Саме закони Кеплера стали тою основою, яка дозволила
геніальному Ньютону сформулювати свій знаменитий закон всесвітнього тяжіння.
Слідом за Ньютоном пройдемо цей шлях. Закони Кеплера описують рух планет
сонячної системи і сформульовані ним на початку 17 сторіччя. Перший закон
Кеплера стверджує, що орбітами всіх планет є еліпси в одному з фокусів яких є
знаходиться Сонце (точніше буде центр мас сонячної системи). Якщо вважати, що
орбіти планет лежать в площині ху, то для опису кожної орбіти достатньо двох
координат х і у у Декартовій системі координат або r і φ
у полярній системі координат:
x = r cos(φ),
y = r sin(φ).
Тут r
– відстань планети від Сонця або довжина радіус-вектора,
що з`єднує один з полюсів еліпсу з довільною точкою самого еліgсу
r2 = x2 + y2,
φ – азимутальний
кут між радіус-вектором і полярною віссю
φ = arctan(y / x).
Останню зручно спрямувати, наприклад, вздовж більшої осі
еліпса.
Перш ніж
записати другий закон Ньютона, представимо швидкість і прискорення планети у
полярній системі координат. Для Декартових координат швидкості маємо
dx/dt = (dr/dt) cos(φ) – r sin(φ) (dφ/dt),
dy/dt = (dr/dt) sin(φ) + r cos(φ) (dφ/dt).
Для квадрата швидкості отримуємо вираз
v2 = (dx/dt)2 +
(dy/dt)2 = (dr/dt)2
+ r2 (dφ/dt)2.
У полярній системі координат вектор швидкості має радіальну компоненту vr і трансверсальну компоненту vφ
v = vr er + vφ eφ.
Одиничний вектор er спрямований вздовж радіус-вектора до полюсу
еліпса, а одиничний вектор eφ – перпендикулярно до
нього і проти годинникової стрілки. Отже,
v2
= vr2+
vφ2.
Порівнюючи два вирази для квадрата швидкості, отримаємо
vr = dr/dt, vφ = r (dφ/dt).
Аналогічним чином знайдемо компоненти вектора прискорення у полярній системі координат
d2x/dt2 = (d2r/dt2) cos(φ) – 2 (dr/dt) (dφ/dt) sin(φ) – r (dφ/dt)2 cos(φ) - r (d2φ/dt2) sin(φ),
d2y/dt2 = (d2r/dt2) sin(φ) +
2 (dr/dt) (dφ/dt) cos(φ) – r (dφ/dt)2
sin(φ) + r (d2φ/dt2) cos(φ).
Для квадрата прискорення отримаємо
a2 = (d2x/dt2)2
+ (d2y/dt2)2
= [d2r/dt2 – r (dφ/dt)2]2 – [r (d2φ/dt2) +
2 (dr/dt) (dφ/dt)]2.
З іншого боку
a
= ar er + aφ eφ.
або
a2
= ar2+
aφ2,
де радіальна ar і
трансверсальна aφ складові прискорення будуть такими *
ar = d2r/dt2 – r (dφ/dt)2,
aφ = r (d2φ/dt2) + 2 (dr/dt) (dφ/dt) =(1/r) [d(r2 dφ/dt)/dt].
Другий
закон Кеплера стверджує, що секторна швидкість планети r2φ`/2 є сталою величиною
r2 dφ/dt = c,
dφ/dt = c/r2.
Як вислід, трансверсальна складова прискорення дорівнює
нулю aφ=0.
Другий
закон Ньютона для планети має вигляд
F
= m a,
де m - маса планети, а
F – сила,
що діє на планету з боку Сонця. Силу також можна представити сумою радіальної і
трансверсальної складової
F
= Fr er + Fφ eφ.
Векторне рівняння Ньютона еквівалентне двом скалярним
рівнянням
Fr = m (d2r/dt2 – r (dφ/dt)2),
Fφ = 0.
Вираз для сили можна знайти, виходячи з відомого виразу для траєкторії планети.
Згідно першому закону Кеплера r=f(φ). Дійсно,
dr/dt = (dr/dφ) (dφ/dt) = (dr/dφ) (c/r2) = - c d(1/r)/dφ,
d2r/dt2 = [d(dr/dt)/dφ] (dφ/dt) = - (c2/r2) d2(1/r)/dφ2.
Таким чином сила, що діє на планету з боку Сонця,
визначається так
Fr = F = - (m c2/r2) [ d2(1/r)/dφ2 + 1/r].
Останній вираз можна суттєво спростити, якщо використати рівняння еліпса для траєкторії
планети, тобто перший закон Кеплера. У полярних координатах
r = a (1 – ε2)/(1 + ε cos(φ)),
ε = ( a2 - b2)1/2/a.
Тут a
і
b – більша і менша півосі еліпса,
ε – його ексцентриситет. Для кола a=b і ε=0. Підклавши
рівняння еліпса у вираз для сили, отримаємо
F = - c2 a m/(b2 r2).
Тобто перші два закони Кеплера дозволили Ньютону
визначити силу тяжіння Монця з точністю до довільного сталого множника. Але
третій закон Кеплера дозволяє знайти і жцю сталу, виразивши її через
характеристики руху планети довкола Сонця і які астрономи вміють вимірювати.
Цими характеристиками є величина більшої півосі орбіти планети і період її
обертання довкола Сонця Т. Дійсно, рухаючись із секторною швидкістю c/2
планета за один період накриє всю площину орбіти, тобто
T c/2 = π a b.
Звідси
F = - 4 π (a3/T2) m/r2.
Нагадаємо, що згідно з третім законом Кеплера частка кубу
більшої півосі орбіти планети до квадрату її періоду обертання для всіх планет
сонячної системи є сталою величиною. Цікаво, що точність закону всесвітнього
тяжіння на багато порядків перевищує точність законів Кеплера. Закон обернених
квадратів виконується для всіх тіл з колосальною точністю. Натепер коефіцієнт
пропорційності у чисельнику перед масою планети знаходиться у земних експериментах із значно вищою точністю, ніж
це випливає з третього закону Кеплера. В цих експериментах безпосередньо
вимірюється сила притягання між двома тілами масами M і m і
закон всесвітнього тяжіння Ньютона записується у вигляді
F = - G M m/r2.
Тут G є так званою гравітаційною сталою.
Немає коментарів:
Дописати коментар