Ймовірнісний простір

 

Ймовірнісний простір

               Задача. У ящику 10 однакових кульок, які відрізняються лише кольором. Дві з них білого кольору, 3 – чорного і 5 – червоного. Навмання виймається одна кулька. Якого вона кольору?

               Розв’язання. Оскільки відповідь на запитання не може бути однозначною, то мова йде про випадковий експеримент. Його математичною моделлю є ймовірнісний простір {Ω, A, P}. Тут Ω є простором елементарних подій, тобто сукупність всіх можливих елементарних подій

Ω={ω₁(W), ω₂(W), ω₃(B), ω₄(B), ω₅(B), ω₆(R), ω₇(R), ω₈(R), ω₉(R), ω₁₀(R)}.

Тут ω₁(W) – елементарна подія, яка полягає у тому, що ми витягнули першу кульку, якій ми приписали білий колір, … , ω₃(B) – елементарна подія, яка полягає у тому, що ми витягнули третю кульку, якій ми приписали чорний колір, … , ω₁₀(R) – елементарна подія, яка полягає у тому, що ми витягнули десяту кульку, якій ми приписали червоний колір. Наступний елемент ймовірнісного простору – це алгебра подій

A={W, B, R, WB, WR, BR, Ω, Ø}.

Тут W – подія, яка полягає у тому, що ми витягнули якусь кульку білого кольору, B – подія, яка полягає у тому, що ми витягнули якусь кульку чорного кольору, R – подія, яка полягає у тому, що витягнули якусь кульку червоного кольору, WB – подія, яка полягає у тому, що ми витягнули якусь кульку білого або чорного кольору, WR – подія, яка полягає у тому, що ми витягнули якусь кульку білого або червоного кольору, BR – подія, яка полягає у тому, що ми витягнули якусь кульку чорного або червоного кольору, Ω – подія, яка полягає у тому, що витягнули будь-яку кульку (тобто це сам простір елементарних подій), Ø – подія, яка полягає у тому, що ми не витягнули жодної кульки.

               Простір елементарних подій і події є множинами, які складаються з різних елементарних подій. Так

               W={ω₁(W), ω₂(W)},

B={ω₃(B), ω₄(B), ω₅(B)},

R={ω₅(B), ω₆(R), ω₇(R), ω₈(R), ω₉(R), ω₁₀(R)},

WB={ω₁(W), ω₂(W), ω₃(B), ω₄(B)},

WR={ω₁(W), ω₂(W), ω₅(B), ω₆(R), ω₇(R), ω₈(R), ω₉(R), ω₁₀(R)},

BR={ω₃(B), ω₄(B), ω₅(B), ω₆(R), ω₇(R), ω₈(R), ω₉(R), ω₁₀(R)}.

Ω={ω₁(W), ω₂(W), ω₃(B), ω₄(B), ω₅(B), ω₆(R), ω₇(R), ω₈(R), ω₉(R), ω₁₀(R)},

Ø – не містить жодної елементарної події.

               Алгеброю називається сукупність множин, замкнена відносно операцій об’єднання і доповнення. Тобто будь-яка з цих операцій, виконана на множинами, що утворюють алгебру, у висліді дає множину, що належить цій самій сукупності множин:

               W+B=WB, W+R=WR, R+B=BR, WB+W=WB, WR+W=WR, … .

Всі події, що утворюють алгебру, відповідають конкретним наслідкам нашого випадкового експерименту. З елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій даного випадкового експерименту, можна утворити і багато інших множин. Однак ці множини не входитимуть до алгебри, оскільки не визначають жодного з очікуваних наслідків даного експерименту. P – це числова функція подій, нормована на 1, тобто набір ймовірностей

               P={P(W), P(B), P(R), P(WB), P(WR), P(BR), P(Ω), P(Ø)}.

Областю її визначення є алгебра подій. Знаючи ці ймовірності ми і даємо відповідь на запитання задачі: у нашому випадковому експериментів ми спостерігатимемо будь-яку з подій, що утворюють алгебру подій, з наведеними вище ймовірностями.

               Можливі значення ймовірностей подій ми можемо отримати або експериментально, виконуючи наш випадковий експеримент велику кількість разів, тоді межові значення частот, з якими зустрічатимуться різні події у цих експериментах і можна буде взяти за шукані ймовірності, або теоретично. У даному конкретному випадку такий теоретичний підхід легко реалізується, оскільки в умові задачі сказано, всі кульки однакові, а отже всі елементарні події, що входять у простір елементарних подій, рівноправні. Якщо поряд із ймовірностями подій ввести поняття елементарних ймовірностей, тобто ймовірності

               P(ω₁(W)), P(ω₂(W)), P(ω₃(B)), P(ω₄(B)), P(ω₅(B)), P(ω₆(R)), P(ω₇(R)), P(ω₈(R)), P(ω₉(R)), P(ω₁₀(R)),

то рівноправність елементарних подій означатиме однаковість всіх елементарних ймовірностей

P(ω₁(W))=P(ω₂(W))=P(ω₃(B))=P(ω₄(B))=P(ω₅(B))=P(ω₆(R))=P(ω₇(R))=P(ω₈(R))=P(ω₉(R))=P(ω₁₀(R)).

Оскільки

               P(Ω)=P(ω₁(W)+ω₂(W)+(ω₃(B)+ω₄(B)+ω₅(B)+ω₆(R)+ω₇(R)+ω₈(R)+ω₉(R)+ω₁₀(R))=10 P(ω₁(W))=1,

то,це дозволяє легко знайти і ймовірності подій (класичне означення ймовірності)

               P(W)=P(ω₁(W)+ω₂(W))=P(ω₁(W))+P(ω₂(W))=0.2,

               P(B)=P(ω₃(B)+ω₄(B)+ω₅(B))=P(ω₃(B))+P(ω₄(B))+ P(ω₅(B))=0.3,

               P(R)=P(ω₆(R)+ω₇(R)+ω₈(R)+ω₉(R)+ω10(R))=P(ω₆(R))+P(ω₇(R))+ P(ω₈(R))+ P(ω₉(R))+ P(ω₁₀(R))=0.5,

               P(WB)=P(W)+P(B)=0.5,

               P(WR)=P(W)+P(R)=0.7,

               P(BR)=P(B)+P(R)=0.8,

               P(Ω)=1,

               P(Ø)=0.

               Можливий і інший варіант математичної моделі нашого випадкового експериментую. Це знову ж таки буде ймовірнісний простір, але замість простору елементарних подій можна ввести простір подій Ω’={W, B, R}. У ньому алгебра подій і ймовірності поді будуть тими самими { Ω’, A, P}.