх членів спільноти. Прикладом такої агресивної спільноти є московити. На території їх проживання у найстрашніші роки тоталітаризму не було жодного голодомору, пов’язаного з реквізицією матеріальних засобів існування.

Шукати в цьому блозі

Science with Shvets V. T.