Як Ньютон відкрив свій знаменитий закон всесвітнього тяжіння

 

       Саме закони Кеплера стали тою основою, яка дозволила геніальному Ньютону сформулювати свій знаменитий закон всесвітнього тяжіння. Слідом за Ньютоном пройдемо цей шлях. Закони Кеплера описують рух планет сонячної системи і сформульовані ним на початку 17 сторіччя. Перший закон Кеплера стверджує, що орбітами всіх планет є еліпси в одному з фокусів яких є знаходиться Сонце (точніше буде центр мас сонячної системи). Якщо вважати, що орбіти планет лежать в площині ху, то для опису кожної орбіти достатньо двох координат х і у у Декартовій системі координат або r і φ у полярній системі координат:

x = r cos(φ),   

y = r sin(φ).

Тут r – відстань планети від Сонця або довжина радіус-вектора, що з`єднує один з полюсів еліпсу з довільною точкою самого еліgсу

r² = x² + y²,

φ – азимутальний кут між радіус-вектором і полярною віссю

φ = arctan(y / x).

Останню зручно спрямувати, наприклад, вздовж більшої осі еліпса.

            Перш ніж записати другий закон Ньютона, представимо швидкість і прискорення планети у полярній системі координат. Для Декартових координат швидкості маємо

dx/dt = (dr/dt) cos(φ) – r sin(φ) (dφ/dt),

dy/dt = (dr/dt) sin(φ) + r cos(φ) (dφ/dt).

Для квадрата швидкості отримуємо вираз

v² = (dx/dt)² + (dy/dt)² = (dr/dt)² + r² (dφ/dt)².

     У полярній системі координат вектор швидкості має радіальну компоненту v_r і трансверсальну компоненту v_φ

                                                                       v = v_r e_r + v_φ e_φ.

Одиничний вектор e_r спрямований вздовж радіус-вектора до полюсу  еліпса, а одиничний вектор e_φ – перпендикулярно до нього і проти годинникової стрілки. Отже,

v² = v_r²+ v_φ².

Порівнюючи два вирази для квадрата швидкості, отримаємо

v_r = dr/dt,   v_φ = r (dφ/dt).

            Аналогічним чином знайдемо компоненти вектора прискорення у полярній системі координат

          d²x/dt² = (d²r/dt²) cos(φ) – 2 (dr/dt) (dφ/dt) sin(φ) – r (dφ/dt)² cos(φ) - r (d²φ/dt²) sin(φ),

d²y/dt² = (d²r/dt²) sin(φ) + 2 (dr/dt) (dφ/dt) cos(φ) – r (dφ/dt)² sin(φ) + r (d²φ/dt²) cos(φ).

Для квадрата прискорення отримаємо

a² = (d²x/dt²)² + (d²y/dt²)² = [d²r/dt² – r (dφ/dt)²]² – [r (d²φ/dt²) + 2 (dr/dt) (dφ/dt)]².

З іншого боку

a = a_r e_r + a_φ e_φ.

або

a² = a_r²+ a_φ²,

де радіальна a_r і трансверсальна a_φ складові прискорення будуть такими *

a_r = d²r/dt² – r (dφ/dt)²,   

a_φ = r (d²φ/dt²) + 2 (dr/dt) (dφ/dt) =(1/r) [d(r² dφ/dt)/dt].

        Другий закон Кеплера стверджує, що секторна швидкість планети r²φ`/2 є сталою величиною

r² dφ/dt = c,   

dφ/dt = c/r².

Як вислід, трансверсальна складова прискорення дорівнює нулю a_φ=0.

            Другий закон Ньютона для планети має вигляд

F = m a,

де m -  маса планети, а F – сила, що діє на планету з боку Сонця. Силу також можна представити сумою радіальної і трансверсальної складової

F = F_r e_r + F_φ e_φ.

Векторне рівняння Ньютона еквівалентне двом скалярним рівнянням

F_r = m (d²r/dt² – r (dφ/dt)²),

F_φ = 0.

            Вираз для сили можна знайти, виходячи  з відомого виразу для траєкторії планети. Згідно першому закону Кеплера r=f(φ). Дійсно,

dr/dt = (dr/dφ) (dφ/dt) = (dr/dφ) (c/r²) = - c d(1/r)/dφ,

d²r/dt² = [d(dr/dt)/dφ] (dφ/dt) = - (c²/r²) d²(1/r)/dφ².

Таким чином сила, що діє на планету з боку Сонця, визначається так

F_r = F = - (m c²/r²) [ d²(1/r)/dφ² + 1/r].

Останній вираз можна суттєво спростити, якщо використати рівняння еліпса для траєкторії планети, тобто перший закон Кеплера. У полярних координатах

r = a (1 – ε²)/(1 + ε cos(φ)),

ε = ( a² - b²)^1/2/a.

Тут a і b – більша і менша півосі еліпса, ε – його ексцентриситет. Для кола a=b і ε=0. Підклавши рівняння еліпса у вираз для сили, отримаємо

F = - c² a m/(b² r²).

Тобто перші два закони Кеплера дозволили Ньютону визначити силу тяжіння Монця з точністю до довільного сталого множника. Але третій закон Кеплера дозволяє знайти і жцю сталу, виразивши її через характеристики руху планети довкола Сонця і які астрономи вміють вимірювати. Цими характеристиками є величина більшої півосі орбіти планети і період її обертання довкола Сонця Т. Дійсно, рухаючись із секторною швидкістю c/2 планета за один період накриє всю площину орбіти, тобто

T c/2 = π a b.

Звідси

F = - 4 π (a³/T²) m/r².

Нагадаємо, що згідно з третім законом Кеплера частка кубу більшої півосі орбіти планети до квадрату її періоду обертання для всіх планет сонячної системи є сталою величиною. Цікаво, що точність закону всесвітнього тяжіння на багато порядків перевищує точність законів Кеплера. Закон обернених квадратів виконується для всіх тіл з колосальною точністю. Натепер коефіцієнт пропорційності у чисельнику перед масою планети знаходиться у земних  експериментах із значно вищою точністю, ніж це випливає з третього закону Кеплера. В цих експериментах безпосередньо вимірюється сила притягання між двома тілами масами M і m і закон всесвітнього тяжіння Ньютона записується у вигляді

F = - G M m/r².

Тут G є так званою гравітаційною сталою.

* Стефан Банах. Механіка. Львів.-Видаництво Львівської політехнаіки.-2017.-С.598 (переклад з польської)