Science with Shvets V. T.

Чи потрібен Україні пам`ятник Богдану Хмельницькому?

Найвеличніший пам`ятник Києва – це, безумовно, пам`ятник Богдану Хмельницькому, відкритий у 1888 році на Софійській площі під час святкування 900-річчя Хрещення Русі. Він був спільним результатом ініціативи українських інтелектуалів, підтримки царського уряду та роботи російських майстрів. Збір коштів проводився за всеросійською підпискою з 1870 року.

Хто ж був тим українським інтелектуалом, якому належала ідея встановлення цього пам`ятника? Ним був Микола Іванович Костомаров (1817–1885) — видатний український історик, етнограф, письменник, поет романтик і громадський діяч, один із засновників Кирило Мефодіївського братства та ідеолог українського національного відродження. Він народився 4 травня 1817 р. в селі Юрасівка, Воронезька губернія (нині РФ). Його батько був російським поміщиком, а мати – українською кріпачкою.

Микола Костомаров був істориком і етнографом, досліджував історію України, Білорусі та Росії, видав 12 томів «Актів Південної і Західної Росії» (1863–1884). Він був професором Київського університету святого Володимира та Петербурзського університету, член-кореспондентом Петербурзької академії наук (з 1876 року), редактором археографічної комісії у Києві та Петербурзі, друкувався у журналах «Современник», «Основа», «Киевская старина», «Вестник Европы». У 1847 році за участь у Кирило – Мефодіївському братстві був заарештований і рік провів у Петропавлівській фортеці, після чого був засланий до Саратова.

Тепер про політичні погляди Миколи Костомарова. Він оцінював розпад Речі Посполитої і входження українських земель до складу Московії крізь призму своєї концепції історичного розвитку - як трагедію втрати політичної свободи, але водночас як етап у формуванні української народності. Микола Костомаров розрізняв два типи державності - український і московський. Перший був демократичним, громадським, заснованим на свободі і самоврядуванні. Його реалізацією були Давня Русь і козацька Україна. Другий – деспотичний, централізований, підпорядкований владі царя. Його реалізацією була Московія – спадкоємиця Золотої орди. Він вважав, що український народ мав природну схильність до волелюбності, а тому втрата автономії після Переяславської угоди 1654 року була історичною помилкою, яка призвела до занепаду політичної культури. У працях «Богдан Хмельницький» і «Руська історія в життєписах її головних діячів» він писав, що союз із Москвою був вимушеним кроком, продиктованим військовими обставинами. «Україна, шукаючи захисту від Польщі, знайшла ярмо Москви» — ця думка проходить крізь усю його історіософію. Для Костомарова розпад Речі Посполитої і приєднання України до Московії - не визволення, а втрата історичного шансу на власну державність.

Його погляди вплинули на Пантелеймона Куліша, Тараса Шевченка, Володимира Антоновича. Микола Костомаров критикував польську шляхту за соціальне гноблення українського селянства. Водночас він визнавав, що польська культура мала позитивний вплив на розвиток освіти й правових традицій України. Розвал Речі Посполитої він сприймав не як визволення, а як зміну форми залежності - від польської до московської.

А ось як сприймав Тарас Шевченко постать Богдана Хмельницького. Найвідоміші слова — з поеми «Розрита могила» (1843):

**Ой Богдане!

Нерозумний сину!

Подивись тепер на матір,

На свою Вкраїну...

Ой Богдане, Богданочку,

Якби була знала,

У колисці б задушила,

Під серцем приспала.**

А в пізнішому вірші «Якби-то ти, Богдане п’яний...» (1859) Шевченко ще гостріше висловив своє розчарування гетьманом:

Якби-то ти, Богдане п’яний,

Тепер на Переяслав глянув!

... Амінь тобі, великий муже!

Великий, славний! та не дуже…

Якби ти на світ не родивсь

Або в колисці ще упивсь…

Чому ж, маючи такі доволі радикальні, як на ті часи, погляди Микола Костомаров став ініціатором створення у Києві пам`ятника Богдану Хмельницькому? Адже саме війни Богдана Хмельницького на історичному шляху розвитку України стали точкою біфуркації. Кілька років війн визначили долю України на сотні і сотні років вперед. Два шляхи вимальовувались перед українцями у ці роки. Хмельницькій міг програти. Тоді були всі шанси виникнення у центрі Європи нового потужного польсько-українського етносу. Поляки разом з українцями перевищували чисельністю населення Московії. На цій етнічній основі могутня Річ Посполита (Справа Загальна) могла змінити на краще весь історичний розвиток Європи. Абсолютне зло планети у вигляді Московії ніколи б не набуло такої загрозливої і трагічної ваги для долі сучасного Європейського світу і не лише Європейського. Реалізувався другий шлях – Хмельницький виграв. Це завдало смертельного удару по Речі Посполитій, від якого вона так і не змогла отямитись. Український етнос був відірваний від етнічно близького до нього польського етносу і кинутий під ноги етнічно чужого і дикого напівазійського племені – прямого нащадка «Золотої орди». Тепер московити разом з українцями перевищували чисельно населення Польщі.

І все таки, чому ж Микола Костомаров першим висловив ідею встановлення в Києві пам`ятника Богдану Хмельницькому? Адже він добре розумів, що Богдан Хмельницький, уклавши союз із Москвою фактично відкрив шлях до втрати української автономії. У своїх працях він неодноразово підкреслював, що цей крок був вимушеним і мав трагічні наслідки для майбутнього України. Але водночас Костомаров бачив у Хмельницькому символ національного пробудження: Хмельницький очолив масовий рух, який уперше поставив питання про державність українців. Він уособлював силу козацької демократії, здатність народу боротися проти шляхетського гніту. Для Костомарова пам’ятник у Києві був не стільки прославленням політичного союзу з Москвою, скільки вшануванням народного героя, який був символом прагнення до свободи. Тут проявилась його романтична історіософія: він вважав, що історія - це насамперед історія народу, а великі постаті - символи цього народу. Тому Хмельницький для нього був не «винуватцем поневолення», а знаком сили й волі українців, навіть якщо його політичні рішення мали трагічні наслідки.

Підсумовуючи можна сказати, що саме війни Богдана Хмельницького дали величезний поштовх для виходу на історичну арену світу нового відособленого від інших етносу, а саме українців. Тобто Микола Костомаров фактично розглядав Богдана Хмельницького як батька майбутньої української нації з усіма трагічними подіями її майбутньої історії у вигляді культурного геноциду часів Російської імперії і фізичного геноциду часів Російської імперії у формі Радянського союзу. В останньому випадку – це три голодомори із втратами у 15.5 млн осіб, мільйони виселених з території України українців, мільйони запроторених у радянські концтабори, сотні тисяч розстріляних за надуманими звинуваченнями, і колосальні втрати у двох світових війнах на боці ворожої і безжальної до українців Російської імперії у її класичній і радянській іпостасях.

Чи майже півтора століття, що пройшли від дня смерті Миколи Драгоманова, внесли якісь суттєві корективи у його засадничу концепцію становлення української нації? Так внесли. І перша така невідповідність стосується слов`янськості українців і московитів. Члени Кирило-Мефодіївського товариства вважали росіян слов`янами переважно через те, що їх державна мова була слов`янською. При існуючому тоді рівні наукових досліджень спільність походження інших слов`янських народів і росіян не можливо було ні довести, ні спростувати. Лишалася лише мова. Але якщо мову брати за основу спорідненості різних етносів, то афроамериканці і євроамериканці мусять вважатись одним етносом. Відповідно і всі народи Центральної і Південної Америки, крім Бразилії, разом з європейцями-іспанцями також мають вважатись одним етносом. На сьогодні питання етнічної приналежності росіян є доволі прозорим. Це, переважно, нащадки угро-фінських племен, які через ряд обставин змушені були в якості державної мови взяти давньоболгарську, як її основу.

Тепер добре відомо, де знаходиться прабатьківщина слов`ян. Це територія між сучасними Краковом і Києвом з приблизно однаковою площею по обидва боки польсько-українського кордону. Але слов`янська складова це лише одна з складових польської і української націй. Ще однією важливою їх складовою є скіфо-сарматська. Судячи з наявності у поляків і українців (чоловіків) приблизно по 50% гаплогрупи R1A, характерної для скіфів і сарматів, такою ж є їх частка і у генофонді обох народів. Різниця між поляками і українцями виникає лише щодо трипільської складової їх генофонду, область найбільшого поширення якої можна приблизно навпіл поділити між Україною і Румунією (археологічна культура Трипілля - Кукутень). У українців ця складова становить до 20%, у поляків – значно менше. Проте є інтегральна характеристика етносів, яка дозволяє оцінити їх загальну близькість між собою. Ця характеристика базується на аналізі формули крові відповідних народів. Цю різницю можна виразити числом і порівняти його для поляків і українців з відповідним числом, наприклад, для північних і південних корейців. Виявляється, що це число для поляків і українців майже втричі менше, ніж для корейців. Тобто, якщо північних і південних корейців ми сприймаємо як один народ, то тим паче, із значно більшою впевненістю ми маємо сприймати поляків і українців одним народом. Якщо ж взяти українців і московитів, то відстань між ними значно перевищує відстань між північними і південними корейцями. Тобто тут мова взагалі не йде про спорідненість цих народів.

Отже війни Богдана Хмельницького фактично розрубали єдиний етнос на дві частини і меншу з них кинули під ноги абсолютно іншому народу. Це і було передумовою подальшого усвідомлення українців себе як нового і окремого від усіх інших народів світу етносу з подальшою трансформацією його у сучасних українців.

Друга невідповідність стосується характеристики війн Богдана Хмельницького. Микола Костомаров бачив у війнах Хмельницького народний рух за свободу, що відображав демократичний дух українців. Радянська і сучасна українська історіографії вважають їх національно-визвольними змаганнями українського народу. Я спробую спростувати обидві точки зору. Спочатку оцінимо рівень свободи у Печі Посполитій і Московському царстві.

Річ Посполита була найдемократичнішою країною тогочасної Європи з виборною монархією і зі шляхетською демократією. Вона була федеративною державою Польщі та Литви, де влада короля була жорстко обмежена сеймом і шляхетськими привілеями. Її устрій поєднував риси монархії та республіки, що отримало назву «Monarchia Mixta» (змішана монархія). Після Люблінської унії 1569 р. Польща та Литва утворили спільну державу. Король одночасно був польським королем і великим князем литовським. Єдиним законодавчим органом був Вальний сейм. Король обирався шляхтою, а не успадковував владу. Його повноваження обмежувалися «Генріховими артикулами» (1573) та Pacta Conventa. Король мусив скликати сейм кожні два роки й узгоджувати політику з сенатом. Шляхта мала право відмовитися від покори королю, якщо він порушував їхні привілеї. Місцеві сеймики вирішували питання оподаткування, війська, обирали представників до сейму. Система влади була побудована на балансі між королем і шляхтою. Правове становище селян визначали Литовські статути та сеймові постанови.

У середині XVII ст. Московія мала державний устрій абсолютної монархії з сильною централізованою владою царя, опертого на боярську думу та Земський собор. На відміну від шляхетської демократії Речі Посполитої, влада царя була майже необмеженою, а суспільство - становим і жорстко ієрархізованим. Цар мав верховну владу у військових, фінансових та судових справах. Його влада вважалася «божественною» і не потребувала підтвердження від підданих. Постійний дорадчий орган при царі був складений із бояр та вищих сановників. Він виконував функції уряду, але не обмежував царську владу. Селяни вважались власністю землевласника і їх можна було продавати нарівні із свійськими тваринами.

Так що перехід з під влади Речі Посполитої під владу Московії точно не обіцяв більшої свободи більшості українцям.

Тепер щодо національно-визвольних змагань. Національно-визвольні змагання можливі лише тоді, коли народ, що розпочинає боротьбу, усвідомлює себе окремою нацією. Українському народу тих часів було дуже далеко від такого усвідомлення, навіть зараз, майже за 400 років від тих давніх часів, у частини сучасного населення України є проблеми з таким усвідомленням. То що говорити про початок довгого шляху становлення новітньої української нації в результаті Хмельниччини.

То як правильно назвати війни Богдана Хмельницького? Я думаю, що соціальними війнами. Перед їх початком на українських землях політичну, інтелектуальну, культурну, адміністративну і майнову еліту становили потужні княжі роди Острозьких, Заславських, Збаразьких, Вишневецьких і Сангушків. Всі вони вели свій родовід з часів Давньої Русі і прямо або опосередковано від легендарного Рюрика. До речі, син Яреми Вишневецького Михайло Корибут став королем Польщі (1669–1673), що спростовує розмови про дискримінацію у Речі Посполитій за етнічною приналежністю.

Цікаво, що головним своїм ворогом Богдан Хмельницький вважав саме українського (руського) князя Ярему Вишневецького, а не короля Речі Посполитої. Бажання козацької старшини підмінити князівську еліту козацькою і було спонукальним мотивом її участі у війнах Богдана Хмельницького. Бажання зруйнувати існуючу ієрархію влади, яка викликала заздрість і ворожість з боку простого люду і була спонукальним мотивом його участі у цих війнах. Проста людина здебільше сприймає владу і її ієрархію як тягар, що заважає йому вільно дихати, і намагається його скинути, не розуміючи що наявність певної влади та її ієрархії є необхідною умовою його власного існування у прийнятних цивілізаційних рамках.

Розплата за розвал Речі Посполитої настала дуже швидко. Козацька старшина ненадовго стали новою елітою української протодержави. Її політична і економічна вага у суспільстві не змогла і близько зрівнятись з княжою. Вона швидко втратила свій вплив в умовах підпорядкування Московії. Український народ, який покладав такі великі сподівання на руйнування доволі демократичної Речі Посполитої, опинився в рабстві чужої і ворожої до нього держави-Московії, а більшість селян просто стали власністю російських поміщиків. Цей сценарій повторився і у часи так званої громадянської війни. Згадайте отамана-анархіста Нестора Махна і його безславний кінець.

Третя обставина, яку слід взяти до уваги, - це ентузіазм, з яким державні органи Російської імперії зустріли ідею побудови пам`ятника. Микола Костомаров бачив у ньому символ народження нової європейської нації – українців. Московська ж влада бачила в ньому символ довічного приєднання України до Російської імперії. А на яку точку зору стати нам? Я думаю, що на точку зору Миколи Драгоманова. Але як перекреслити сприйняття цього символа російською владою старих і нових часів?

І, нарешті, ніколи не існувало двох Русей – Південної і Північної. Була лише одна Русь з столицею у Києві, яку доцільно тепер називати не Київська Русь, як прийнято, а Давня Русь.

А як ставитись нам до сучасної Польщі і поляків? Сприймати як довершений факт виникнення нової української нації на Європейському континенті, але пам`ятати, що в дійсності ми один народ з майже ідентичним генотипом, сотнями років спільного проживання в одній доволі демократичній державі – Речі Посполитій, близькими мовами, християнською релігією і багатьма іншими спільними важливими ознаками. І найкраще нам ще довгий жити в окремих державах, поки обидва наших народи не усвідомлять себе в своїй більшості як один народ зі спільним багатотисячолітнім минулим і спільним майбутнім.

Так чи потрібен Україні пам`ятник Богдану Хмельницькому? Як на мене, то ні. Але якщо він вже існує, то має бути лише одним з представників великого пантеону українських провідних історичних діячів. І першим кроком при створенні такого пантеону було б на тому ж Софійському майдані побудувати ще величніший пам`ятник гетьману Івану Мазепі – символу прагнення нашого українського народу до справжньої незалежності і національної величі. Якщо ж пам`ятник Богдану Хмельницькому і далі залишатиметься на Софійському майдані в гордій одинокості, то краще його демонтувати.

Формула свободи. Канонічний розподіл ймовірності

Гіббс, Джозайя Уілард (1839 - 1903)

Канонічний розподіл ймовірності

Мікроканонічний, канонічний і великий канонічний розподіли відіграють засадничу роль у статистичній фізиці. Тут ми розглянемо канонічний розподіл. Нехай дві макроскопічні системи, тобто такі, що складаються з великої кількості елементарних частинок, атомів, молекул або інших об`єктів знаходяться у стані рівноваги і тепловому контакті. Одна з них маленька з енергією ϵ, інша велика з енергією E - ε. Малість розуміється у сенсі енергії ϵ << E. Більшу систему називатимемо термостатом. Саме вона визначає теплові характеристики малої системи. Останню називатимемо підсистемою. Далі, нехай термостат і система разом утворюють замкнену систему. Тобто ця система вже не обмінюється енергією з будь-якими іншими системами, а між собою підсистема і термостат обмінюються малими порціями енергії – малими порівняно з їх власними енергіями. Це означає збереження загальної енергії замкнутої системи: E = E - ε + ϵ. Статистичний закон, що описує цей обмін буде розглянутий окремо. Зараз для нас важливий сам факт такого обміну, який, власне, призводить систему у стан теплової рівновани з термостатом.

Термостат складається з великої кількості мікроскопічних частинок, кожна з яких має власну енергію. Сукупність цих енергій і визначає макроскопічний енергетичний стан термостату. Проте одну і ту ж сумарну енергію можна отримати колосальною кількістю стособів, кожний з який характеризує один з можливих варіантів розподілу цієї сумарної енергії між мікрочастинками. Кожний такий конкретний розподіл реалізує так званий мікроскопічний стан термостату. Отже, один макроскопічний стан термостату можна реалізувати величезною кількістю способів. Цю кількість називатимемо статистичною вагою стану або ступенем його виродження.

Розглянемо простий приклад. Нехай наша система складається з двох мікрочастинок з енергіями ε₁ і ε₂. Відповідно, енергія системи ε = ε₁ + ε₂. Якщо енергія системи ε = 0, то цьому стану системи відповідатиме лише один мікростан: ε₁ = 0, ε₂ = 0. Якщо енергія системи ε = Δ, де Δ – нероздільна порція енергії, то тут ми маємо вже два мікростани: ε₁ = Δ, ε₂ = 0 або ε₁ = 0, ε₂ = Δ. Якщо енергія системи ε = 2 Δ, то тут ми маємо вже три мікростани: ε₁ = 2 Δ, ε₂ = 0, або ε₁ = 0, ε₂ = 2 Δ, або ε₁ = Δ, ε₂ = Δ. Статистична вага кожного наступного енергетичного стану системи наростатиме із збільшенням енергії системи, як також і із збільшенням кількості мікрочастинок в ній.

Якщо термостат і підсистема разом утворюють замкнуту систему з фіксованою енергією E, то мікростани системи реалізуються при енергії термостата E - ε і енергії підсистеми ε. Термостат завжди складається з колосальної кількості мікрочастинок. У загальному випадку, підсистема також. Хоча часто розглядаються і підсистеми, що складаються з однієї мікрочастинки. Різноманітні комбінації мікростанів системи і термостату ще більше збільшують кількість мікростанів замкненої системи, тобто статичну вагу її макростану.

З точки зору теорії ймовірностей кожний мікростан замкненої системи називається елементарною подією ω_i. Їх повна сукупність утворюють простір елементарних подій Ω. Сукупність елементарних подій, що реалізують стан підсистеми, утворюють подію Ω_ε, яка відповідає стану підсистеми з енергією ε. Сукупність елементарних подій, що реалізують стан термостата, утворюють подію Ω_E-ε, яка відповідає стану термостата з енергією E - ε.

Простір елементарних подій, дії над подіями

Ймовірність елементарної події ω_i називається елементарною ймовірністю p(ω_i). Нехай P(Ω_ε) – ймовірністю підсистеми мати енергію ε, P(Ω_E-ε) – ймовірність термостату мати енергію E - ε. Ці дві ймовірності надалі нас і цікавитимуть у першу чергу. Очевидно, що P(Ω) = 1. Тепер у нас є формальна основа для подальших досліджень замкненої системи в рамках теорії ймовірностей, оскільки ми побудували ймовірнісний простір {Ω, A, P(A)}. Тут А – алгебра подій, тобто сукупність всіх подій разом з елементарними, замкнена відносно операцій додавання, віднімання, множення і заперечення, визначених для множин. Подальший алгоритм знаходження шуканих ймовірностей формально дуже простий. Для цього лише потрібно знайти суму елементарних ймовірностей, що формують ці ймовірності:

P(Ω_ε) = p_ε₁ + p_ε₂ + ... ,

P(Ω_E-ε) = p_E-ε₁ + p_E-ε₂ + ... .

Але практично ця задача є нереальною через надзвичайно велику кількість елементарних подій, яким можуть відповідати різні елементарні ймовірності. Потрібні неминучі спрощення у підході до задачі. Таким спрощенням є припущення, що всі елементарні події рівноправні, тобто їх елементарні ймовірності однакові

p_ε₁ = p_ε₂ = ... = p_E-ε₁ = p_E-ε₂ = ... .

Така гіпотеза називається ергодичною. Вона і досі не перетворилась у теорему із строгим доведенням. Якщо позначити через |Ω| - кількість елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій, то для рівноправних елементарних подій

p = p_i = 1 / |Ω|.

Так само формально просто можна визначити і шукані ймовірності:

P(Ω_ε) = p Γ(Ω_ε),

P(Ω_E-ε) = p Γ(Ω_E-ε).

Тут Γ(Ω_ε) і Γ(Ω_E-ε) - кількості елементарних подій, що утворюють події Ω_ε, Ω_E-ε або статистичні ваги відповідних станів. Але навіть після такого радикального спрощення задача залишається нереально складною для розв`язання через надзвичайно велику кількість мікростанів, яку не можливо виміряти безпосередньо. Тому доцільно виразити статистичні ваги через якісь макроскопічні характеристики, наприклад, термостату або всієї замкнутої системи, які вже у той, чи інший спосіб можуть бути виміряні. Такою зручною характеристикою є ентропія. Вона визначається так

S(E) = ln[Γ(Ω)].

Ця макроскопічна характеристика також не вимірюється безпосередньо, але в рамках термодинаміки може визначатись іншими макроскопічними характеристиками системи, які вже вимірюються експериментально.

Якщо підсистема знаходиться у стані з енергією ε із ймовірністю P(Ω_ε), а термостат з енергією E - ε із ймовірністю P(Ω_E-ε), то замкнута система буде знаходитись у стані з таким розподілом енергії з ймовірністю, що визначається добутком попередніх ймовірностей

W(ε) = P(Ω_ε, Ω_E-ε). = P(Ω_ε) P(Ω_E-ε) = p² Γ(Ω_ε) Γ(Ω_E-ε).

Фактично ми використали теорему множення ймовірностей для незалежних подій. Їх незалежність цілком логічна при кожному конкретному значенні величини ε. Відповідно, можна говорити і про ймовірність знаходження нашої підсистеми, що є частиною замкнутої системи, з енергією ε, у будь-якому мікроскопічному стані ω_ε, поклавши Γ(ω_ε) = 1, пам`ятаючи, що загальна кількість мікроскопічних станів підсистеми є Γ(Ω_ε),

w(ε) = P(ω_ε, Ω_E-ε) = p(ω_ε) P(Ω_E-ε) = p² Γ(Ω_E-ε) = p² exp[S(E - ε)].

Очевидно,

W(ε) = w(ε) Γ(Ω_ε).

Наступного спрощення можна досягти, враховуючи малість енергії підсистеми порівняно з енергією термостату ε << E - ε. Розвинувши ентропію системи у ряд Маклорена за степенями ε, матимемо

S(E-ε) = S(E) - dS(E)/dE ε + O(ε²).

Але за означенням абсолютної температури T, яке не залежить від конкретної структури і властивостей статистичної підсистеми,

T^-1 = dS(E) / dE.

T – абсолютна температура замкнутої системи. Ця температура легко вимірюється експериментально. Одночасно, це є температура і термостату, і підсистеми, якщо остання є макроскопічною і складається з великої кількості мікрочастинок, оскільки вони знаходяться у стані теплової рівноваги між собою. Якщо ж підсистемою вважається лише одна мікрочастинка, то тоді мова йде лише про температуру термостата. Інколи температура має і простий фізичний сенс. Так у разі ідеального газу молекул її температура з точністю до числового коефіцієнту є середньої кінетичною енергією цих молекул. У загальному випадку

S = S(E, T).

Тепер вираз для шуканої ймовірності можна записати у вигляді

W(ε) = P(Ω_ε, Ω_E-ε) = P(Ω_ε) P(Ω_E-ε) = p² Γ(Ω_ε) Γ(Ω_E-ε) = p² Γ(Ω_ε) exp[S(E) - ε / T].

Після зроблених наближень ймовірність того, що замкнута система знаходиться у стані, що визначається мікроскопічними станами термостату і підсистеми, перестала явно залежати від мікроскопічних станів термостату. Тепер вона залежить лише від мікроскопічних станів підсистеми. Залежність від мікроскопічних станів термостату трансформувалась у залежність ймовірності від такої експериментально вимірюваної характеристики термостату як абсолютна температура і залежність ентропії замкнутої системи від її енергії. Дану ймовірність можна перетворити у ймовірність, що характеризує виключно підсистему, точніше ймовірність її знаходження у мікроскопічних станах з різними енергіями ε. Для цього її необхідно лише відповідним чином нормувати

∑_ε W(ε) = p² exp[S(E)] ∑_ε Γ(Ω_ε) exp(- ε / T) = 1.

Умова нормування дозволяє визначити комбінацію сталих величин p² exp[S(E)], які визначаються лише властивостями всієї замкненої системи, через мікроскопічні характеристики підсистеми. Суму за всіма мікростанами підсистеми називають статистичною сумою

Z = ∑_ε Γ(Ω_ε) exp(- ε / T).

При підсумовування слід враховувати не лише наявність у підсистеми енергетичного спектру, за енергіями якого відбувається підсумовування, але і виродженість кожного її енергетичного рівня. Із зростанням енергії виродженість відповідних енергетичних рівнів, як правило, стрімко наростає. Під знаком суми у нас виникають два множники: густина станів і експоненційний множник канонічного розподілу. Чим вищим є енергетичний рівень, тим більшою у типових випадках є його виродженість і, відповідно, густина станів, але меншим є внесок цих станів у суму через наявність спадного експоненційного множника. Тому слід розрізняти ймовірність даного мікростану підсистеми, що визначається наведеною вище формулою, і ймовірність даного енергетичного стану. В останньому випадку ймовірність мікростану слід домножити на густину станів. Конкуренця цих двох механізмів викликає появу характерного піку на графіку залежності ймовірності від енергії. Остаточний результат для ймовірностей різних енергетичних мікростанів підсистеми і енергетичних станів (не мікростанів) будуть такими

w(ε) = Z^-1 exp(- ε / T),

W(ε) = g(ε) Z^-1 exp(- ε / T).

Тут g(ε) - густина енергетичних станів.

Тепер термостат впливає на ймовірності мікростанів підсистеми лише через таку свою макроскопічну характеристику як абсолютна температура.

Отриманий закон розподілу називається канонічним або розподілом Гібса. Всі складності його використання пов`язані із знаходженням статистичної суми. У кожній конкретній задачі мусять бути свої спрощуючі обставини, що дозволяють це зробити. Дві характеристики підсистеми відграють при цьому принципову роль - це енергетичний спектр підсистеми і ступінь виродження кожного її енергетичного стану. Часто ці характеристики вдається отримати на основі мікроскопічних розрахунків.

Якщо закон розподілу енергетичних станів підсистеми відомий, то середнє значення будь-якої функції, що визначається тим самим енергетичним спектром, можна знайти у стандартний для математичної статистики спосіб

F(ε) = ∑_ε f(ε) W(ε).

Формули для статистичної суми математичного очікування (середнього значення фізичної величини) записані для найпростішого випадку – дискретного енергетичного спектру. Саме тому скрізь у нас присутні суми. У разі неперервного спектру замість сум мають бути інтеграли. Перехід від дискретного спектру до неперервного вимагає окремого детального розгляду і це ми зробимо на прикладі конкретних задач.

Енергетичний спектр атома водню (по вертикалі - енергія)

Традиційно розподіл Гіббса використовують для статистичного опису фізичних систем, що складаються з елементарних частинок, атомів, молекул. Проте так само успішно його можна застосувати і при розгляді будь-яких систем, що складаються з подібних елементів довільної структури, наприклад, це можуть бути людські спільноти. Що складаються з окремих людей. Останнє застосування не є традиційним, тому ми детально його обговорюватимемо для ряду конкретних випадків нижче.

Неперервний енергетичний спектр (по горизонталі - енергія)

Приклад.

Обчислимо статистичну, математичне сподівання і дисперсію для випадкової величини ε, розподіленої за канонічним законом для квазінеперервного енергетичного спектру, енергетичні рівні якого розташовані еквідистантно.

Розв`язання.

Еквідистантність енергетичних рівнів означає, що

ε_n = Δε n, n = 0, 1, 2, … .

Квазінеперервність означає, що Δε << T і може використовуватись в якості зручної одиниці вимірювання температури. У цьому разі для статистичної суми маємо нескінчену геометричну прогресію із знаменником набагато меншим від одиниці

Z = ∑_n exp(- ε_n / T*) = ∑_n exp(- Δε n / T*) = ∑_n exp(- Δε / T*)ⁿ = 1 / [1 - exp(- Δ / T*)] = T* / Δε = T.

Тепер канонічний розподіл набере вигляду

w(ε) = T^-1 exp(- ε / T).

Тут λ = 1 / T

У математичній статистиці такий розподіл називається показниковим. Легко показати, що

М ε = (1 / T) ∑_n ε_n exp(- ε_n / T) = - (1 / T) [d / d(1/T)] ∑_n exp(- ε_n / T) = - (1 / T) [d / d(1/T)] T = T,

М ε² = (1 / T) ∑_n ε_n² exp(- ε_n / T) = - (1 / T) [d² / d(1/T)²] ∑_n exp(- ε_n / T) = - (1 / T) [d² / d(1/T)²] T = T,

D ε² = М ε² – (М ε)² = T².

Зауваження.

Весь попередній розгляд стосувався статистичних систем, що характеризувались таким скалярним параметром як енергія. Фундаментальна властивість цього параметру полягає у тому, що для замкнутої системи він зберігається. Інша його властивість відповідає тому, що він визначає здатність системи виконувати роботу. У світі людей можна знайти декілька аналогічних скалярних параметрів людських спільнот. Це, наприклад, матеріальне багатсьво і окремої людини, і окремої спільноти, виражене у грошовому еквівалнті. Цей параметр для замкненої системи також зберігається і наявність грошей також дає змогу виконувати роботу будь-якого характеру. Таке поняття статистичної фізики як термостат також легко локалізується для людської спільноти. Так само очевидним чином для людських спільнот можна ввести і решту характеристик фізичної статистичної системи. Питання лише в тому, який конкретний фізичний сенс вони матимуть у цьому разі.

Канонічний розподіл і ентропія. Формула свободи. Ентропія і інформація

Канонічний розподіл ймовірності можна виразити через вільну енергію підсистеми. Вільна енергія наступним чином пов`язана із статистичною сумою підсистеми

F = - ln(Z).

Вільна енергія є макроскопічною характеристикою речовини – термодинамічним потенціалом, що залежить від температури і об`єму підсистеми і вже може вимірюватись експериментально. У загальному випадку для системи з об`ємом V

F = F(T, V).

Вільна енергія пов`язана з внутрішньою енергією E і ентропією S підсистеми наступним чином (важливо, що тут мова вже йде про ентропію підсистеми, а не всієї системи)

F = E – T S.

Канонічний розподіл тепер можна записати так

w(ε) = exp[(F - ε) / T].

Обчислимо тепер середнє значення логарифму ймовірності знаходження підсистеми у її довільному мікроскопічному стані

∑_ε W(ε) ln[w(ε)] = ∑_ε W(ε) (F - ε) / T = (F - E) / T.

Тут внутрішня енергія, за означенням, є середнім значення енергії підсистеми

E = ∑_ε W(ε) ε.

Тепер шуканий вираз стане таким

S = - ∑_ε W(ε) ln[w(ε)] = - ∑_ε w(ε) ln[w(ε)] Γ(Ω_ε).

Тобто функція розподілу ймовірностей дозволяє безпосередньо обчислювати ентропію, не залучаючи до обчислень жодних інших величин. Цей вираз широко використовується не лише у статистичній фізиці, але і у теорії інформації та інших застосування, пов`язаних з канонічним розподілом.

Припустимо, що всі енергетичні стани підсистеми невироджені, їх загальна кількість скінчена і дорівнює N, а ймовірності всіх станів однакові і дорівнюють w(ε) = 1 / N. У цьому разі вираз для ентропії максимально спрощується і

S = ln(N).

У теорії інформації ця формула називається формулою Хартлі.

Клод Шенон - творець теорії інформації

Приклад 1.

Розглянемо приклад з теорії інформації. З території Московії у бік України стартувала балістична ракета з великим боєзарядом по одному з 8 найбільших міст України. По якому саме місту точно не відомо. Знайти кількість інформації, >що міститься у цьому повідомленні.

Розв`язання.

У даному разі простір елементарних подій складається з восьми елементарних подій. Всі вони рівноправні. З умови нормування ймовірності випливає, що ймовірність кожної елементарної події є 1/8. Кількість інформації в повідомленні визначається за тою ж формулою, що і ентропія. Теорії інформації прийнято використовувати не натуральний логарифм, а логарифм за основою 2. Отже, кількість інформації Ш дорівнює

I = log₂(8) = 3.

Приклад 2.

Розглянемо ще один приклад з теорії інформації. З території Московії стартувала балістична ракета з великим боєзарядом у напрямку Одеси. Знайти кількість інформації, що міститься у цьому повідомленні.

Розв`язання.

У даному разі простір елементарних подій складається з однієї елементарної події. Отже, кількість інформації дорівнює

I = log₂(1) = 0.

Ми бачимо, що інформаційне повідомлення тим цінніше, чим більшу невизначеність воно у себе містить. З практичних міркувань очевидно, що перше з наведених повідомлень вимагає вжиття більшої кількості заходів через велику невизначеність інформації. У другому повідомленні мова йде про достовірну (вірогідну) подію, тобто воно не містить жодної невизначеності і вимагає для прийняття правильного рішення менше практичних зусиль.

Приклад 3.

Розглянемо приклад з соціології. Припустимо, що у Китаї проводяться президентські вибори. На цю посаду висунуто одного кандидата від однієї партії. Яка свобода політичного вибору реалізується в цій країні?

Розв`язання.

Для кількісного аналізу рівня політичної свободи можна використовувати ту саму формулу, що і у статистичній фізиці та теорії інформації Тут простір елементарних подій складається з однієї елементарної події, то для величини політичної свободи отримуємо

Svoboda = S = log₂(1) = 0.

Приклад 4.

Розглянемо ще один приклад з соціології. Припустимо, що у Сполучених штатах проводяться президентські вибори. На цю посаду висунуто одного кандидата від республіканської партії і одного кандидата від демократичної партії. Яка свобода політичного вибору реалізується в цій країні?

Розв`язання.

Тут простір елементарних подій складається з двух елементарних подій. Традиційно за обох кандидатів голосує приблизно той самий відсоток виборців з невеликою перевагою на користь одного з кандидатів. Для простоти вважатимемо зазначені події рівноправними, тобто відповідні елементарні ймовірності дорівнюватимуть по 1/2

Svoboda = S = log₂ = 1.

Приклад 5.

Розглянемо ще один приклад з соціології. Припустимо, що в Україні проводяться президентські вибори. На цю посаду висунуто одного кандидата від республіканської партії і одного кандидата від демократичної партії. Яка свобода політичного вибору реалізується в цій країні, за відомими результатами цих виборів?

Кандидат	Кількість голосів	%	Висунення
Кравчук Леонід Макарович	19 643 481	59	Самовисування
Чорновіл В'ячеслав Максимович	7 420 727	23,27	Народний рух України
Лук'яненко Левко Григорович	1 432 556	4,49	Українська республіканська партія
Гриньов Володимир Борисович	1 329 758	4,17	Партія демократичного відродження України
Юхновський Ігор Рафаїлович	554 719	1,74	Самовисування
Табурянський Леопольд Іванович	182 713	0,57	Народна партія
Проти всіх/недійсні	1 327 788	4,07

Розв`язання.

Тут простір елементарних подій складається з семи елементарних подій відповідно до кількості кандидатів. В якості елементарних ймовірностей візьмемо долі голосів виборців, подані за відповідних кандидатів. Остаточний результат буде таким

Svoboda = S = - 0.59 log₂(0.59) - 0.23 log₂(0.23) - 0.05 log₂(0.05) - 0.04 log₂(0.04) - 0.02 log₂(0.02) – 0.06 log₂(0.06) - 0.04 log(0.04) = 1.7.

Порівняння президентських виборів в Україні з аналогічними виборами у Китаї і Сполучених штатах явно на користь України Свобода політичного вибору в Україні у 1.7 разів вища, ніж свобода політичного вибору у флагмані світової демократії – Сполучених штатах Америки. У Китаї свобода політичного вибору взагалі дорівнює нулю.

Національна асоціація дослідників Голодомору - геноциду українців | Публікація 26 Національна асоціація дослідників Голодомору - геноциду українців | Публікація 15
Валерій Швець

Інші сторінки мого блогу:

Valeriy Shvets selected: https://valeriyshvetsselected.blogspot.com/

Література: https://valeriyshvetsscienceliterature.blogspot.com/

Точні науки: https://shvetsvtnew.blogspot.com/

Народний Рух України: https://peoplemovementofukraine.blogspot.com/

Геноцид українців: https://genotsyd.blogspot.com/

p²

L_x

p²