Гравітаційна та інертна маси

 

            Сила F електростатичної взаємодії двох точкових зарядів величиною q (для простоти візьмемо два однакові заряди), що розташовані на відстані  r один від одного описується законом Кулона

│F│=q²/r².

            Сила F гравітаційної взаємодії двох точкових мас величиною m (для простоти візьмемо дві однакові маси), що розташовані на відстані  r одна від одної описується законом Ньютона

│F│=Gm²/r².

Тут гравітаційна стала

G=6.674∙10^-8 дин∙см²/г².

Чому немає повної відповідності двох законів? Чому у законі всесвітнього тяжіння Ньютона з’являється гравітаційна стала, а у законі Кулона подібної сталої немає? Відповідь на це запитання полягає у тому, що маса у природі існує двох типів: гравітаційна  m_g і інерційна m_i. Перша повинна була б входити у закон всесвітнього тяжіння Ньютона. Тоді він міг би записуватись абсолютно аналогічно закону Кулона

│F│=m_g²/r².

Друга входить у другий закон Ньютона, що описує рух тіл

F=m_ia.

У системі одиниць СГС основними одиницями вимірювання механічних величин є грам, сантиметр, секунда. Вже, наприклад, одиниця вимірювання сили дина є похідною і її величина визначається з другого закону Ньютона. Оскільки у законі всесвітнього тяжіння Ньютона і у другому законі Ньютона сила вимірюється в однакових одиницях – динах, то, очевидно, гравітаційна і інертна маси мають різні розмірності.

                                                                                  

            Вважаючи одиницю вимірювання інертної маси основною, а одиницю вимірювання гравітаційної маси похідною, знайдемо цю розмірність. Для цього використаємо закон всесвітнього тяжіння, що містить гравітаційну масу. Очевидно, що розмірність гравітаційної маси, визначена через розмірність інертної маси, буде такою

[m_g]=[r]∙[m_i]^1/2∙[a]^1/2=г^1/2∙см^3/2/сек.

            Для того, щоб не вводити у розгляд ще одну фізичну величину, виходитимо з того, що гравітаційна і інертна маси завжди пропорційні одна одній, тобто між ними існує універсальне лінійне співвідношення

m_g=α m_i.

Очевидно, що розмірність нової сталої буде

[α]=см²/г^1/2 сек.

Її числове значення можна знайти лише експериментально. Тепер для того, щоб записати закон всесвітнього тяжіння Ньютона не використовуючи поняття гравітаційна маса, а лише поняття інертної маси, ми і повинні ввести так звану гравітаційну сталу

G=α².

Якщо у закон всесвітнього тяжіння Ньютона підставити дві точкові маси в 1 грам, розташувати їх на відстані в 1 сантиметр, і виміряти силу взаємодії між ними, то ми якраз і отримаємо числове значення гравітаційної сталої, наведене вище.                                                                                    

            Можна спростити закон всесвітнього тяжіння Ньютона поклавши гравітаційну сталу рівною одиниці. Тоді, щоб не змінювати кількість основних одиниць, можна вилучити з їх переліку інерційну масу, використовуючи замість неї гравітаційну масу у відповідних формулах. Можна змінити означення одиниці сили і, нарешті, можна змінити означення одиниці відстані. Оскільки інерційна маса використовується в фізиці значно частіше, ніж гравітаційна, то очевидна перевага за нинішньою системою одиниць, наприклад, СГС, де одиниця вимірювання інерційної маси є основною, а одиниця вимірювання гравітаційної маси є похідною. 

            Пропорційність інертної і гравітаційної мас на сьогодні є експериментальним фактом. Ще у 16 сторіччі Галілео Галілей проводив досліди з падіння тіл. Він з’ясував, що якщо знехтувати опором повітря, то всі тіла падають з однаковим прискоренням. 

            Легко перевірити, що він мав рацію. Розглянемо дві матеріальні точки з інертними масами m_1i i m_2i та гравітаційними масами m_1g i m_2g. Нехай вони разом падають з однакової висоти на землю. Вважатимемо Землю ідеальною кулею з сферично симетричним розподілом маси. Тоді кожна з матеріальних точок згідно з законом всесвітнього тяжіння Ньютона притягатиметься до центру Землі з силами:

F₁= -m_1g M_g/r², F₂= m_2g M_g/r².

Тут M_g – гравітаційна маса Землі, r – відстань до її центра. Під дією цих сил кожна з них згідно з другим законом Ньютона отримає прискорення:

a₁= F₁/ m_1i=- (m_1g/m_1i) M_g/r², a₂= F₂/ m_2i=- (m_2g/m_2i) M_g/r².

Дослід показав, що матеріальні точки падали з однаковим прискоренням, тобто

a₁= a₂.

Отже гравітаційна і інерційна маси знаходяться у прямо пропорційній залежності з коефіцієнтом пропорційності, що є сталою величиною.

m_1g/m_1i= m_2g/m_2i=α.

Принциповим недоліком отриманого результату є те, що ми використовували нерелятивістське рівняння руху, тобто неявно припускали, що швидкості матеріальних точок у нашому експериментів малі у порівнянні з швидкістю світла. До того ж точність таких експериментів була невисока, тому і надалі подібні експерименти проводились з незмінним зацікавленням. 

            У 19 сторіччі було виконано багато експериментів з маятниками. Через компактність і простоту маятників було легше уникати сторонніх факторів, що негативно впливають на точність експериментів. Розглянемо цю задачу детальніше.

            Математичним маятником називається матеріальна точка інерційної маси m₁ і гравітаційної маси m_g, підвішена в полі тяжіння з прискоренням вільного падіння g на невагомій і нерозтяжній нитці довжиною l з закріпленим одним кінцем. Матеріальна точка, закріплена на другому кінці нитки при і відхиленні її з положення рівноваги, буде рухатись дугою кола радіуса l. Її положення визначатимемо за допомогою дугової координати s, відрахованої від  нижньої точки кола. Позначимо через φ кут  між положенням нитки у відхиленому стані і у початковому рівноважному. Цей кут вимірюватимемо у радіанах. Зв’язок між  цим кутом, довжиною нитки і значенням дугової координати буде наступним

s= l φ.

Сила тяжіння Землі діятиме на матеріальну точку у вертикальному напрямку. Розкладемо її на дві складові: одну паралельну дотичній до траєкторії матеріальної точки в місті знаходження самої матеріальної точки, саме ця складова і викликає рух матеріальної точки, другу на перпендикулярний напрямок, який збігається з напрямком нитки. Остання складова урівноважується силою натягу нитки, що також діє на матеріальну точку. Паралельна складова матиме наступну величину

F=- m_gg sin(φ)/α.

Знак мінус тут з’явився тому, що дугова координата відраховується від положення рівноваги, а сила спрямована до положення рівноваги. Рівняння руху матеріальної точки тепер матиме вигляд

m_i(d²s/dt²)=- m_gg sin(φ)/α.

Виразивши s через φ 

                                                                     d²s/dt²= l d²φ/dt²

отримаємо наступне диференційне рівняння щодо φ

                                                             m_il d²φ/dt² = -m_gg sin(φ)/α.

Розв’язок цього нелінійного диференційного рівняння добре відомий. Він описує коливальний рух І для періоду цих коливань у разі малих відхилень від положення рівноваги отримуємо наступний вираз 

T=2π√(l α m_i g m_g.)  ∫ d φ /√(cos(φ)- cos(φ₀)),   - φ₀ < φ < φ₀

Тут φ₀ - початковий кут відхилення маятника від положення рівноваги. З’ясувалось, що періоди коливань математичних маятників, що мають однакову довжину, але відрізняються значеннями мас матеріальних точок, не залежить від їх мас. А це, у свою чергу, означає, що частка двох мас - інерційної і гравітаційної, що входить у вираз для періоду, є сталою величиною.

            Експерименти з маятниками також відповідали малим швидкостям матеріальної точки стосовно швидкості світла. 

            У 20 сторіччі подібні експерименти вже проводились за допомогою супутників, де досліджувалось падіння тіл у вакуумі. Подібних експериментів було виконано надзвичайно багато. На сьогодні всі вони однозначно свідчать, що гравітаційна і інертна маси пропорційні одна одній і коефіцієнт пропорційності є сталою величиною.

            Надалі цей висновок ліг в основу сучасної релятивістської теорії гравітації, яку називають загальною теорією відносності Айнштайна. Проте слід пам'ятати, що при релятивістських швидкостях перевірка частки інертної і гравітаційної мас ще не проводилась.

Доктор фіз.-мат. наук, професор, академік Академії наук вищої школи України Швець В. Т.