Максимально просто про загальну теорію відносності і її застосування

 

Максимально просто про релятивістську теорію гравітації і її застосування

Коваріантний і контраваріантний вектори

            Геометрично вектор r  можна зобразити як направлений відрізок прямої, а аналітично його можна задати набором чисел. Якщо це радіус-вектор, тобто вектор з початком у початку координат, то достатньо задати у двовимірному випадку два такі числа, що однозначно визначають точку, де він закінчується. Вектор можна задати також його складовими векторами r^x, r^y, спрямованими вздовж осей координат, звичайно, якщо вони прямолінійні

r = r^x + r^y.

Якщо ввести у розгляд напрямні або координатні вектори, спрямовані вздовж відповідних осей координат e_x, e_y, то кожний із складових векторів можна задати за допомогою цих векторів і двох скалярів r^x, r^y, які ми також називатимемо складовими вектора

r^x = r^x e_x,      r^y = r^y e_y.

Не плутати складові вектори і складові вектора. Перші є векторами, другі -скалярами. Тоді

r = r^x e_x + r^y e_y.

Вектор також можна задати його проекціями r_x, r_y на відповідні осі координат, визначивши їх скалярними добутками

r_x = (r, e_x) = r cos(α),     r_y= (r, e_y) = r cos(β).

Тут α і β – кути між вектором r і відповідними осями. У цьому разі вектор матиме вигляд

r = r_x e^x + r_y e^y.

Тут координатні вектори e^x, e^y хоча і спрямовані вздовж осей координат, але їх довжини у загальному випадку відрізняється від довжин векторів e_x, e_y. Вони має бути такими, щоб виконувалась рівність

r^x e_x + r^y e_y = r_x e^x + r_y e^y.

Компоненти векторів з нижніми індексами називаються коваріантними, компоненти з верхніми індексами – контраваріантними. У разі декартових координат, тобто не лише прямолінійних, але і прямокутних , коваріантні і контраваріантні компоненти вектора збігаються

r_x  = r^x,      r_y =  r^y.

Так само збігаються і напрямні вектори

e_x = e^x ,     e_y = e^y.

Останні можна взяти одиничної довжини.

(e_x)² = (e^x)² = 1 ,     (e_y)²= (e^y)²=1.

У косокутній системі координат

r_x  ≠ r^x,      r_y ≠  r^y

і, відповідно,

|e_x| ≠ |e^x| ,     |e_y| ≠ |e^y|.

Тут, якщо вектори e_x , e_y взяти одиничної довжини, то вектори e^x , e^y такими вже не будуть. У косокутній системі координат при даному виборі координатних векторів

(e_x, e^y) ≠ 0,     (e_y, e^x) ≠ 0.

Складові вектора – контраваріантні компоненти і його відповідні проекції – коваріантні компоненти будуть відрізнятись величиною, так само як відрізнятимуться довжиною контраваріантні і коваріантні напрямні вектори. Тобто один і той самий вектор можна задати у двох різних системах координат, які називаються спряженими. При цьому сам вектор залишається незмінним.

            Ми тут навели один варіант побудови спряженої системи координат. Існують і інші. Так можна побудувати дуальну систему координат, у якій коваріантні і контраваріантні координатні вектори ортогональні і мають одиничну довжину

(e_x, e^y) = 0,     (e_y, e^x) = 0,

(e_x, e^x) = 1,     (e_y, e^y) = 1.

У цьому разі довжина радіус-вектора визначатиметься лише через квадрати коваріантних або контраваріантних компонент.

            Але повернімось до нашого вибору спряжених просторів. У релятивістській теорії гравітації використовується чотиривимірний простір. У цьому просторі представимо  радіус-вектор і через його складові, і через його проекції так

r = xⁱe_i,     r = x_ieⁱ.

Тут здійснюється підсумовування від 1 до 4 за кожною парою індексів, що повторюються, причому один має бути верхній, а інший нижній. Для зручності, у разі багатовимірного простору всі складові радіус-вектора і його проекції позначатимемо літерою x з відповідним індексом. У кожному з просторів особливу роль відіграють скалярні добутки координатних векторів, які у сукупності задають метричний тензор простору довільної розмірності

g_ik = (e_i, e_k),     g^ik = (eⁱ, e^k). 

Базову роль надалі відграватиме коваріантний метричний тензор. Тензорний характер контраваріантного тензора буде доведений нижче, а його компоненти визначатимуться через компоненти коваріантного метричного тензора. Тензори розрізняються рангом. Скаляр є тензором нульового рангу. Вектор є тензором першого рангу. Компоненти тензора другого рангу задаються набором скалярних добутків складових або координат двох векторів. Метричний тензор – це тензор другого рангу, що визначає всі метричні властивості простору відповідної розмірності. Він відіграє центральну роль у релятивістській теорії гравітації, оскільки його компоненти є потенціалами поля гравітації. У релятивістській теорії гравітації цих потенціалів стільки, скільки компонент у метричного тензора.

            Зручно весь подальший виклад вести паралельно розглядаючи обидва спряжені простори. За допомогою коваріантного метричного тензора можна виразити довжину радіус-вектора через його складові

|r|² = r² = g_ik xⁱx^k.

Як буде показано нижче, радіус-вектор можна виразити і за допомогою контраваріантного метричного тензора через його проекції

|r|² = r² = g^ik x_ix_k.

Тут за індексами, що зустрічаються двічі, виконується підсумовування. Як бачимо, у загальному випадку квадрат довжини вектора визначається всіма можливими добутками складових вектора або його проекцій. У декартовій системі координат присутні лише квадрати його складових, так само як і у дуальній системі координат. Зауважимо, що у косокутній системі координат компоненти метричного тензора є сталими величинами для всього простору. У криволінійній системі координат це не так.

Перехід між різними криволінійними системами координат

            Перейдемо тепер до криволінійної системи координат. Тут компоненти метричного тензора вже будуть функціями точки. В околі кожної точки можна побудувати прямолінійну косокутну систему координат, координатні прямі якої є дотичними до координатних ліній криволінійної системи координат. У такій косокутній системі координат виконуватимуться всі попередні метричні співвідношення, але лише для нескінченно малих векторів dr, якщо ми хочемо ототожнити криволінійну і косокутну системи координат.  Зокрема,

|dr|² = (dr)² = g_ik dxⁱdx^k.

Ми бачимо, що метричний тензор визначає відстань між нескінченно близькими точками простору у криволінійній системі координат через різниці відповідних координат. Як стане зрозуміло далі, він визначатиме і зміну координатних векторів при переході від однієї точки до нескінченно близької у криволінійних координатах. Він також визначатиме характер простору: евклідів він, чи Ріманів. У криволінійній системі координат координатні вектори є функціями координат і в якості цих векторів у даній точці можна взяти дотичні до координатних ліній, що проходять через цю точку, тобто похідні радіус-вектора за відповідними координатами

e_i = (∂r/∂xⁱ).

Перехід до іншої косокутної системи координат x^i’= (x₁, x₂, … , x_n), повйазаної з даною точкою, яку ми позначимо штрихом, тепер можна записати у диференційній формі

∂r/∂x^i’= (∂r/∂x^k) (∂x^k/∂x^i’)

або

e_i` = (∂x^k/∂x^i’) e_k.

Тобто матриця з елементами (∂x^k/∂ x^i’) задає закон перетворення коваріантних координатних векторів. Подібним чином ми розглянемо і закон перетворення складових контраваріантного вектора

dx^i’ = (∂x^i`/∂x^k) dx^k.

Тут вже перехід здійснюється за допомогою матриці з елементами (∂x^i`/∂x^k), оберненої до матриці з елементами (∂x^k/∂x^i’).

            Знайдемо закон перетворення для коваріантних компонент диференціала вектора. Для цього виходитимемо з означення коваріантного вектора як такого, що задається його проекціями dx_i = (dr, e_i). Тоді

dx_i’ = (∂x^k/∂x^{i`</sup>) (dr, e<sub>k</sub>) = (∂x<sup>k</sup>/∂x<sup>i`}) dx_k.

Аналогічно, виходячи з того самого означення проекції вектора dx_i = (dr, e_i) та представлення вектора через його складові da = da^k e_k, знаходимо звйазок між коваріантними і контраваріантними компонентами диференціала вектора

dx_i = (e_i, e_k) dx^k = g_ik dx^k.

Знайдемо тепер закон перетворення для метричного тензора. За означенням

e_{i`</sub> = (∂x<sup>α</sup>/∂x<sup>i’</sup>) e<sub>α,</sub>      e<sub>k`} = (∂x^β/∂x^k’) e_β.

Тоді

g_i`k` = (e_{i`</sub>, e<sub>k`}) = (∂x^α/∂x^i’) (∂x^β/∂x^k’) (e_α, e_β) = (∂x^α/∂x^i’) (∂x^β/∂x^k’) g_αβ.    

Матриця контраваріантного метричного тензора за відомою матрицею коваріантного метричного тензора шукається за алгоритмом знаходження оберненої матриці. Остаточний результат такий

g^ik = A^ik/g.

Тут g - визначник для матриці, що визначає коваріантний метричний тензор

       | g₁₁   g₁₂   g₁₃ |

g =  | g₂₁   g₂₂   g₂₃ |

         | g₃₁   g₃₂   g₃₃ |,

A^iα алгебраїчне доповнення до елемента g_iα .

            Для доведення цього співвідношення створимо суму A^iα g_kα. За означенням алгебраїчного доповнення

A^iα g_kα = g δ_kⁱ.

Тут символ Кронекера δ_kⁱ=1 для i=k і δ_kⁱ=0 для i≠k. Оскільки

dx_i = g_ik dx^k,

то

A^iα dx_α= A^iα g_αβ dx^β = g δ_βⁱ dx^β = g dxⁱ.

Звідси остаточний результат

dxⁱ = (A^ik/g) dx_k = g^ik dx_k,

g^ik = A^ik/g.

            Бачимо ще одну важливу властивість метричного тензора. Він дозволяє піднімати і опускати індекс вектора, переводячи коваріантний вектор у контраваріантний, а контраваріантний у коваріантний. Очевидно, що контраваріантний метричний тензор є симетричним щодо своїх індексів, що випливає з симетрії коваріантного метричного тензора

g^ik = g^ki.     g_ik = g_ki.    A^ik = A^ki. 

Окрім того,

g_iα g^αk = g_iα A^αk/g = δ_i^k.

При переході від однієї криволінійної системи координат до іншої в околі даної точки закон перетворення компонент контраваріантного метричного тензора буде наступним

g^i`k`  = (∂x^{k`</sup>/∂x<sup>β</sup>) (∂x<sup>i`}/∂x^α) g^αβ.

            Для доведення цього співвідношення виходитимо із отриманих вище виразів

dx<sup>i`</sup> = g<sup>i`k`</sup> dx<sub>k`</sub>,

dx^i’ = (∂x^i`/∂x^α) dx^α,

dx_α’ = (∂x^β/∂x^α`) dx_β.

Звідси

(∂x^{i`</sup>/∂x<sup>α`}) dx^{α`</sup> = g<sup>i`α`</sup> (∂x<sup>β</sup>/∂x<sup>α`}) dx_β.

У лівиці останнього рівняння ще раз використаємо співвідношення

dx^α = g^αβ dx_β.

Тоді

(∂x^{i`</sup>/∂x<sup>α</sup>) g<sup>αβ</sup> dx<sub>β</sub> = g<sup>i`α`</sup> (∂x<sup>β</sup>/∂x<sup>α`}) dx_β

або

[(∂x^{i`</sup>/∂x<sup>α</sup>) g<sup>αβ</sup> - g<sup>i`α`</sup> (∂x<sup>β</sup>/∂x<sup>α`})] dx_β = 0.

Звідси випливає, оскільки величини dx_β незалежні, що

(∂x^{i`</sup>/∂x<sup>α</sup>) g<sup>αβ</sup> = g<sup>i`α`</sup> (∂x<sup>β</sup>/∂x<sup>α`}).

Помножимо обидві частини останньої рівності на похідну (∂x^k`/∂x^β) і підсумуємо за індексом β

(∂x^{k`</sup>/∂x<sup>β</sup>) (∂x<sup>i`}/∂x^α) g^αβ = g^i`α` (∂x^{k`</sup>/∂x<sup>β</sup>) (∂x<sup>β</sup>/∂x<sup>α`}).

Враховуючи, що

(∂x^{k`</sup>/∂x<sup>β</sup>) (∂x<sup>β</sup>/∂x<sup>α`}) =  δ<sub>α`</sub><sup>k`</sup>,

отримаємо

g^i`k`  = (∂x^{k`</sup>/∂x<sup>β</sup>) (∂x<sup>i`}/∂x^α) g^αβ.

            Отримане співвідношення показує, що контраваріантний метричний тензор дійсно є тензором, оскільки його компоненти перетворюються за законом, що двічі повторює закон перетворення вектора. Відстань між двома нескінченно близькими точками можна виразити і через контраваріантні компоненти метричного тензора

|dr|² = (dr)² = g_ik dxⁱdx^k = g_ik g^iα dx_α g^kβ dx_β = δ_k^α dx_α g^kβ dx_β = g^αβ dx_α dx_β.

            Символ Кронекера також є тензором другого рангу із змішаними компонентами: одна коваріантна, інша контраваріантна. Відповідно до цього закон його перетворення буде

δ<sup>i`</sup><sub>k`</sub> = (∂x^{i`</sup>/∂x<sup>α</sup>) (∂x<sup>β</sup>/∂x<sup>k`}) δ^αβ.

Аналогічно перетворюються тензори довільного рангу з довільною кількістю коваріантних і контраваріантних компонент.

Нескінченно мале перенесення координатних векторів

            Легко порівняти два вектори, що виходять з однієї точки, оскільки їх складові або проекції задані в одній і тій же системі координат. Ця процедура порівняння є принципово важливою для знаходження похідної вектора. Розглянемо як це можна зробити, коли вектори задані у двох нескінченно близьких точках. Нехай у першій точці координатні вектори задаються рівнянням

e_i = (∂r/∂xⁱ),

де r – радіус-вектор цієї точки. При переході до сусідньої нескінченно близької точки координатний вектор зміниться на

de_i = (∂e_i/∂x^k) dx^k = (∂²r/ ∂xⁱ ∂x^k) dx^k.

Величина ∂e_i/∂x^α є величиною, симетричною щодо індексів. Розклавши її на складові вектори, напрямлені вздовж координатних векторів у даній точці, матимемо

∂e_i/∂x^k = Γ_ik^α e_α.

Коефіцієнти цього розвинення симетричні щодо нижніх індексів

Γ_ik^α = Γ_ki^α,

але не утворюють тензор. Вони називаються символами Кристофеля другого роду. Крім них існують символи Кристофеля першого роду і звйазок між ними наступний

Γ_ik^α = g^αk Γ_ik,α.

Знову тут видно фундаментальну роль метричного тензора. У свою чергу, символи Кристофеля першого роду так повйазані з компонентами коваріантного метричного тензора

Γ_ik,α = (∂g_iα/∂x^k + ∂g_kα/∂xⁱ - ∂g_ik/∂x^α)/2.

            Для доведення цього співвідношення цього обчислимо похідну коваріантного метричного тензора. Виходячи з його означення, маємо

∂g_ik/∂x^α = (∂e_i/∂x^α, e_k) + (e_i, ∂e_k/∂x^α).

Тепер помножимо координатний вектор скалярно на інший координатний вектор

(∂e_i/∂x^k, e_α) = Γ_ik^β (e_β, e_α) = g_αβΓ_ik^β.

Далі введемо символи Кристофеля першого роду

g_αβΓ_ik^β = Γ_ik,α.

Тоді

(∂e_i/∂x^k, e_α) = Γ_ik,α.

Відповідно

∂g_ik/∂x^α = Γ_ik,α + Γ_kα,i.

Тепер легко перевірити безпосередньою підстановкою останнього співвідношення у наступний вираз, що він виконується

Γ_ik,α = (∂g_iα/∂x^k + ∂g_kα/∂xⁱ - ∂g_ik/∂x^α)/2.

            Приріст координатного вектора при його перенесенні між нескінченно близькими точками тепер можна записати так

de_i  = ∂e_i/∂x^k dx^k = Γ_ik^α e_α dx^k.

Отже, при паралельному переносі на нескінченно малу відстань в околі даної точки ми матимемо два координатні вектори: e_i і e_i+ de_i.

            Візьмемо тепер довільний вектор , заданий своїми контраваріантними компонентами

y = yⁱe_i.

При його паралельному переносі на нескінченно малу відстань цей вектор з контраваріантними компонентами не повинен змінитись, тому

yⁱe_i = (yⁱ + d yⁱ) (e_i + de_i) = yⁱ e_i + yⁱ de_i +  e_i dyⁱ.

Звідси  наступний ланцюжок перетворень

0 = yⁱ de_i + e_i dyⁱ,

0 = yⁱ Γ_ik^α e_α dx^k + e_i dyⁱ,

0 = (y^α Γ_αkⁱ dx^k + dyⁱ) e_i,

dyⁱ = - Γ_αβⁱ y^α dx^β.

Аналогічний вираз можна отримати і для коваріантних компонент вектора

dy_i = - Γ_iβ^α y_α dx^β.

            Можна показати, що у разі змішаного тензора третього рангу його зміна при паралельному переносі у нескінченно близьку точку має вигляд

dX_ik^γ = - Γ_αβ^γ X_ik^β dx^α + Γ_iα^β X_βk^γ dx^α + Γ_αk^β X_iβ^γ dx^α.

            Розглянемо тепер як змінюється при паралельному переносі на нескінченно малу відстань коваріантний метричний тензор. У вихідній точці він має вигляд

g_ik + dg_ik = g_ik +(∂g_ik/∂x_α) dx_α.

При паралельному переносі він отримає приріст, дивись загальну формулу для паралельного переносу тензора третього рангу але для випадку тензора другого рангу,

Δg_ik = Γ_iα^β g_βk dx^α + Γ_iα^β g_βi dx^α = g_βk g^βγ Γ_iα,γ dx^α + g_βi g^βγ Γ_iα,γ dx^α =

= δ_k^γ Γ_iα,γ dx^α + δ_i^γ Γ_iα,γ dx^α = Γ_iα,k dx^α + Γ_iα,i dx^α = dg_ik.

На останньому кроці ми використали означення похідної коваріантного метричного тензора

∂g_ik/∂x^α = Γ_ik,α + Γ_kα,i.

Отже, при паралельному переносі зміна коваріантного метричного тензора дорівнює його диференціалу, обчисленому в околі вихідної точки,

Δg_ik = dg_ik.

Звідси випливає, що шляхом паралельного переносу коваріантного метричний тензор, заданий в одній точці, покроково можна задати в усіх точках простору так, ніби це звичайна функція. Тобто метричний тензор g_ik+dg_ik у нескінченно близькій точці x_i + dx_i можна отримати, обчисливши тензор g_ik  в точці x_i , обчисливши в її околі тензор dg_ik і знайшовши їх суму. Для решти тензорів це не так. Аналогічну властивість має і контраваріантний метричний тензор. Щодо символа Кронекера, при паралельному переносі у будь-яку точку простору його зміна дорівнює нулю

Δg^ik = dg^ik,      Δδ_i^k = 0.

Тобто він веде себе як стала величина в усіх точках простору.

            Якщо через дві точки простору, що використовуються при паралельному переносі вектора, провести криву лінію x^α=x^α(t), то розділивши обидві частини рівняння, що визначає зміну контраваріантного вектора при паралельному переносі,

dyⁱ = - Γ_αβⁱ y^α dx^β

на dt, отримаємо систему диференційних рівнянь для знаходження кожної складової вектора при будь-якому скінченому переносі

dyⁱ/dt + Γ_αβⁱ y^α dx^β/dt = 0.

Якщо доповнити їх початковими умовами для компонент вектора yⁱ(0)= y₀ⁱ, то отримаємо задачу Коші, що має єдиний розвйазок. Розвйазки цієї задачі Коші і будуть координатами вектора як функції точки при перенесенні вектора на будь-яку скінчену відстань.

Коваріантне диференціювання

             Якщо ми хочемо при диференціюванні тензорів зберегти їх тензорну структуру, то процедуру диференціювання слід розробити спеціально. При переході до нової системи координат в околі даної точки тензор перетворюється за наступним законом (для прикладу візьмемо тензор пйатого рангу з коваріантними і контраваріантними компонентами,

T^i`j`<sub>k`l`m`</sub> = (∂x<sup>i</sup>`/∂x^α) (∂x^j`/∂x<sup>β</sup>) (∂x<sup>γ</sup>/∂x<sup>k`</sup>) (∂xⁱ`/∂x<sup>l`</sup>) (∂x^ϵ/∂xm^`) T^αβ_γδϵ.

Для контраваріантного вектора закон перетворення буде таким

y<sup>i`</sup> = (∂x<sup>i</sup>`/∂x^α) y^α.

Якщо звичайним чином знайти похідну цього виразу, то матимемо такий результат

∂y^{i`</sup>/∂x<sup>k`} = (∂²xⁱ`/<sup>`</sup>∂x<sup>k`</sup>∂x<sup>α</sup>) y<sup>α</sup> + (∂x<sup>i</sup>`/∂x^α) (∂y^α/∂x^k`) =

= (∂²xⁱ`/<sup>`</sup>∂x<sup>k`</sup>∂x<sup>α</sup>) y<sup>α</sup> + (∂x<sup>i</sup>`/∂x^α) (∂y^α/∂x^β) (∂x^β/∂x^k`).

Видно, що другий доданок є тензором другого рангу з коваріантною і контраваріантною компонентами, а перший доданок тензором не є. Тобто при безпосередньому диференціюванні вектора ми отримуємо обйект, який не є тензором. Того самого висновку ми дістанемо і при знаходженні диференціала складових вектора

dy<sup>i`</sup> = (∂<sup>2</sup>x<sup>i</sup>`/<sup>`</sup>∂x<sup>β</sup>∂x<sup>α</sup>) y<sup>α</sup> d x<sup>β</sup>  + (∂x<sup>i</sup>`/∂x^α) y^α.

Така ситуація виникає тому, що dyⁱ є різницею двох різних векторів yⁱ і yⁱ+dyⁱ, заданих у двох різних точках xⁱ і xⁱ+dxⁱ. Вектор yⁱ+dyⁱ  слід розглядати як нероздільний вектор, заданий у точці xⁱ+dxⁱ, а не як суму двох окремих векторів yⁱ і dxⁱ, заданих у точці xⁱ і її околі. Для їх порівняння, тобто для знаходження їх різниці, потрібно другий вектор перенести у точку початку першого вектора за правилами тензорної алгебри у криволінійній системі координат. При такому переносі компоненти вектора yⁱ+dyⁱ отримають приріст Δyⁱ=Γ_αβⁱ y^α dx^β. У висліді, після переносу у зазначену точку його компоненти будуть yⁱ+dyⁱ+Δyⁱ і різниця двох векторів – так званий коваріантний диференціал дорівнюватиме

Dyⁱ = yⁱ+dyⁱ+Δyⁱ - yⁱ  = dyⁱ + Γ_αβⁱ y^α dx^β,

Dyⁱ = (∂yⁱ/∂x^β + Γ_αβⁱ y^α) dx^β.

Можна довести, що вираз у дужках утворює тензор другого рангу, коваріантний щодо індексу β і контраваріантний щодо індексу i. Цей тензор і називається коваріантною похідною даного вектора

Δ_βyⁱ = yⁱ_|β = ∂yⁱ/∂x^β + Γ_αβⁱ y^α.

Очевидно, що коваріантне диференціювання збільшує на одиницю коваріантний ранг даного тензора.

            Застосуємо коваріантне диференціювання для різних математичних обйектів. Розглянемо спочатку класичну функцію, яка у тензорній алгебрі розглядається як тензор нульового рангу. У цьому разі, за означенням, припускається, що коваріантний диференціал збігається із звичайним диференціалом

Df(r) = df(r) = ∂f(r)/∂ xⁱ dxⁱ.

Для похідної за правилами математичного аналізу матимемо

Δ_αf(r) = f(r)_|α = ∂f(r)/∂ xⁱ.

Тобто коваріантна похідна скалярної функції за координатами є компонентами градієнта. Для коваріантного вектора аналогічним чином отримуємо

Dy_i = dy_i – Γ_iβ^α y_α) dx^β = (∂y_i/∂x^β – Γ_iβ^α y_α) dx^β,

Δ_αβyⁱ = yⁱ_|β = ∂yⁱ/∂x^β - Γ_αi^β y_α.

Для змішаного тензора третього рангу маємо (без доведення)

DT^ij_k = dT^ij_k + Γ_αβⁱ T^βj_k dx^α + Γ_αβⁱ T^iβ_k dx^α - Γ_kα^β T^ij_β dx^α ,

T^ij_k = ∂T^ij_k/∂x^α + Γ_αβⁱ T^βj_k + Γ_αβⁱ T^iβ_k - Γ_kα^β T^ij_β.

Для коваріантної похідної мають місце звичні властивості класичної похідної, але не всі. Проте є і додаткові властивості. Наприклад, є така властивість як комутативність операції коваріантного диференціювання і згортки. Згортка – це коли ми прирівнюємо два індекси: коваріантний і контраваріантний у довільного змішаного тензора другого і вищого рангів і виконуємо за ними підсумовування. У висліді такої операції ранг тензора зменшується на дві одиниці. Комутативність у даному разі означає, що можна спочатку згорнути тензор за певною парою індексів, а потім за цим спільним індексом здиференціювати, а можна спочатку здиференціювати, а потім згорнути. Вислід в обох випадках буде той самий. Згорнута таким чином коваріантна похідна даного тензора називається його дивергенцією. Наведемо приклад дивергенції змішаного тензора другого рангу

T^α_i||α = ∂T^α_i/∂x^α + Γ_αβ^β T^α_i – Γ_iα^β T^α_β.

Знайдемо тепер коваріантну похідну коваріантного метричного тензора

g_ij|k = ∂g_ij/∂x^k - Γ_ik^α g_αj – Γ_jα^α g_αi = ∂g_ij/∂x^k - Γ_ik,j – Γ_jk,I = 0.

Остання рівність є наслідком співвідношення, яке ми отримали при розгляді паралельного перенесення метричного тензора (дивись вище). Такий самий результат можна отримати і для контраваріантного метричного тензора, а також і для символа Кронекера. З точки зору тензорного аналізу метричний тензор відіграє роль сталої при коваріантному диференціюванні. Щодо метричного тензора, то ця його властивість означає, що метричний тензор можна отримати у нескінченно близькій точці до даної обчисливши цей тензор у даній точці і додавши до нього диференціал цього тензора, обчислений в околі цієї даної точки.

Криві у Римановим просторі

         Розглянемо неперервну лінію, задану параметричним рівнянням

xⁱ = xⁱ(s).

Тут параметром s служить довжина дуги лінії. Такі рівняння прийнято називати природними. Нехай довільна точка кривої має радіус-вектор r=r(x¹, x², x³, x⁴). Утворимо похідну

dr/ds = (∂r/∂x^α) (dx^α/ds) = e_α y^α.

Тут yⁱ=dxⁱ/ds – контраваріантні компоненти вектора, спрямованого за дотичною до кривої. Утворимо скалярний добуток

(dr/ds, dr/ds) = (e_α, e_β) y^α y^β = g_αβ (dx^α/ds) (dx^β/ds).

Елемент дуги визначається базовою квадратичною формою

ds² = g_αβ dx^α dx^β,

тому

(dr/ds, dr/ds) =1.

Отже, контраваріантний вектор з компонентами yⁱ є не просто вектор дотичний до кривої, а координатний вектор.

            Розглянемо два координатні вектори yⁱ і yⁱ+dyⁱ. Якщо другий вектор паралельно перенести у точку розташування першого вектора, то матиме вигляд yⁱ+Dyⁱ. Між цими двома векторами утвориться так званий кут суміжності θ. Очевидно, що ці два вектора мало відрізняються між собою і їх різниця, оскільки yⁱ є одиничним вектором, дорівнює куту суміжності

|yⁱ+dyⁱ - yⁱ| = | Dyⁱ| = d[|yⁱ| sin(θ)] = |yⁱ| d[sin(θ)] = |yⁱ| dθ = dθ.

За означенням геодезичної кривизни лінії у даній точці, вона вводиться як модуль наступного вектора

|Dyⁱ/ds| = dθ/ds.

Знайдемо напрямок цього вектора. Кут між двома лінійними елементами

ds = e_α dx^α,

δs = e_α δx^α,

утворивши їх скалярний добуток

(ds, δs) = ds δs cos(θ) = (e_α, e_β) δx^α dx^β = g_αβ δx^α dx^β.

Звідси

cos(θ) = g_αβ dx^α dx^β/ (δx^α dx^β).

Повертаючись до векторів yⁱ і Dyⁱ, матимемо

cos(θ) = g_αβ y^α Dy^β/ |y^α| |Dy^β|.

Доведемо, що можна знайти точне значення цього кута. Для цього здиференціюємо вираз

g_αβ y^α y^β = 1,

взявши до уваги, що і вектори e_α, e_β, і вектори y^α y^β є координатними векторами, а тому мають одиничну довжину. Вислід коваріантного диференціювання буде наступним

(Dg_αβ) y^α y^β + g_αβ (Dy^α) y^β + g_αβ y^α (Dy^β) = 0.

Оскільки, як зазначалось вище, коваріантна похідна метричного тензора дорівнює нулю, то перший доданок зникає, другий і третій відрізняються між собою позначеннями індексів підсумовування. Оскільки їх сума дорівнює нулю, то кожний з них дорівнює нулю. Повертаючись до виразу для кута, отримуємо, що чисельник відповідного виразу буде дорівнювати нулю, а отже кут має бути прямим. З цього робимо висновок, що вектор кривини, так називається вектор, довжина якого дорівнює геодезичній кривині,  перпендикулярний до лінії у даній точці. Вище було показано, що

Dyⁱ = dyⁱ + Γ_αβⁱ y^α dx^β.

Звідси випливає, що

Dyⁱ/ds = dyⁱ/ds + Γ_αβⁱ y^α (dx^β/ds) = d²xⁱ/ds² + Γ_αβⁱ (dx^α/ds) (dx^β/ds).

Серед різноманітних кривих, особливий інтерес становлять лінії, вектор кривини яких дорівнює нулю. Такі лінії називаються геодезичними. Отже рівняння геодезичної лінії має вигляд

d²xⁱ/ds² + Γ_αβⁱ (dx^α/ds) (dx^β/ds) = 0.

Для знаходження однозначного розвйазку цих диференційних рівнянь другого порядку, потрібно задати відповідні початкові умови. Можна показати, що геодезичні лінії мають ще одну унікальну властивість – вони забезпечують найкоротший шлях між будь-якими двома точками простору. Можна показати, що рівняння для геодезичних кривих можуть мати і наступний вигляд

d²xⁱ/d(xⁿ)² + [Γ_αβⁱ - Γ_αβⁿ (dxⁱ/dxⁿ)] (dx^α/dxⁿ) (dx^β/dxⁿ)= 0,   i = 1, 2, 3,

d²xⁿ/ds² = - Γ_αβⁿ (dx^α/dxⁿ) (dx^β/dxⁿ),   i = 4.

            У релятивістській теорії поля рівняння для геодезичний ліній мають принципово важливе значення, оскільки вони визначають звйазок траєкторії матеріальної точки з метричним тензором. Фактично вони є рівняннями руху матеріальної точки у гравітаційному полі, оскільки компоненти метричного тензора є сукупністю потенціалів гравітаційного поля. При цьому слід мати на увазі, що метрика однорідного гравітаційного поля не є евклідовою, а псевдоевклідовою. Останнє означає, що її сигнатура, на відміну від сигнатури євклідового простору, відйемна. Тобто, після приведення квадратичної форми, що визначає квадрат інтервалу в околі даної точки, до канонічного вигляду, тобто до суми квадратів координат, різниця між додатними коефіцієнтами квадратичної форми і відйемними є відйемна (три коефіцієнти відйемні, один додатний, сигнатур дорівнює -2).  Ця ж властивість має місце і у разі ріманова простору. Тому у релятивістській теорії гравітації також використовується не ріманів простір, а псевдоріманів. Важливо, що ця обставина жодним чином не впливає на всі використовувані у релятивістській теорії гравітації співвідношення диференціальної геометрії.

Тензор кривини Рімана-Кристофеля і тензор Річі

         На відміну від класичної похідної функції декількох змінних, де порядок диференціювання не має значення, щодо коваріантної похідної у загальному випадку це не так. Змінюючи порядок диференціювання за різними змінними ми отримуємо і інший вираз для коваріантної похідної. Якщо взяти другу похідну від коваріантного вектора з одним порядком коваріантного диференціювання і відняти від неї другу коваріантну похідну від цього ж вектора з іншим порядком диференціювання, то у загальному випадку ми отримаємо ненульовий вираз. Таку різницю можна використовувати у якості характеристики простору, у якому здійснюється таке диференціювання. Якщо різниця відмінна від нуля, то ми маємо ріманів простір. Якщо різниця дорівнює нулю, то ми маємо евклідів простір. В евклідовому просторі можна підібрати таку систему координат відразу для всього простору, у якій всі компоненти коваріантного і контраваріантного метричних тензорів будуть сталими величинами. Така система координат в якості координатних ліній матиме прямі лінії (косокутна система координат), які можуть бути і ортогональними між собою (декартова система координат). Зазначена різниця коваріантних похідних другого порядку, взятих у різній послідовності, визначає кривину ріманового простору. Остання, зрозуміло, може бути різною у різних точках простору і для різних напрямків в одній і тій же точці. В рамках такої термінології евклідів простір є плоским – його кривина дорівнює нулю. Отже побудуємо обговорювану характеристику. Для цього візьмемо довільний коваріантний вектор u_k з відповідними аналітичними властивостями і здиференціюємо його коваріантним чином

u_k|j = ∂u_k/∂x^j - Γ_jk^α u_α.

Цей тензор другого рангу здиференціюємо ще раз, отримавши тензор третього рангу,

u_k|ji = ∂u_k|j/∂xⁱ – Γ_ik^α u_k|j – Γ_ij^α u_k|α =

= ∂²u_k/∂xⁱ∂x^j – (∂Γ_jk^α/∂xⁱ) u_α – Γ_jk^α (∂u_α/∂xⁱ) – Γ_ik^α (∂u_α/∂x^j) +

+ Γ_ik^α Γ_αj^β u_β – Γ_ij^α (∂u_k/∂x^α) + Γ_ij^α Γ_αk^β u_β.

Змінивши порядок диференціювання отримаємо інший вираз

u_k|ij = ∂u_k|i/∂x^j – Γ_jk^α u_k|i – Γ_ji^α u_k|α =

= ∂²u_k/∂xⁱ∂x^j – (∂Γ_ik^α/∂x^j) u_α – Γ_ik^α (∂u_α/∂x^j) – Γ_jk^α (∂u_α/∂xⁱ) +

+ Γ_jk^α Γ_αi^β u_β – Γ_ji^α (∂u_k/∂x^α) + Γ_jj^α Γ_αk^β u_β.

Різниця останніх двох виразів буде такою

u_k|ji – u_k|ij = (∂Γ_ik^α/∂x^j - ∂Γ_jk^α/∂xⁱ + Γ_ik^β Γ_jβ^α – Γ_jk^β Γ_iβ^α) u_α.

Лівиця цього рівняння є тензором третього рангу. У правиці рівняння міститься згортка вектора – тензора першого рангу із змішаного тензору четвертого рангу з одним контраваріантним індексом, що у круглих дужках. Цей тензор називається тензором кривини або тензором Рімана-Кристофеля

R^α_ij,k = ∂Γ_ik^α/∂x^j - ∂Γ_jk^α/∂xⁱ + Γ_ik^β Γ_jβ^α – Γ_jk^β Γ_iβ^α.

Поряд з наведеним виразом для змішаного тензора кривини використовують і тензор кривини з усіма коваріантними компонентами

R_ij,kl = g_αl R^α_ij,k.

Можна переконатись, що сума трьох тензорів кривини з циклічно переставленими нижніми індексами дорівнює нулю

R^α_ij,k + R^α_jk,i + R^α_ki,j = 0.

Для коваріантного тензора кривини має місце така властивість

R_ij,kl = R_kl,ij.

І для змішаного тензора кривини Рімана-Кристофеля і для коваріантного має місце тотожність Біанки-Падова

R^α_ij,k|l + R^α_jl,k|i + R^α_li,k|j = 0,

R_ij,αk|l + R_jl,αk|i + R_li,αk|j = 0.

Ще раз нагадаємо, що необхідною і достатньою умовою виродження ріманової геометрії у евклідову є рівність нулю всіх компонент тензора кривини

R^α_ij,k = 0.

            Якщо в тензорі кривини Рімана-Кристофеля провести згортку за верхнім і першим нижнім індексами, то ми отримаємо тензор другого рангу Річі

R^α_αi,j = R_ij = ∂Γ_jα^α/∂xⁱ - ∂Γ_jj^α/∂x^α + Γ_jk^β Γ_iβ^α – Γ_ij^β Γ_αβ^α.

За допомогою контраваріантного метричного тензора можна підняти вверх один або обидва індекси коваріантного тензора Річі, зробивши його змішаним або контраваріантним. Також важливу роль відіграє скаляр тензора Річі

R = g^ij R_ij.

        Кривина простору Рімана

         Розглянемо два ортогональні вектори одиничної довжини, що мають спільний початок, і мають компоненти yⁱ, z^j , і утворимо з них контраваріантний антисиметричний тензор другого рангу, який називається бівектором

x^ij = (yⁱ z^j – y^j zⁱ)/2,

x^ij = - x^ji.

Далі, проведемо через точку початку цих двох векторів і у площині, де вони лежать, замкнений контур, напрямок якого буде від вектора yⁱ до вектора z^j. Перенесемо паралельно вектор yⁱ вздовж цього контуру до його повернення у початкову точку. У висліді вектор отримає приріст Δyⁱ, тобто стане вектором yⁱ + Δyⁱ. Вектор yⁱ + Δyⁱ вже не буде лежати у площині замкненого контуру. Тепер спроектуємо цей вектор на площину контуру. Нехай кут між ним і його проекцією буде Δφ, а площа обмежена контуром Δσ. Розглянутий вище бівектор  перпендикулярний цій площині і визначає її напрямок. Якщо утворити частку Δφ/Δσ і перейти до межі, яка відповідає стягуванню контуру у точку, то кривина простору у даній точці у напрямку зазначеного вище бівектора, визначається через тензор кривини Рімана-Кристофера формулою

lim (Δφ/Δσ) = R_αβ,γδ x^αβ x^γδ.

Існує дуже важливий випадок, коли кривина простору у всіх напрямках і у всіх точках однакова. Цей випадок відповідає наступному виразу для тензора Рімана-Кристофера

R_ij,kl = K (g_lk g_ji – g_ilg_jk),

де К – довільна скалярна функція. Можна показати, що у цьому разі кривина простору дорівняє цій скалярній функції. Тобто у кожній точці вона є лише функцією точки

R_αβ,γδ x^αβ x^γδ = К.

Такий Ріманів простір називається простором сталої кривини. У диференційній геометрії існує теорема Шура, що стверджує у Рімановому просторі з розмірністю більшою за два,  простір є не лише ізотропним, але і однорідним, тобто скалярна функція К є сталою величиною.  Існує три класи ріманових просторів сталої кривини. К=0 відповідає евклідовому простору, для К<0 простір має відйемну кривину і називається гіперболічним, для К>0 простір має додатну кривину і називається еліптичним.

                                   Рівняння гравітаційного поля

         Рівняння електромагнітного поля є неоднорідними диференційними рівняннями другого порядку щодо їх потенціалів: векторного і скалярного. Рівняння класичного гравітаційного поля є неоднорідним диференційним рівнянням другого порядку щодо гравітаційного потенціалу. Вільними членами обох цих систем рівнянь є джерела поля. У разі електромагнітного поля – це заряди і струми. У разі класичного гравітаційного поля – це маси. Саме ця ідея лягла в основу написання рівнянь релятивістської теорії гравітації. Тобто вони мають бути рівняннями другого порядку щодо потенціалів гравітаційного поля, останніх тут стільки, скільки компонент у метричного тензора, і джерелами поля. Друга ідея – принцип загальної коваріантності полягає у тому, що рівняння мають бути записані у такій формі, яка б не залежала від вибору системи відліку. Тобто система відліку може бути інерційною або неінерційною, а рівняння поля мають формально незмінний вигляд. Цієї мети можна досягти, записавши рівняння гравітаційного поля у тензорному вигляді.

            Почнемо з джерел гравітаційного поля. Такими джерела є лише маси, що можуть рухатись з довільними швидкостями. У концентрованому вигляді розподіл мас і їх швидкостей міститься у тензорі енергії-імпульсу T_ij, компоненти якого залежать від мас спокою складових елементів системи, їх кінетичних енергій і імпульсів. Конкретний вигляд тензора енергії-імпульсу ми розглянемо далі при розвйазанні конкретних задач. Тензор енергії-імпульсу – це тензор другого рангу і він відіграє роль вільного члена рівнянь гравітаційного поля. Оскільки він має входити у рівняння в якості окремого доданку, то решта членів рівнянь також мають бути тензорами другого рангу. Тобто рівняння гравітаційного поля повинні мати наступну структуру

X_ij = - ϰ T_ij.

Тут ϰ – деяка стала. Одночасно вони мають залежати від метричного тензора і його похідних не вище другого порядку. У 1915 році Альберт Айнштайн запропонував свій варіант тензора у лівиці рівняння і тим самим записав конкретні рівняння релятивістської теорії гравітації, які і досі є її базовою основою. Через два роки математик Фермейл довів, що всі тензори другого рангу, що залежать від метричного тензора і його похідних першого і другого порядків, причому лінійні щодо похідних другого порядку, можна записати у вигляді

X_ij = R_ij + A g_ij R + B g_ij.

Тут A і B – довільні сталі, R_ij – розглянутий вище тензор Річі, R – його інваріант. З закону збереження енергії можна знайти сталу А, яка дорівнює -1/2. Стала В залишається не визначеною. З умови переходу рівнянь релятивістської теорії гравітації у рівняння Пуасона, що відповідає класичній теорії гравітації, випливає, що стала В має або дорівнювати нулю, або бути надзвичайно малою у слабких полях, коли теорія гравітації Ньютона працює з величезною точністю. Айнштайн досліджував обидва ці варіанти, але так і не дійшов до остаточного висновку про необхідність включення члену з цією сталою у рівняння  релятивістської теорії гравітації. Найпопулярніша назва цієї теорії нині – загальна теорія відносності. Єдиної думки щодо зазначеної сталої немає і досі.. З урахуванням всього вище сказаного рівняння релятивістської теорії гравітації мають вигляд (без сталої В

R_ij - g_ij R/2 = - ϰ T_ij.

Із строгих математичних міркував їх отримав і математик Гільберт, з яким Анйштайн вів активну переписку у часи створення релятивістської теорії гравітації, але питання пріоритету ми тут обговорювати не будемо.

            Як зйасувалось пізніше, запропоновані рівняння не є єдино можливими на базі невеликої кількості базових припущень щодо того, якими вони мають бути, але сучасна експериментальна база даних щодо спостережуваних релятивістських ефектів у Всесвіті є недостатньою, щоб обґрунтовано обговорювати подальше удосконалення рівнянь, записаних Айнштайном.

            Головна ідея релятивістської теорії гравітації полягає в тому, що  маса, як джерело поля, викривлює простір. Останній перестає бути евклідовим на користь ріманова. Викривлення простору  відбувається через вплив джерела поля на метричний тензор цього поля - гравітаційні потенціали, відповідно до рівнянь поля, які є рівняннями щодо компонент метричного тензора. Рух матеріальної точки у гравітаційному полі відбувається відповідно до рівнянь руху, якими є рівняння для геодезичних ліній. Ці рівняння суттєвим чином залежать від метричного тензора, який формується джерелами поля - масами.

Зовнішній розв`язок Шварцшильда

            Знайдемо розв`язок релятивістського рівняння гравітаційного поля у разі, коли джерелом поля є центрально симетрична статична маса. Розв`язок шукатимемо за межами області простору, зайнятою цією масою. Оскільки компоненти тензора енергії-імпульсу у цьому разі дорівнюють нулю, то рівняння поля має вигляд

R_ij = 0.

Розв`язок цього рівняння шукатимемо у вигляді квадрату інтервалу між двома нескінченно близькими подіями – точками чотиривимірного простору, що мають три просторові координати і час. В якості першої специфічної межової умови оберемо таку: на дуже великих відстанях від джерела поля, де гравітаційне поле практично відсутнє, квадрат цього інтервалу збігається з квадратом інтервалу у релятивістській механіці у відсутності гравітаційного поля

(ds)² = - (dr)² – r² (dθ)² - r² sin²(θ) (dφ)² + (dt)².

Ця умова означає, що такою ж має залишатись структура інтервалу і на будь-якій відстані від джерела поля. Умова сферичної симетрії задачі, пов`язана із сферичною симетричністю джерела поля і його нерухомістю, дозволяє стверджувати, що гравітаційне поле не випливатиме на кутові доданки інтервалу. Інші два доданки – перший і четвертий матимуть додаткові змінні множники, що прямуватимуть до 1 при нескінченному віддалені від джерела поля. Такі міркування дозволяють записати інтервал у присутності поля у вигляді

(ds)² = - exp(α) (dr)² – r² (dθ)² - r² sin²(θ) (dφ)² + exp(β) (dt)².

Тут α = α(r), β = β(r), що знову ж таки зумовлене статичністю поля і його сферичною симетричністю. Якщо ввести стандартні позначення релятивістської теорії гравітації: r=x¹, θ=x², φ=x³, t=x⁴,  а також використати запис інтервали через метричний тензор, то квадрат інтервалу можна записати так

(ds)² = g₁₁ (dx¹)² + g₂₂ (dx²)² + g₃₃ (dx³)² + g₄₄ (dx⁴)².

Співставляючи два вирази для інтервалу легко бачити, що коваріантні компоненти визначаються так

g₁₁ = - exp(α);   g₂₂ = - r²;   g₃₃ = - r² sin²(θ);   g₄₄ = exp(β);   g_ij = 0,    i≠j.

Алгоритм знаходження контраваріантних компонент метричного тензора – це алгоритм знаходження оберненої матриці. Для його реалізації нам потрібний визначник метричного тензора, який для діагональної матриці дорівнює

g = g₁₁ g₂₂ g₃₃ g₄₄ = - r⁴ sin²(θ) exp(α + β).

Відповідні алгебраїчні доповнення матимуть вигляд

A₁₁ = g₂₂ g₃₃ g₄₄;   A₂₂ = g₁₁ g₃₃ g₄₄; A₃₃ = g₁₁ g₂₂ g₄₄;   A₁₁ = g₁₁ g₂₂ g₃₃.

Контраваріантні компоненти метричного тензора тепер будуть такими

g¹¹ = A₁₁ / g = - exp(-α);   g²² = A₂₂ / g = - 1 / r²;

g³³ = A₃₃ / g = - 1 / [r² sin²(θ);   g⁴⁴ = A₄₄ / g = exp(-β).

Вирази для ненульових символів Кристофеля будуть такими

Γⁱ_jj = - gⁱⁱ (∂g_jj/∂xⁱ) / 2;   Γⁱ_ij = - gⁱⁱ (∂g_ii/∂x^j) / 2;   Γⁱ_ii = - gⁱⁱ (∂g_ii/∂xⁱ) / 2.

Після підстановки сюди виразів для компонент метричного тензора, матимемо

Γ¹₁₁ = α`/ 2;   Γ¹₂₂ = - r exp(- α);   Γ¹₃₃ = - r sin²(θ) exp(- α);   Γ¹₄₄ = β exp(β - α) / 2;

Γ²₃₃ = - sin(θ) cos(θ);   Γ²₂₁ = 1 / r;   Γ³₃₁ = 1 / r;   Γ⁴₄₁= β`/ 2;   Γ³₃₂= cot(θ).  

Тепер діагональні компоненти тензора Річі визначатимуться так

R₁₁ = β``/ 2 – α` β`/ 4 + (β`)<sup>2</sup>/ 4 – α` / r;

R₂₂ = exp(- α) [1 + r (β` -  α`) / 2] – 1;

R₃₃ = exp(- α) sin²(θ) [1 + r (β` -  α`) / 2] – sin²(θ);

R₄₄ = exp(β - α) [- β``/ 2 + α` β`/ 4 -  (β`)<sup>2</sup>/ 4 – β`/ r].

Прирівнюючи ці компоненти нулю, отримуємо чотири рівняння щодо невідомих функцій α і β.  Видно, що друге і третє рівняння збігаються, отже достатньо записати лише три наступні рівняння

β``/ 2 – α` β`/ 4 + (β`)<sup>2</sup>/ 4 – α` / r = 0;

exp(- α) [1 + r (β` -  α`) / 2] – 1 = 0;

- β``/ 2 + α` β`/ 4 -  (β`)<sup>2</sup>/ 4 – β`/ r = 0.

Лише два з цих трьох рівнянь незалежні. В якості цих двох рівнянь доцільно взяти суму першого і третього і друге рівняння, яке можна спростити використанням першого рівняння

α` + β` = 0;

exp(- α) (1 - r α`) – 1 = 0.

Після інтегрування першого рівняння матимемо наступний загальний інтеграл

α + β = С,

де С – довільна стала. Її можна знайти з межової умови на нескінченості, тобто з умови того, що на нескінченості квадрат інтервалу з урахуванням гравітаційного поля переходить у квадрат інтервалу при його відсутності (α=0, β=0). Отже, ця стала дорівнює нулю і

α + β = 0.

Друге рівняння системи можна записати у такому спрощеному вигляді

d [r exp(- α)] / dr = 1.

Це рівняння легко інтегрується і його загальний інтеграл має вигляд

r exp(- α) = r + D,

де D – нова довільна стала. Її можна знайти ще з однієї межової умови, яка полягає у тому, що на достатньо великій, але скінченій, відстані від джерела поля гравітаційαне поле має визначатись відомим з теорії Ньютона класичним виразом. Ця умова має вигляд

g₄₄ / 2 = - m / r + const.

Два отримані нами загальні інтеграли дозволяють записати наступні вирази для відповідних компонент метричного тензора

g₁₁ = - exp(α) = - 1 / (1 + D / r);

g₄₄ = exp(β) = 1 + D / r.

Межова умова  тепер має вигляд

g₄₄ / 2 = 1 + D / r  = - m / r + const.

Звідси D=-2m. Остаточно вираз для квадрату інтервалу тепер буде таким

 

(ds)² = - (1 – 2 m / r)^-1 (dr)² – r² (dθ)² - r² sin²(θ) (dφ)² + (1 – 2 m / r) (dt)².

Це і є зовнішній розв`язок Шварцшильда. Замість одного Ньютонівського потенціалу гравітаційного поля

U(r) = m / r + const

ми маємо чотири ненульові компоненти метричного тензора, які відіграють роль гравітаційних потенціалів,

 g₁₁  = - 1 / (1 - 2 m / r);   g₂₂ = - r²;   g₃₃ = - r² sin²(θ);   g₄₄  = 1 - 2 m / r

Цей розв`язок має особливу точку при виконанні умови

1 – 2 m / r = 0.

Відповідне значення радіус-вектора називається гравітаційним радіусом тіла, що є джерелом гравітаційного поля

r_g = 2 m = 2 γ M / c².

Для Сонця гравітаційний радіус дорівнює 3 км. Якщо вся маса тіла, що є джерелом гравітаційного поля, зосереджена у сфері меншого радіусу, ніж гравітаційний, то геометрія простору-часу всередині цієї сфери принципово відрізняється від геометрії за її межами. Світло, що випромінюється всередині такої сфери, не зможе подолати тяжіння такої маси і вирватись за межі такої сфери. Такий об`єкт називається чорною дірою. Такі чорні діри знаходяться в центрах галактик, забезпечуючи їх видиму структуру.

Релятивістські ефекти для руху планет сонячної системи

    Раніше ми розглянули гравітаційне поле, створюване нерухомою сферично-симетричною масою за її межами в рамках релятивістської теорії гравітації. Тепер розглянемо рух матеріальної точки  у такому полі і проаналізуємо релятивістські поправки до її закону руху.

       Традиційним для релятивістської теорії гравітації є трактування гравітаційного поля , як геометричного ефекту. Тобто джерело гравітаційного поля відповідним чином змінює геометрію простору. З математичної точки зору геометрія чотиривимірного простору-часу повністю описується метричним тензором. Джерело гравітаційного поля впливає на вигляд цього тензора, тим самим впливаючи на геометрію простору.  Чим ближче до джерела поля, тим більшим буде цей вплив. Наприклад знаменита теорема Піфагора в околі джерела гравітації перестає виконуватись. Через властивості простору гравітація впливає і на всі без виключення фізичні явища, що відбуваються у цьому просторі. Якщо в класичному випадку гравітаційне поле описується один гравітаційним потенціалом, то у релятивістському випадку таких потенціалів буде стільки, скільки компонент у метричного тензора. У загальному випадку їх 16.

          Рівнянням руху у релятивістському випадку уде рівняння геодезичної лінії, тобто найкоротшої лінії, що з`єднує у викривленому просторі точки початку і кінця руху. Рівняння геодезичної лінії має вигляд

d²x^σ/dt² + [Γ^σ_ab - Γ⁴_ab (dx^σ/dt)] (dx^a/dt) (dx^b/dt) = 0,

де a, b, σ =1, 2, 3 позначають лише просторові координати. Символи Кронекера  тут відповідають розв`язкам зовнішньої задачі Шварцшильда і мають вигляд ( тут ми випишемо лише ненульові компоненти)

Γⁱ_ij = gⁱⁱ (ꝺg_ij/ꝺxⁱ) / 2;     Γⁱ_jj = - gⁱⁱ (ꝺg_jj/ꝺxⁱ) / 2;

Γⁱ_ii = gⁱⁱ (ꝺg_ii/ꝺxⁱ) / 2;     i, j = 1, 2, 3, 4.

Підкладаючи ці значення символів Кристофеля у закон руху – рівняння геодезичної і враховуючи, що компоненти метричного тензора залежать лише від відстані до центра поля r, надамо цьому рівнянню руху наступного вигляду

d[(g_σσ/g₄₄) (dx^σ/dt)]/dt - (ꝺg_aa/ꝺx^σ) (dx^a/dt)²/(2 g₄₄) = 0.

Повернемось тепер до традиційних позначень просторових координат у сферичній системі координат x¹ = r, x² = θ, x³ = φ. Нагадаємо, що коваріантні компоненти метричного тензора для зовнішнього розв`язку Шварцшильда мають вигляд

g₁₁ = - 1/(1 – 2 m/r);     g₂₂ = - r²;

g₃₃ = - r² sin²(θ);     g₄₄ = 1 – 2 m/r.

         Випишемо тепер систему рівнянь руху. Для σ = 3 матимемо наступне рівняння

d[(g₃₃/g₄₄) (dφ/dt)]/dt = 0

або

d[r² sin²(θ)/ (1 – 2 m/r) (dφ/dt)]/dt = 0.

Після одноразового інтегрування матимемо

dφ/dt = A (1 – 2 m/r)/( r² sin²(θ)),

де А – довільна стала.

          Для σ = 2 рівняння руху буде таким

d[(g₂₂/g₄₄) (dθ/dt)]/dt + 2 r² sin(θ) (dφ/dt)²/(2 g₄₄) = 0.

Тут ми врахували, що ꝺg₁₁/ꝺθ = ꝺg₂₂/ꝺθ = 0, а ꝺg₃₃/ꝺθ – 2 r² sin(θ). Це рівняння можна суттєво спростити, якщо виключити з нього  похідну dφ/dt, використавши для цього перше рівняння. Матимемо

d[(g₂₂/g₄₄) (dθ/dt)]/dt + 2 r² sin(θ) [A (1 – 2 m/r)/( r² sin²(θ))]²/(2 g₄₄) = 0

або

d[(r²/(1 – 2 m/r)) (dθ/dt)]/dt - A² cos(θ) (1 – 2 m/r)/( r² sin³(θ)) = 0

або

d[(r²/(1 – 2 m/r)) (dθ/dt)] - A² cos(θ) [(1 – 2 m/r)/( r² sin³(θ))] dt = 0.

Рівняння суттєво спроститься, якщо у другому доданку від диференціала dt перейти до диференціала dθ

dt = (dt/dθ) dθ.

Тепер рівняння можна записати так

d[(r²/(1 – 2 m/r)) (dθ/dt)]² = A² (cos(θ)/sin³(θ)) dθ = 0.

Тепер рівняння легко інтегрується один раз і ми отримуємо

(dθ/dt)² = [B – A²/sin²(θ)] (1 – 2 m/r)²/r⁴.

Тут В довільна стала.

         Можна легко переконатись, що рух матеріальної точки у гравітаційному полі центральної маси буде плоским і у релятивістському випадку. Цей висновок випливає з аналізу останнього диференційного рівняння. Для цього дане рівняння руху слід доповнити початковими умовами, як то є традиційним для задач динаміки. У виборі початкових умов ми ніяк не обмежені, але цю їх довільність доцільно використати для спрощення розгляду властивостей цього рівняння. Нехай у початковий момент часу t = 0 полярний кут θ = π/2, а швидкість його зміни dθ/dt = 0. Тепер у початковий момент часу

(dθ/dt)² = [B – A²/sin²(π/2)] (1 – 2 m / r)² / r⁴ = 0.

Звідси

B = A²

і рівняння для полярного  кута суттєво спрощується

(dθ/dt)² = - A² cot²(θ) (1 – 2 m / r)² / r⁴.

Це рівняння можна спростити ще більше, якщо здобути корінь квадратний від обох його частин

dθ/dt = ± i A cot(θ) (1 – 2 m / r) / r².

Оскільки це рівняння описує закон руху реального тіла, то його розвйазок не може бути комплексним, а останнє неминуче через наявності у його правій частині уявної одиниці в якості множника. Дійсний розвйазок виникає лише у разі, якщо права частина дорівнює нулю, тобто

A cot(θ) (1 – 2 m / r) / r² = 0

або

cot(θ) = 0.

Останнє можливо лише у разі θ = π/2. Інші значення полярного кута не узгоджуються  з початковою умовою θ(0) = π/2. А це і означає, що рух матеріальної точки відбувається у площині θ = π/2.

       Замість третього рівняння системи рівнянь руху для σ = 1 через його складність зручно розглянути чотиривимірне рівняння геодезичної лінії для часової координати

d²t/ds² + Γ⁴_αβ (dx^α/ds) (dx^β/ds) = 0.

Для стаціонарного поля відмінними від нуля у цьому рівнянні будуть лише наступні символи Кристофеля

Γ⁴_4α = g⁴⁴ (∂g₄₄/∂x^α)/2.

Оскільки у разі зовнішнього розвйазку Шварцшильда g⁴⁴ = 1/g₄₄, то вирази для символів Кристофеля спрощуються

Γ⁴_4α = [∂ln(g₄₄)/∂x^α] / 2.

Тепер рівняння для часової координати набуває вигляду

d²t/ds² + 2 Γ⁴_α4 (dx^α/ds) (dt/ds) = 0

або

d²t/ds² + [d ln(g₄₄)/ds] (dt/ds) = 0.

Тут ми врахували ту обставину, що

2 Γ⁴_α4 (dx^α/ds) = [∂ln(g₄₄)/∂x^α] (dx^α/ds) = d ln(g₄₄)/ds.

Рівняння руху має доволі просту структуру і його можна один раз зінтегрувати. Для цього представимо його так

d ln(dt/ds)/ds + d ln(g₄₄)/ds = 0

або

d ln(dt/ds) + d ln(g₄₄) = d ln [g₄₄ (dt/ds)] = ln(h)

або

dt/ds = h/(1 – 2 m / r),

де h – довільна стала. Тепер візьмемо до уваги, що квадратична форма, поділена на квадрат диференціала часу у разі зовнішнього розвйазку Шварцшильда має вигляд

(ds/dt)² = - (1 – 2 m / r)^-1 (dr/dt)² – r² (dθ/dt)² – r² sin(θ) (dφ/dt)² + 1 – 2 m / r.

Використовуючи отримані вище вирази для похідних, маємо

(dr/dt)² = (1 – 2 m/r)² [1 – (1 – 2 m/r) (1/h² + A²/r²)].

Ця рівність і є першим інтегралом третього рівняння.

         Отримаємо тепер рівняння орбіти. Для цього розділимо останнє рівняння на рівняння для азимутального кута (памйатаємо, що полярний кут залишається сталим). Маємо

(du/dφ)² = (h² – 1)/a² + 2 m u/a² – u² + 2 m u³.

Тут введені такі позначення u = 1/r, a² = h² A². Релятивістський характер цього рівняння зумовлений останнім членом у правій частині. Якщо його відкинути, то ми отримуємо рівняння конічного перерізу. Його фокальний параметр p і ексцентриситет e визначаються формулами

p = a²/m,     e = [1 + (a²/m²) (h² – 1)]^1/2.

Релятивістський доданок на великій відстані від джерела поля є надзвичайно малим. Так, наприклад, відбувається для всіх планет сонячної системи. Якщо цей доданок розглядати як збурення, то траєкторію можна обчислювати методом послідовних наближень, відкидаючи його у нульовому наближенні, а у першому наближенні підкладати у цей додатковий член розвйазок нульового наближення. Якщо мати на увазі планети сонячної системи, то у нульовому наближенні їх траєкторіями є еліпси в одному з фокусів яких знаходиться Сонце. Врахування збурення призводить до того, що більші вісі цих еліпсів  у повільно рухаються у прямому напрямку. Ми опускаємо відповідні математичні викладки і наведемо лише остаточний результат для кута попороту більших осей еліпсів

Δω = 6 π m / [a (1 – e²)],  m = γ M/c².

Тут γ – гравітаційна стала. Для планет сонячної системи цей ефект за сторіччя становить: Меркурій – 43, Венера – 8.6, Земля – 3.8, Марс – 1.4 секунди. Як бачимо, в межах сонячної системи вплив релятивістських гравітаційних ефектів є надзвичайно малим.

Інші статті автора:

Національна асоціація дослідників Голодомору - геноциду українців | Публікація 26Національна асоціація дослідників Голодомору - геноциду українців | Публікація 15

Валерій Швець