Як вимірюються відстані до віддалених зірок?

 

            Розглянемо для початку розповсюдження звукових хвиль у повітрі. Нехай джерело хвиль, повітря у якому вони розповсюджуються і спостерігач нерухомі, тоді позначимо частоту таких хвиль ω₀, їх період коливань T₀=2π/ω₀, швидкість розповсюдження c, а довжину хвиль λ₀=cT₀. Довжина хвилі – це відстань, яку будь-яка фіксована точка хвилі проходить за один період. Для спрощення аналізу хвильового процесу будемо уявляти собі хвилю як процес випромінення джерелом у простір миттєвих збурень повітря через кожний проміжок часу T₀. Почнемо відлік часу в момент випромінення джерелом першого миттєвого збурення. За час T₀ воно пройде шлях λ₀=cT₀. Якщо спостерігач нерухомий, а джерело хвиль рухається у напряму спостерігача з швидкістю u, то за цей же час джерело пройде шлях Δλ₀=cT₀ і другий імпульс буде випромінений вже з цього нового положення. Просторова відстань між двома збуреннями буде λ=λ₀- Δλ₀=cT₀ -uT₀= T₀ (c-u). Це і буде нова відстань між двома збуреннями або нова довжина хвилі. Тепер друге збурення досягне спостерігача через час T= λ/c,  після першого. Цей час і буде новим періодом коливань T= T₀ (c-u)/c=T₀ (1-u/c). Якщо від періоду коливань перейти до частоти, то матимемо

ω= ω₀/(1-u/c).

Видно, що рух джерела назустріч спостерігачу призводить до підвищенню частоти звукової хвилі, що фіксує спостерігач.

            Якщо джерело віддаляється від спостерігача з тою ж за величиною швидкістю, то в отриманій формулі слід просто замінити на протилежний знак перед швидкістю джерела

ω= ω₀/(1+u/c).

Видно, що при віддаленні джерела від спостерігача частота звукової хвилі, що фіксує спостерігач, стає меншою. Хотів би тут навести приклад гудка паротягу при його наближенні до спостерігача, а потім віддалення, але хто тепер, крім представників мого покоління, пам’ятає, що таке паротяг і як звучить його гудок.

            Обидві отримані формули можна об’єднати в одну, ввівши довільний напрям швидкості джерела u

ω= ω₀/[1+ucos(α)/c].

Тут α – кут між напрямом швидкості і вектором, з початком у точці розташування спостерігача і кінцем у точці розташування джерела. Якщо джерело рухається до спостерігача, то α=π і ми отримуємо першу формулу. Якщо джерело рухається від спостерігача, то α=0 і ми отримуємо другу формулу.        Нехай тепер рухається спостерігач у напрямі до джерела з швидкістю v. Тут довжина звукової хвилі λ₀=cT₀ , де T₀ – період коливань для нерухомого джерела, тобто відстань між вдома короткими збуреннями повітря, залишається незмінною. Відлік часу почнемо у мить, коли перше коротке збурення досягне спостерігача. Друге збурення рухається щодо спостерігача з швидкістю c+v і  досягне спостерігача за час T=λ₀/(c+v). Цей проміжок часу і буде періодом коливань звукової хвилі для спостерігача T= cT₀/(c+v)= T₀/(1+v/c). Якщо перейти від періодів коливань до частот, то матимемо

ω= ω₀(1+v/c).

Бачимо, що при русі спостерігача до джерела частота звуку, яку він сприймає, збільшується.

Червоний зсув ліній у спектрах випромінювання зірок

            Якщо ж спостерігач рухається від джерела, то в останній формулі слід просто замінити знак перед швидкістю спостерігача на протилежний

ω= ω₀(1-v/c).

Тут картина буде протилежною. Частота звуку буде меншою, ніж у разі нерухомого спостерігача. Ці дві формули можна узагальнити на випадок довільного напряму руху спостерігача, а саме

ω= ω₀[1+vcos(β)/c].

Тут β – кут між напрямом вектору швидкості спостерігача і вектора, що починається у точці знаходженні спостерігача, і закінчується у точці знаходження джерела. Якщо спостерігач рухається у напрямку джерела, то β=0 і ми отримуємо першу з наведених вище формул. Якщо ж спостерігач рухається від джерела, то β=π і ми отримуємо другий варіант.

            Можна розглянути одночасний рух джерела і спостерігача. Тоді дві отримані формули об’єднаються в таку одну

ω= ω₀[1+vcos(β)/c]/ [1-ucos(α)/c].

Вплив швидкостей джерела і спостерігача на частоту звукових хвиль, що сприймаються спостерігачем, називається ефектом Доплера. Очевидна асиметрія наведеної формули щодо швидкостей джерела і спостерігача. Ця асиметрія стає суттєвою числово, якщо ці швидкості не малі порівняно з швидкістю розповсюдження звукових хвиль у повітрі. Нехай швидкості джерела і спостерігача спрямовані вздовж прямої, що з’єднує джерело і спостерігача. Тоді, у разі нерухомого спостерігача і руху джерела від спостерігача з швидкістю, що дорівнює швидкості звукових хвиль матимемо ω= ω₀/2. Якщо ж джерело рухається до спостерігача, то в міру наближення його швидкості до швидкості звукових хвиль частота вимірювана спостерігачем прямуватиме до нескінченості У разі нерухомого джерела і руху спостерігача до джерела з швидкістю, що наближається до швидкості звукових хвиль, частота вимірювана спостерігачем буде ω= ω₀2. У разі віддалення з такою ж швидкістю ω=0.

            Проте є один цікавий випадок – це коли рухаються і джерело і спостерігач, але швидкості джерела і спостерігача малі щодо швидкості звукових хвиль. Тоді вираз для частоти можна розвинути у ряд Маклорена щодо частки швидкості джерела до швидкості звукових хвиль і обмежитись лише першими двома доданками. У цьому разі ми матимемо наступний результат

ω= ω₀[1+vcos(β)/c +ucos(α)/c].

Тобто тут у нас спостерігається повна симетрія щодо швидкостей джерела і спостерігача. Їх швидкості входять лише у вигляді алгебраїчної суми, що дозволяє сказати, що має значення лише відносна швидкість джерела і спостерігача, а не їх швидкості щодо нерухомого повітря окремо. Середовище, у якому розповсюджуються хвилі наче зникає з поля зору спостерігача. Якщо ж швидкість руху джерела не є малою щодо швидкості звукових хвиль, то симетрія формули для частоти щодо обох швидкостей збережеться, але частота залежатиме не лише від відносної швидкості джерела і спостерігача, але і добутку їх швидкостей

ω= ω₀[1+vcos(β)/c +ucos(α)/c+ vcos(β)/c  ucos(α)/c].

Таким чином, вимірюючи частоту хвиль довільної природи, можна за певних умов визначити наявність середовища, у якому розповсюджуються хвилі.

            З точки зору сучасного погляду на релятивістську фізику вважається, що швидкість розповсюдження світла у всіх системах відліку є сталою величиною, тому має сенс розглядати лише відносний рух джерела і спостерігача без уваги до середовища, у якому розповсюджуються електромагнітні хвилі. Тепер із спостерігачем можна пов’язати нерухому інерційну систему відліку, а рухомим завжди вважати лише джерело.

         Врахувавши, що час у рухомій системі відліку тече повільніше, ніж у нерухомій системі відліку, отримаємоω= ω₀[1-u²/c²]^(1/2)/ [1-ucos(α)/c].

            Ефект залежності частоти електромагнітних хвиль від швидкості руху джерела відносно спостерігача також називається ефектом Доплера. Якби ми не використовували цю формулу, жодним чином вона не дає можливості виявити, якщо воно є, середовище, у якому розповсюджуються електромагнітні хвилі. Сказати, що всі крапки над і у цьому питанні вже розставлені, було б зарані. Отримана формула дозволяє легко зрозуміти алгоритм обчислення радіальних складових швидкостей далеких зірок, з якими вони рухаються відносно земного спостерігача. Спостерігаючи спектри випромінювання зірок і вимірюючи зсув характерних ліній цього спектру відносно спектру нерухомої зірки, ми і отримаємо радіальну швидкість далекої зірки. Чим більший зсув, тим більшою буде і її швидкість. Для всіх віддалених космічних об’єктів, зокрема галактик, спостерігається зсув їх спектру випромінювання у бік менших частот – так званий червоний зсув. Чим більшим є цей зсув, тим швидше віддалюються від нас космічні об’єкти. Вважається – у цьому суть закону Хабла, що швидкості v віддалення цих об’єктів від нас пропорційні відстаням d до них

v=H₀/d.

Тут H₀ – стала Хабла. Це означає, що чим далі розташована, наприклад, галактика, тим більшою є її швидкість. Закон Хабла стверджує, що всесвіт розширюється, тобто відстань між галактиками збільшується.

Світ повний нерозгаданих таємниць. Наука - це найвище покликання людини, створеної за образом і подобою божою!!!

   Доктор фіз.-мат. наук, професор, академік Академії наук вищої школи України Швець В. Т.