Релятивістська квантова механіка. Рівняння Дірака. Структура вакууму

Релятивістська квантова механіка. Рівняння Дірака. Структура вакуума

Зміст:

1.Вступ

2.Рівняння Дірака

3.Спін мікрочастинки

4.Рівняння Дірака для вільного електрона

Пол Дірак (1902 - 1984) - геніальний британський фізик-теоретик

1.Вступ

         Релятивістська квантова механіка, побудована Діраком, має воістину революційне значення для нашого сприйняття світу. Простір порожній – такою була філософська концепція Айнштайна. Немає жодного ефіру, чи як би ми не називали субстанцію, між частинками видимої матерії. Вакуум – це щось таке, де немає нічого. Для такого твердження на початку двадцятого сторіччя були всі підстави. Численні досліди не виявляли присутність якоїсь субстанції, що наповнювала б космічний простір. Не існує те, чого не можна спостерегти. Це абсолютна істина сучасної науки. Але після 1927 року все змінилось.

         Простір вщент наповнений речовиною. Основним станом матерії у всесвіті є якраз порожній простір. Видима матерія – це бризки, якими обдає нас морська хвиля, що розбивається о скелю, на якій ми стоїмо. А як же експериментальне підтвердження такого революційного бачення світу? Воно є і піддається вимірюванню з наперед заданою точністю. Це море невидимої матерії під назвою вакуум впливає на поведінку видимої матерії. Якщо енергетичний спектр атома водню розрахувати в межах нерелятивістської і релятивістської квантових механік, то ці спектри помітно відрізнятимуться. Причому спектр, розрахований в межах релятивістської квантової механіки, буде ближчим до експериментальних спектроскопічних даних.

Тепер про так званий вакуум у світлі відкриттів останніх десятиліть. На початку двадцятого сторіччя люди і гадки не мали, що таке темна матерія і темна енергія. Слідом за Айнштайном всі вважали простір порожнім. Як можна говорити про якусь субстанцію типу ефіру у порожньому просторі?  Астрономічні відкриття останніх десятиліть все змінили. У сучасній космології Всесвіт складається з:

• Темної енергії — приблизно 68–70%
• Темної матерії — приблизно 25–27%
• Звичайної (баріонної) матерії — лише близько 5%

Ці цифри базуються на найновіших даних, зокрема з космічного мікрохвильового фону (CMB), які отримав супутник Planck. Коротко їх властивості:

• Темна енергія (~70%) — прискорює розширення Всесвіту.
• Темна матерія (~25%) — не випромінює світло, але має гравітаційний вплив (наприклад, утримує галактики разом).
• Звичайна матерія (~5%) — усе, що ми можемо побачити (зірки, планети, люди тощо).

          Отже, з сучасної точки зору видима матерія становить лише 5% маси Всесвіту. Ні темна матерія, ні темна енергія не фіксуються безпосередньо вимірювальними приладами. А може темна матерія, або темна енергія і є тою субстанцією, яку класики сучасної фізики називали єфіром, тобто тим середовищем, у якому і розповсюджуються електромагнітні хвилі?

         Отже і астрофізичні дослідження виявили складну структуру невидмої матерії, яку ми звикли називати вакуумом. Але починалось все з релятивітської квантової механіки, про яку йтитиме мова у даній статті. Основні ідеї цієї теорії доволі наочні і доступні для сприйняття широкою аудиторією при умові володіння вищою математикою хоча б у межах програми технічного вузу.

Детальніше про заторкнуті проблеми можна прочитати у найкращому підручнику з квантової механіки всіх часів і народів (це без перебільшення) І. О. Вакарчук. Квантова механіка. – Львів. ЛНУ імені Івана Франка. – 2007. – С. 848.

Іван Олександрович Вакарчук 

(6 березня 1947 р. - 4 квітня 1920 р.)

Видатний український фізик-теоретик.

2.Рівняння Дірака

         Принцип побудови рівнянь квантової механіки такий. Ми записуємо фундаментальне співвідношення класичної механіки, наприклад закон збереження енергії, і в ньому механічні величини замінюємо відповідними операторами. Розглянемо, наприклад, закон збереження енергії матеріальної точки з масою m і зарядом q у зовнішньому електричному полі з потенціалом U(r, t). Її повна енергія E дорівнює сумі кінетичної енергії T = p²/(2 m), де p – імпульс матеріальної точки, і енергії її взаємодії із зовнішнім полем q U(r, t)

E = p²/(2 m) + q U(r, t) = (p_x² + p_y² + p_z²)/(2 m) + q U(r, t).

При переході до квантової механіки класичному імпульсу ставляться у відповідність диференційні оператори

p_x = - i ℏ ꝺ/ꝺx,     p_y = - i ℏ ꝺ/ꝺy,     p_z = - i ℏ ꝺ/ꝺz.

Відповідно, для кінетичної енергії матимемо

T = - ℏ²/(2 m) (ꝺ²/ꝺx² + ꝺ²/ꝺy² + ꝺ²/ꝺz².

Енергії ставиться у відповідність диференційний оператор

E = i ℏ ꝺ/ꝺt.

Потенціалу зовнішнього поля, що залежить лише від координат і часу, ставиться у відповідність сам цей потенціал. Основне рівняння квантової механіки – рівняння Шредінгера, назване на честь видатного австрійського фізика, матиме вигляд

i ℏ ꝺψ/ꝺt = H ψ = - ℏ²/(2 m) (ꝺ²ψ/ꝺx² + ꝺ²ψ/ꝺy² + ꝺ²ψ/ꝺz²) + q U(r, t) ψ.

Функція ψ(x, y, z, t)  називається хвильовою функцією. Квадрат її модуля є густиною ймовірності знаходження матеріальної точки в точці простору з координатами x, y, z в момент часу t. Відповідно

dP = │ ψ(x, y, z, t) │² dx dy dz

є ймовірністю того, що матеріальна точка знаходиться у паралелепіпеді обсягом dx dy dz, одна з вершин якого має координати (x, y, z).

Рівняння Шредінгера для квантової частинки є аналогом Другого закону Ньютона для класичної частинки. Так само як і рівняння Ньютона, рівняння Шредінгера інваріантне щодо перетворень Галілея при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої. Дійсно, якщо координати і час матеріальної точки у рухомій системі координат x`, y`, z`, t` пов`язані з її координатами і часом у нерухомій системі координат x, y, z, t співвідношеннями

x` = x – V t,     y` = y,     z` = z,     t` = t,

де V – швидкість руху рухомої інерційної системи координат щодо нерухомої, то імпульс матеріальної точки зміниться

p_x` = - i ℏ ꝺ/ꝺx` = - i ℏ ꝺ/ꝺx - V,     p_y = - i ℏ ꝺ/ꝺy,     p_z = - i ℏ ꝺ/ꝺz,

а кінетична енергія залишиться незмінною

T` = - ℏ<sup>2</sup>/(2 m) (ꝺ<sup>2</sup>/ꝺx`² + ꝺ²/ꝺy`<sup>2</sup> + ꝺ<sup>2</sup>/ꝺz`² =

= - ℏ²/(2 m) (ꝺ²/ꝺx² + ꝺ²/ꝺy² + ꝺ²/ꝺz² = T.

Для простоти ми розглянули випадок, коли вісі координат обох систем спрямовані однаково і одна інерційна система координат рухається щодо іншої інерційної системи координат з швидкістю V паралельно осі x.

         Легко переконатись, що рівняння Шредінгера не інваріантне щодо перетворень Лоренца

x` = (x – V t) / (1 – V²/c²)^1/2,

y` = y,     z` = z,

t` = [t – (V/c) (x/c)] / (1 – V²/c²)^1/2.

Останній факт означає, що рівняння Шредінгера не застосовне тоді, коли швидкість матеріальної точки сумірна з швидкістю світла. Зауважимо, що у рівняння Шредінгера швидкість світла c навіть не входить.

         Основний закон фізики великих швидкостей або релятивістської фізики формулюється так: всі основні рівняння фізики, куди входять координати і час, мають бути інваріантними щодо перетворень Лоренца.

Згідно з основним принципом квантової механіки, для отримання квантовомеханічного рівняння, інваріантного щодо перетворення Лоренца, необхідного виходити з закону збереження енергії класичної матеріальної точки, дійсного при її високих швидкостях. Такий закон має вигляд

E² = p² c² + m² c⁴.

Далі перехід від класичного виразу до квантовомеханічного рівняння здійснюється за вище наведеним правилом через співставлення енергії і імпульсу відповідних диференційних операторів і оператор Гамільтона матиме вигляд

H = E = (p² c² + m² c⁴)^1/2.

Проблемою тут є наявність кореня квадратного з суми квадратів диференційних операторів, що відповідають диференціюванню за просторовими координатами. У 1928 році видатний англійський вчений П. А. М. Дірак запропонував зробити це так, записавши гамільтоніан у вигляді

H = (a p) c + m c² b.

Оскільки оператор Гамільтона і оператор імпульсу є ермітовими

H⁺ = H,     p⁺ = p,

то ермітовими мають бути і величини a, b

a⁺ = a,     b⁺ = b.

Невідомий скаляр b і вектор a мають знаходитись з умови рівності

p² c² + m² c⁴ = [(a p) c + m c² b]² = (a p)² c² + m² c⁴ b² + (a b + b a) p m c².

Для тотожності лівої і правої частин рівняння мають виконуватись рівності

a b + b a = 0,

b² = 1,

(a p)² = p².

Останню рівність можна записати так

p_x² + p_y² + p_z² = (a_x p_x + a_y p_y + a_z p_z)² =

= a_x² p_x² + a_y² p_y² + a_z² p_z² + p_x p_y (a_x a_y + a_y a_x) +

+ p_x p_z (a_x a_z + a_z a_x) + p_y p_z (a_y a_z + a_z a_y).

У висліді маємо 10 співвідношень, яким мають задовольняти чотири невідомі величини b, a_x, a_y, a_z

b² = 1,

a_x² = 1,

a_y² = 1,

a_z² = 1,

a_x a_y + a_y a_x = 0,

a_x a_z + a_z a_x = 0,

a_y a_z + a_z a_y = 0,

a_x b + b a_x = 0,

a_y b + b a_y = 0,

a_z b + b a_z = 0.

Додаючи до цих умов умови ермітовості, отримаємо наступні вирази для величин b, a_x, a_y, a_z

b = (1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1),

a_x = (0, 0, 0, 1; 0, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 0; 1, 0, 0, 0),

a_y = (0, 0, 0, - i; 0, 0, i, 0; 0, - i, 0, 0; i, 0, 0, 0),

a_z = (0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, - 1; 1, 0, 0, 0; 0, - 1, 0, 0).

Тут ми використали запис матриць у рядок. Матричні елементи у рядку відділяються комами, а рядки комами з точками. Ці матриці називаються матрицями Дірака. У висліді однорідності простору і часу, матричні елементи є дійсними або комплексними числами. Оскільки матриці Дірака є квадратними матрицями четвертого порядку, то хвильова функція у рівнянні Дірака має бути чотириелементною матрицею стовпцем, яка називається спінором,

ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃, ψ₄).

Рівняння Дірака тепер можна записати так

i ℏ І ꝺψ/ꝺt = - (a p) c ψ + m c² b ψ.

Тут І – одинична матриця четвертого порядку. У це рівняння похідні за часом і координатами входять симетричним чином і  мають перший порядок. Можна показати, що це рівняння інваріантне щодо перетворень Лоренца.

         Ми отримали цікавий результат. Замість однієї хвильової функції, що входить у рівняння Шредінгера, у нас є чотири хвильові функції ψ₁, ψ₂, ψ₃, ψ₄. Одна матеріальна точка з певною масою і зарядом і чотири хвильові функції, що описують її поведінку. Як з`ясується далі, хвильові функції ψ<sub>1</sub>, ψ<sub>2</sub> описують стан матеріальної точки з додатними енергіями, а хвильові функції ψ<sub>3</sub>, ψ<sub>4</sub> описують стан матеріальної точки з від`ємними енергіями. Стани з додатними і від`ємними значеннями енергії розділені забороненою зоною шириною 2mc². Кожна з зазначених пар хвильових функцій, у свою чергу, описує певну внутрішню ступінь свободи. Ця внутрішня ступінь свободи реалізується двома станами – станом, що описується хвильовими функціями ψ₁, ψ₃, і станом, що описується хвильовими функціями ψ₂, ψ₄. Про фізичне наповнення зазначених властивостей функцій ψ₁, ψ₂, ψ₃, ψ₄ мова йтитиме нижче.

3.Спін мікрочастинки

         Класичний момент кількості руху мікрочастинки, не пов`язаний з її внутрішніми ступенями вільності, має вигляд

L = [r p] = i (y p_z – z p_y) – j (x p_z – z p_x) + k (x p_y – y p_z).

Квантовомеханічний оператор моменту кількості руху ми отримаємо, якщо замість класичних компонент імпульсу запишемо відповідні диференційні оператори. Легко переконатись, що якщо поведінку мікрочастинки описувати  гамільтоніаном Шредінгера

H = - ℏ²/(2 m) (ꝺ²/ꝺx² + ꝺ²/ꝺy² + ꝺ²/ꝺz²) + q U(r, t),

то оператор момента кількості руху комутує з таким гамільтоніаном

[L, H] = 0.

Останнє означає, що момент кількості руху є інтегралом руху, тобто в процесі руху мікрочастинки зберігається. Якщо ж в якості гамільтоніана взяти гамільтоніан Дірака

H = (a p) c + m c² b,

 то відповідний комутатор вже не дорівнює нулю

[L, H] = i ℏ c [a p].

Це означає, що момент кількості руху мікрочастинки вже не є інтегралом руху. Ситуацію можна виправити, якщо до оператора L додати такий оператор, що разом вони вже комутуватимуть з гамільтоніаном Дірака. В просторі квадратних матриць другого порядку для початку візьмемо найпопулярніший повний ортонормований базис, що складається з одиничної матриці I і матриць

σ = i σ_x + j σ_y + k σ_z,

σ_x = (0, 1; 1, 0),     σ_y = (0, - i; i, 0),     σ_z = (1, 0; 0, - 1).

Ці матриці називаються матрицями Паулі. Довільну квадратну матрицю другого порядку можна єдино можливим способом представити лінійною комбінацією таких базисних матриць. Легко перевірити, що

[σ, H] = - 2 I c [a p].

Тоді інтегралом руху буде оператор

J = L + ℏ σ / 2.

Якщо розглянути мікрочастинку в системі координат, щодо якої вона не рухається, тобто L = 0, то оператор повного момента J все одно  відмінний від нуля. Тобто мікрочастинка знаходиться у спокої, а її момент кількості руху відмінний від нуля. З цієї причини момент кількості руху мікрочастинки ℏσ/2 називають власним моментом кількості руху або спіном. Цей оператор має для електрона і протона два власних значення + ½ та – ½. Повертаючись до хвильових функцій можна сказати, що ψ₁, ψ₃ відповідають стану мікрочастинки, проекція спіна якої на виділений напрямок дорівнює ℏ / 2, а ψ₂, ψ₄ - - ℏ / 2.

4.Рівняння Дірака для вільного електрона

         Надалі, для конкретності ми застосовуватимемо рівняння Дірака до електрона. Почнемо з рівняння Шредінгера для вільного електрона

i ℏ ꝺψ/ꝺt = - ℏ²/(2 m) [ꝺ²ψ/ꝺx² + ꝺ²ψ/ꝺy² + ꝺ²ψ/ꝺz²].

Простий вигляд цього рівняння дозволяє застосувати для його розв`язку методу поділу змінних Представимо хвильову функцію у вигляді наступного добутку

ψ(r, t) = ψ(r) θ(t).

У висліді рівняння Шредінгера можна записати так

i ℏ [ꝺθ(t)/ꝺt] / θ(t) = - ℏ²/(2 m) [ꝺ² ψ(r)/ꝺx² + ꝺ² ψ(r)/ꝺy² + ꝺ² ψ(r)/ꝺz²] / ψ(r).

Оскільки обидві частини рівняння залежать від різних змінних, то кожна з них є сталою величиною

i ℏ [ꝺθ(t)/ꝺt] / θ(t) = - ℏ²/(2 m) [ꝺ²ψ(r)/ꝺx² + ꝺ²ψ(r)/ꝺy² + ꝺ²ψ(r)/ꝺz²] / ψ(r) = E.

Тепер маємо систему двох рівнянь

i ℏ [ꝺθ(t)/ꝺt] / θ(t) = E,

- ℏ²/(2 m) [ꝺ²ψ(r)/ꝺx² + ꝺ²ψ(r)/ꝺy² + ꝺ²ψ(r)/ꝺz²] / ψ(r) = E.

Частинний розв`язок першого рівняння є

θ(t) = exp[- (i / ℏ) E t].

Його загальний розв`язок можна отримати домноживши цей частинний розв`язок на довільну сталу. Друге рівняння у векторній формі можна записати так

ℏ²/(2 m) [ꝺ²ψ(r)/ꝺr²] / ψ(r) = - E

або

ℏ²/(2 m) [ꝺ² ψ(r)/ꝺr²] + E ψ(r) = 0.

Характеристичне рівняння останнього диференційного рівняння має вигляд

ℏ² k² / (2 m) + E = 0.

Звідки

k = + - i [(2 m E) / ℏ²]^1/2.

Його частинний розв`язок має вигляд

ψ(r) = exp(i k r).

Його загальний розв`язок можна отримати домноживши цей частинний розв`язок на довільну комплексну сталу.

         Шукану хвильову функцію тепер можна записати так

ψ(r, t) = А exp[- (i / ℏ) E t] exp(i k r).

Тут E відіграє роль енергії мікрочастинки, а k відіграє роль її хвильового вектора. З характеристичного рівняння ми знаходимо закон дисперсії для мікрочастинки, тобто зв`язок між енергією і хвильовим вектором або її енергетичний спектр

E = ℏ² k² / (2 m).

Довільна стала знаходиться з умови нормування

∫_V ψ*(r, t) ψ(r, t) dr = 1.

і дорівнює 1/V^1/2, де V – об`єм простору, де знаходиться мікрочастинка.

         Очевидним результатом цієї задачі є той факт, що енергія мікрочастинки завжди додатна і може набувати будь-яких значень в інтервалі (0, ∞).

         Розглянемо тепер рівняння Дірака

i ℏ І ꝺψ/ꝺt = - (a p) c ψ + m c² b ψ.

Для його розв`язання також можна застосувати метод поділу змінних. Хвильову функцію знову можна представити у вигляді добутку

ψ(r, t) = ψ(r) θ(t),

оскільки оператори у лівій і правій частинах рівняння залежать від різних змінних. Рівняння матиме вигляд

i ℏ І [ꝺθ(t)/ꝺt] / θ(t) = – [(a p) c ψ(r)  + m c² b ψ(r)] / ψ(r) = І E.

         Це рівняння розпадається на систему двох рівнянь 

i ℏ [ꝺθ(t)/ꝺt] / θ(t) = І E,

[- (a p) c ψ(r) + m c² b ψ(r)] / ψ(r) = І E.

Розв`язок першого рівняння, як і раніше,

θ(t) = exp[- (i / ℏ) E t].

Друге рівняння зручно записати у вигляді

- (a p) c ψ(r) + m c² b ψ(r) = E І ψ(r).

Спінор ψ(r) очевидно є нормованим

∫_V ψ+(r) ψ(r) dr = 1,

де

ψ+(r) ψ(r) = (ψ₁+(r), ψ₂+(r), ψ₃+(r), ψ₄+(r)) (ψ₁(r); ψ₂(r); ψ₃(r); ψ₄(r)) =

= ψ₁+(r) ψ₁(r) + ψ₂+(r) ψ₂(r) + ψ₃+(r) ψ₃(r) + ψ₄+(r) ψ₄(r).

Оскільки матриці Дірака можна записати через матриці Паулі

α = (0, σ; σ, 0),

то рівняння щодо спінора можна записати у матричному вигляді так

[(0, (σ p) c; (σ p) c, 0) + m c² І] ψ(r) = E І ψ(r).

Тут І – одинична матриця другого порядку. Це одне рівняння, структура якого збігається із структурою квадратних матриць четвертого порядку, можна представити системою двох рівнянь, кожне з яких матиме структуру вже квадратних матриць другого порядку

(σ p) c χ(r) + m c² І φ(r) = E І φ(r),

(σ p) c φ(r) – m c² І χ(r) = E І χ(r).

Тут матриці стопці з двох елементів φ(r) = (ψ₁(r); ψ₂(r)), χ(r) = (ψ₃(r); ψ₃(r)).

         Умовою наявності у цієї однорідної системи рівнянь ненульового розв`язку є рівність нулю її визначника

│(m c² – E), (σ p) c ; (σ p) c , - (m c² + E)│= 0.

Розкриваючи його, маємо

(m c² – E) (m c² + E) + (σ p)² c² = 0.

Оскільки

(σ p)² = (σ_x p_x + σ_y p_y + σ_z p_z )²=

= [(0, p_x; p_x, 0) + (0, - i p_y; i p_y, 0) + (p_z, 0; 0, - p_z)]² =

= (p_z, p_x - i p_y; p_x + i p_y, - p_z)² = p²,

то умова ненульового розв`язку матиме вигляд

E² – m² c⁴ - p² c² = 0.

У висліді для енергетичного спектра вільної мікрочастинки маємо два вирази

E₊ = (p² c² + m² c⁴)^1/2,

E_- = - (p² c² + m² c⁴)^1/2.

Тобто енергія мікрочастинки може бути і додатною, і від`ємною. Якщо покласти імпульс мікрочастинки рівним нулю, то ми побачимо, що додатні і від`ємні значення енергії розділені щілиною 2mc². Ці ж значення енергії випливають і релятивістського виразу для енергії мікрочастинки

E² = p² c² + m² c⁴,

якби у нас вистачило сміливості не відкинути від`ємне значення кореня.

         Отриманий результат містить одне слабке місце. Мікрочастинка у стані з від`ємною енергією має прямувати до її мінімального значення, тобто у мінус нескінченність, виділяючи надлишок енергії у зовнішній простір. Зняти цей недолік можна у різний спосіб. Один з них – це припустити, що всі стани з від`ємною енергією зайняті. Я ж від себе зауважу, що надто просту модель мікрочастинки ми розглянули. Можна розглянути безліч інших моделей, де мікрочастинка взаємодіє з іншими мікрочастинками або матерією в основному стані. Дірак зробив лише перший крок. Він довів, що вакуум наповнений невидимою матерією, яка впливає на поведінку видимої матерії. Попереду захоплюючий шлях фізики у дослідженні детальної структури і властивостей основного стану матерії у Всесвіті – вакууму.

Знайдемо тепер хвильову функцію мікрочастинки для додатних і від`ємних значень енергії. Почнемо з додатних енергій. З другого рівняння системи

χ(r) = (σ p) c φ(r) / ([E₊ + m c²] І).

Оскільки ділення на квадратну матрицю еквівалентне множенню чисельника на обернену матрицю, а для одиничної матриці пряма і обернена матриці збігаються, то одиничну матрицю у знаменнику можна опустити

χ(r) = (σ p) c φ(r) / [E₊ + m c²].

Тепер хвильову функцію мікрочастинки можна записати так

ψ(r) = (φ(r); (σ p) c φ(r) / [E₊ + m c²]).

Матрична функція φ(r) залежить як від координат, так і від спіну мікрочастинки. Оскільки Оператори спіну і імпульсу мікрочастинки є незалежними, а на функцію φ(r) діє їх добуток, то цю функцію можна представити добутком двох функцій, що окремо залежить від координат і від спіну

φ(r) = А R(r) S.

Тут А є довільною сталою, що знаходиться з умови нормування, а R(r)  зручно взяти нормованою на одиницю. Оскільки матричну структуру має лише оператор спіну, то координатна частина є звичайною функцією, спінова частина є вектором стовпцем з двох елементів. Оскільки спін мікрочастинки є інтегралом руху, то матриця S має бути власною функцією оператора квадрата спіну, а отже і оператора проекції спіну ℏσ_z/2 на напрямок осі z, тобто має виконуватись рівність

ℏ σ_z / 2 S = ℏ m І S.

Звідси отримуємо, що m = + - ½, а матриця-стовпець S може мати або структуру S₊ = (1; 0) для m = ½, або структуру S_- = (0; 1) для m = - ½.

         Розглянемо, який вигляд матиме спінор для спіна S₊. Для цього обчислимо наступний добуток операторів

σ p S₊ = (p_z; p_x + i p_y).

У разі спіну S_- вище наведений добуток буде таким

σ p S_- = (p_x - i p_y; - p_z).

Тепер спінори для цих двох випадків будуть такими

ψ₊(r) = А (1; 0; c p_z / [E₊ + m c²]; c (p_x + i p_y) / [E₊ + m c²]) R(r),

ψ_-(r) = А (0; 1; c (p_x - i p_y) / [E₊ + m c²]; - c p_z / [E₊ + m c²]) R(r).

Спряжені спінори матимуть отримуються заміною стовпців на рядки і комплексним спряженням всіх величин, що входять у них.

ψ₊⁺(r) = А (1; 0; c p_z / [E₊ + m c²]; c (p_x - i p_y) / [E₊ + m c²]) R*(r),

ψ_-⁺(r) = А (0; 1; c (p_x + i p_y) / [E₊ + m c²]; - c p_z / [E₊ + m c²]) R*(r),

Оскільки для вільної частинки координатна частина її хвильової функції має бути власною функцією оператора імпульса, оскільки імпульс зберігається, то дія оператора імпульса на таку хвильову функцію зводиться  до множення на сам імпульс. Легко переконатись, що за цих умов

∫_V ψ₊⁺(r) ψ₊(r) dr = A² ∫_V R* (r) R(r) dr (1 + p² c² / [E₊ + m c²]²) = 1.

Остаточно,

ψ₊(r) = 1 / (1 + p² c² / [E₊ + m c²]²)

(1; 0; c p_z / [E₊ + m c²]; c (p_x + i p_y) / [E₊ + m c²]) R(r),

ψ_-(r) = 1 / (1 + p² c² / [E₊ + m c²]²)

(0; 1; c (p_x - i p_y) / [E₊ + m c²]; - c p_z / [E₊ + m c²]) R(r).

Аналогічно для енергії E_-

ψ₊(r) = 1 / (1 - p² c² / [E_- - m c²]²)

(c p_z / [E_- - m c²]; c (p_x + i p_y) / [E_- - m c²]; 1, 0) R(r),

ψ_-(r) = 1 / (1 - p² c² / [E_- - m c²]²)

(c (p_x - i p_y) / [E_- - m c²]; - c p_z / [E_- - m c²]; 0, 1) R®.

Очевидно, що E₊ = - E_-.

         Якщо швидкість мікрочастинки прямує до нуля, то з точністю до членів другого порядку за часткою швидкості мікрочастинки до швидкості світла

ψ₊(r) = (1; 0; v_z / (2 c); (v_x + i v_y) / (2 c)) R(r),

ψ_-(r) = (0; 1; (v_x - i v_y) / (2 c); - c v_z / (2 c)) R(r).

Тут перші дві компоненти спінора, якщо рахувати зверху, відповідають додатним значенням енергії і вони не залежать від швидкості світла. Третя і четверта компоненти відповідають станам з від`ємними енергіями і мають порядок величини частки швидкості мікрочастинки до швидкості світла.  У межі малих швидкостей ними можна знехтувати і наявність вакууму ніяк не впливає на поведінку мікрочастинки.

ψ₊(r)  = (- v_z / ( 2 c); - (v_x + i v_y) / (2 c); 1, 0) R(r),

ψ_-(r)  = (- (v_x – i v_y) / (2 c); v_z / (2 c); 0, 1) R(r).

Тут перші дві компоненти також відповідають станам з додатними енергіями мають порядок величини частки швидкості мікрочастинки до швидкості світла. При малих швидкостях ними можна знехтувати і стани з додатними значеннями енергії ніяк не впливають на поведінку мікрочастинки при від`ємних значеннях енергії. Третя і четверта компоненти спінора від швидкості світла не залежать і є основними.

         Стани з негативними енергіями можна розглядати як стани з позитивними енергіями, але для мікрочастинок, що мають заряд, протилежний заряду частинок у станах з позитивними енергіями. Для електронів, які несуть негативний заряд, такими частинками є позитивно заряджені позитрони, які були невдовзі відкриті. Для протонів, які мають позитивний заряд, такими частинками виявились негативно заряджені антипротони, які також були невдовзі відкриті.

         Якщо виходити з того, що всі стани з негативними енергіями зайняті, то античастинкам – позитрону і антипротону з сучасної точки зору відповідають дірки, тобто незайняті стани, у морі мікрочастинок, що займають решту станів.

         Оскільки кожна частинка має свою античастинку, то на фоні видимої матерії, що складається з різноманітних частинок, існує море невидимих різноманітних мікрочастинок, що займають стани з від`ємними енергіями.

           Як ми бачили вище, стани з додатними і від`ємними значеннями енергії для мікрочастинки розділені щілиною у 2mc². Якщо енергія фотона перевищує цю енергію, то при взаємодії фотона з ядром будь-якого атома фотон може зникати, а замість нього виникає електрон-позитронна пара. В земних умовах процеси утворення електрон-позитронних пар спостерігаються на прискорювачах елементарних частинок при їх зіткненнях, якщо їх енергії достатньо великі. І цей процес вже знайшов практичне застосування у медичній томографії. В космічних умовах народження електрон-позитронних пар спостерігається поблизу чорних дірок і пульсарів.

         Отака складна матерія наповнює те, що тисячі років вважалось порожнечею. Ось такий він сучасний світ, до вивчення якого ми лише приступили.

Валерій Швець

Чи українці і німці один народ? "Світогляд"

Надруковано:

 Українці як частина європейського суперетносу – формула крові | Народний Оглядач

Світогляд. - № 3 (113). - 2025. - С. 12 - 17. (Часопис НАН України і Головної астрономічної обсерваторії НАН України)

Стосунки між різними народами можуть бути такими ж драматичними як і між окремими людьми. Коли мова йде про людей, то ми схильні своїм родичам поступатись частіше ніж чужим людям, прощати їм більше, ніж стороннім людям, більше слідкувати за своїми словами і діями, щоб ненароком не зашкодити їм. Те саме стосується і відносин між народами. Тут фактор спорідненості надзвичайно важливий.

Карта Чорного моря

            У радянські часи словосполучення «братні народи» стало політичною конструкцією, що її політична влада Радянського союзу застосовувала стосовно будь-якого народу світу, підтримка якого у даний момент відповідала її інтересам. Братніми вважались і всі народи Радянського союзу, які в різні часи стали об`єктами агресії російського народу, і були долучені до його імперії. Так «особливо» братніми вважались український і російський народи, за що український народ заплатив десятками мільйонів жертв.

            Для підсилення впливу Радянського союзу на слов`яномовні народи Європи активно використовувалося і словосполучення «братні слов`янські народи». При цьому, само собою вважалось зрозумілим, що російський народ є слов`янським. Причому на підсвідомому рівні вважалось, що слов`янські народи об`єднує не лише мова, а і щось дуже важливе на генетичному рівні.

            Чи можна сформулювати якійсь об`єктивний критерій, що визначав би які народи можна вважати братніми, відповідно до їх генетичної природи, а які ні? Чи всі народи, що розмовляють слов`янськими мовами є генетично спорідненими? Яку сукупність людей можна вважати одним народом, і які сукупності людей можна називати лише братніми народами? В якому сенсі можна говорити про спорідненість народів? Наскільки спорідненими є всі європейські народи? Ця стаття є спробою відповісти на ці запитання.

Європейський союз

            Перш за все сформулюємо критерій, що визначав би приналежність певної людської спільноти до одного народу. Уявимо собі людську спільноту, що компактно проживає на певній території. Як визначити, що ця спільнота утворює один народ, а не є сукупністю декількох різних народів. Для цього слід обрати якусь характеристику великих спільнот людей, що несе у собі об`єктивну інформацію про її генетику. Такою ідеальною характеристикою є структура ДНК – молекули, що міститься у кожній клітині людського організму у її ядрі, і в якій закладена вся інформація про людину і, навіть, про її предків. Але такі дослідження на сьогодні через їх складність, досить високу ціну і не достатню їх кількість носять епізодичний характер. Значно простішою генетичною характеристикою великих спільнот людей, хоча і не такою вичерпною, є частоти, з якими зустрічаються серед них різні групи крові, сукупність яких ми називатимемо формулою крові.

            Припустимо, що ми використовуємо саме цю генетичну характеристику великих людських спільнот. Розділимо уявною лінією територію проживання народу на дві приблизно однакові за чисельністю людей частини. Порівняємо формули крові у цих частинах. Якщо вони збігаються або дуже близькі, то це вагомий аргумент на користь того, що це однин народ. Для того, щоб переконатись, що цей збіг не випадковий, таку уявну лінію слід проводити знову і знову в різних напрямках. При цьому кожного разу  порівнюватимемо формули крові по обидва боки від цієї лінії. Якщо кожного разу вони збігатимутся або мало відрізнятимутся, то ми дійсно маємо справу з одним народом.

            Чи є на сьогодні приклади, коли за одностайною думкою всього світу один великий народ, був би розділеним на дві приблизно однакові за чисельністю людей частини, які вже довгий час існують як окремі держави? Такий народ є. Це Корея. Для Південної і Північної Корей відомі їх формули крові. З`ясовується, що різниця між ними хоча і є, але невелика. Як використати цю обставину, щоб стверджувати або заперечувати, що будь-які два інші народи світу насправді є одним народом? Для цього потрібно порівняти їх формули крові. Якщо ця різниця така ж або менша, як для двох Корей, то цілком можна припустити, що мова йде про один народ. Якщо ж ці частоти відрізняються більше, то такі народи можна вважати різними.

            Але ж безпосередньо порівнювати можна лише дійсні числа. Це фундамент сучасної математики. А у нас чотири групи крові. З урахування резус-фактора, який може бути позитивним і негативним, це вже вісім груп крові. Тобто формула крові населення кожної країни характеризується вісімкою чисел. Як бути?

            Вихід тут доволі простий. Частоту, з якою зустрічається дана групи крові, слід розглядати як координату точки. Вісім частот – вісім координат. Отже населенню кожної країни можна поставити у відповідність точку восьмивимірного простору. Якщо нас цікавить питання наскільки близькі або далекі між собою два народи, то достатньо обчислити відстань між двома точками цього простору, що відповідають даним народам. Відстань – це завжди одне дійсне число. Далі ми порівнюємо цю відстань з відстанню між точками, що відповідають двом Кореям. Якщо ця відстань менша, то мова йде про один народ. Якщо ж ця відстань більша, то мова йде про різні народи. Тобто, якщо за одиницю відстані взяти відстань між двома Кореями, то, якщо відстань між двома країнами менша за 1, мова йде про один народ, якщо більша, то про різні. Нижче наведена таблиця з відстанями між Україною і іншими країнами світу.

Таблиця 1

	Українці і братні народи
0.26 – 1	North Macedonia, Bosnia and Gerzegovina, Croatia, Serbia, Austria, Slovenia, Poland, Romania, Finland, Bulgaria, Turkey, Slovakia, Czech Republic, Sweden, Israel, Jordan, Belarus, Latvia, Hungary, Albania, Georgia, Moldova, Liechtenstein, Lithuania, Germany, Luxemburg
	Українці і споріднені народи
1 – 1.45	Denmark, Switzerland, Cyprus, Estonia, Greece, Australia, Spain, United States (white), Belgium, South Africa (white), Brazil, France, Lebanon, Azerbaijan, Norway, New Zealand, Netherlands, Netherlands, Portugal, Canada
	Українці та інші народи світу
1.45 – 2.45	Italy, Russia, United Kingdom, Alheria, Japan, Malta, Armenia, Iran, Kazakhstan, Egypt, Morocco, Uzbekistan, Tunisia, Syria, Ethiopia, Libya, Fiji, Iraq, South Korea, Bhutan, Cuba, Nepal, Malaysia, Mauritius, Dominican Republic,
2.45 – 3.45	Mauritania, Iceland, Papua New Guinea, Cambodia, Yemen, Sudan, Hong Kong, Macao, Ireland, North Korea, Argentina, Kenya, Indonesia, United Arab Emirates, Taiwan, China, Costa Rica, Saudi Arabia, Burkina Faso, Cameroon, Jamaica, Pakistan, Singapore, Bolivia, Bangladesh, Mongolia, Sri Lanka, India, Uganda, Guinea, Philippines, Myanmar, Ivory Coast,  Nigeria, Vietnam, Bahrain, Namibia,
3.45 – 6.56	Somalia, Chile, Paraguay, Colombia, Laos, Honduras, Ghana, Venezuela, Mexico, Gabon, Thailand,  Congo, El Salvador, Nicaragua, Zimbabwe, Peru, Ecuador

 

            Серед європейських країн лише народи трьох країн не є для українців братніми або спорідненими народами. Це Італія, Московія і Велика Британія. Що об`єднує ці три країни? Вони довгий час були імперіями, що контролювали величезну кількість народів світу, а Московія і досі є такою імперією. Візьмемо Італію. Сотні років туди неперервним потоком йшли раби з у сіх куточків колосальної імперії, Середземне море для імперії було внутрішнім морем. Згодом ці раби стали італійцями і суттєво вплинули на початковий цілком європейський генотип метрополії. Британська імперія досягла ще більших розмірів. За поетичним висловом сучасників сонце ніколи не заходило над цією імперією. Рабів до цієї імперії у значних кількостях ніхто і ніколи не завозив, але Британські острови завжди були привабливими для проживання вихідців з усіх її колоній. Це також суттєво змінило генетику населення метрополії. Ще у більшій мірі сказане стосується Московії. Там тепер взагалі не зрозуміло у якому сенсі слід застосовувати назву росіянин. Якщо подивитись на таблицю 3, то у населення Московії взагалі немає братніх народів на європейському континенті. Тобто населення Московії є унікальним на цьому континенті. У той же час для італійців і британців більшість народів Європи є або братніми, або спорідненими.

            Населення решти європейських країн є для українців або братніми, або спорідненими народами. На що тут слід звернути особливу увагу. Думаю на той факт, що для українців є братніми народами такі германські народи як австрійці, шведи, німці, населення Ліхтенштейну та Люксембургу. Австрійці для українців є навіть дещо ближчими за формулою крові, ніж поляки.

            Українські історики і етнографи традиційно відстоюють точку зору щодо московитів, що вони є переважно угрофінами. Як ми бачимо з таблиці 1, і угорці, і фіни є братніми нам народами, а не московитам. Єдиний прибалтійський народ, споріднений з московитами, - це естонці (споріднений, а не братній). Це означає, що і угорці, і фіни є типовими європейськими народами, спорідненими з німцями, і братніми українцям. Угорське плем`я, яке у давні часи прийшло з берегів Волги на береги Дунаю, і підкорило собі частину місцевого населення, накинувши йому свою мову, не вплинуло суттєво на його генетику, очевидно через свою малочисельність. Схоже, що щось подібне відбулось і на землях Фінляндії та Албанії.

            Братніми нам народами є і румуни з молдаванами. А це як? Думаю, що і тут пояснення просте. У свій час, просуваючись на Схід Європи, Римська імперія опанувала землі сучасних румунів і молдаван. Далі Дністра імперія на Схід не пішла. Згодом мова метрополії стала і мовою місцевого населення.

            Але як серед братніх українцям народів опинились турки, грузини, йорданці? Тут я пропоную таке пояснення. Зверніть увагу на те, що братніми нам народами є всі народи, території яких мають вихід на узбережжя Чорного моря: українці, болгари, румуни, молдавани, турки, грузини. Всі вони розмовляють різними, інколи дуже різними, мовами. Близькість їх формул крові означає спільність їх походження. Велика ж несхожість їх мов свідчить про те розійшлись у різні боки від Чорного моря вони дуже давно. Це швидше за все сталося ще у ті давні часи ( 6 тисяч років до Нової ери), коли Чорне море перестало було прісноводним озером із значно меншою площею водної поверхні, ніж тепер. Тоді вся мілководна нині частина Чорного моря, а це переважно його північна частина – територіальні води України і Румунії, була вкрита густою сіткою дельт таких великих європейських річок як Дунай, Дністер, Бог, Дніпро, Дон. Саме на цій благодатній території і виникли ідеальні умови для проживання первісних мисливців, рибалок і збирачів дарів природи. На цій землі з величезною, як на ті часи, густиною населення на невеликій території і сформувалась формула крові майбутніх європейців. Коли води Середземного моря прорвались у басейн Чорного моря-озера, ці народи змушені були розійтись у різні боки, спасаючись від потопу, і знайти собі інші засоби для існування на землях, з абсолютно іншими природними умовами. Цими засобами стали скотарство і землеробство.

            На мій погляд, сенсацією є той факт, що братнім нам народом виявились євреї. У них цілком європейська формула крові. Тут виникає два можливих пояснення. Перше: євреї тисячі років жили у розсіянні переважно серед різних європейських народів. Не зважаючи на свій ізоляціонізм – цього вимагає від них їх релігія, вони за цей час неминуче мали по крові розчинитись у навколишньому європейському оточенні. Друге:  євреї теж колись жили на берегах прісноводного Чорного моря-озера і не відрізнялись від інших аборигенів формулою крові. Після великого потопу вони опинились у степах північного Кавказу – майбутня Хазарія. Євреями їх зробив іудаїзм, занесений у Хазарію проповідниками, що прийшли невідомо звідки. До речі, не все населення Хазарії сповідувало іудаїзм.

            Цікавим фактом є і спорідненість українців з білим населенням Сполучених штатів Америки і Канади, та Південної Африки. Попри значну еміграцію українців до перших двох країн, основним фактором спорідненості, з нашої точки зору, є близькість українців за формулою крові до німців, а вже через них із населенням зазначених країн.

Таблиця 2

	Німці і братні народи
0.18 – 1	Denmark, Liechtenstein, Switzerland, United States, France, Sweden, Spain, Netherlands, Portugal, Belgium, Lithuania, Canada, Italy, Serbia, Brazil, Cyprus, Bosnia and Gerzegovina, Norway, Malta, Georgia, Greece, Austria, Lebanon, Australia, New Zealand, Slovenia,  Ukraine, South Africa (white), Luxemburg
	Німці і споріднені народи
1 – 1.46	Albania, United Kingdom, Turkey, Bulgaria, Croatia, North Macedonia, Romania, Poland, Jordan, Belarus, Israel, Morocco, Czech Republic, Finland, Slovakia, Latvia,

 

            Серед братніх народів для німців не лише близькі їм територіально народи Європи, але і населення далеких заморських країн в колонізації яких німці прийняли активну участь. Це такі країни: Сполучені штати Америки (біла частина населення), Канада, Бразилія, Австралія, Нова Зеландія, Південна Африка (біла частина населення).

            Німці виявились значно дальшими від населення Московії (відстань 1.76), ніж українців, але значно ближчими до Великої Британії та Італії.

Трипільська культура на території України

            Цікаво, що попри традиційну політичну близькість Сполучених штатів і Великої Британії, за формулою крові біле населення Сполучених штатів значно ближче до Німеччини, ніж до великої Британії. Це стосується і інших колишніх колоній Великої Британії. Надто пізно німці консолідувались з окремих німецьких князівств у централізовану потужну державу. Світ за межами Європи до цього моменту вже був поділеній між іншими європейськими країнами. І німцям, які масово заселяли колишні Британські колонії, довелось вивчати англійську мову. Їх доля тут схожа на долю українських емігрантів. Німці не створили в жодній країні поселення потужної і політично активної діаспори. Американці німецького походження слухняно воювали проти свої історичної батьківщини на полях Першої і Другої світових війн.

Таблиця 3

	Московити і братні народи
0.79 – 1	Ethiopia, Alheria, Tunisia
	Московити і споріднені народи
1 – 1.45	Albania, Jordan, Iran, South Africa (white), Belarus, Australia, Latvia, Estonia, Israel, Greece, Georgia, Poland, Mauritius, Lithuania, Fiji, Bhutan, North Macedonia, Azerbaijan, Libya, Moldova, Dominican Republic, Kazakhstan

 

            Щодо московитів можна додати наступне. Дивовижним, на перший погляд, є приналежність ефіопів, алжирців і тунісців до братніх московитам народів, адже важко собі уявити які-небуть контакти цих народів у давнину. Наше пояснення таке. Якби у нас була детальна інформація про формули крові окремих народів, що входять до складу Московії, то, швидше за все, жодний з них не є братнім щодо народів Північної Африки. Але використані нами дані щодо населення Московії є результатом усереднення формул крові сотень народів, що входять до складу Московії. Результат такого усереднення може бути далеким від формули крові будь-якого з цих народів і мати у значній мірі випадковий характер. Отже, випадковий збіг формули крові населення Московії і деяких народів Північної Африки свідчить, що населення Московії є вкрай етнічно неоднорідним і не має провідного етносу. Тому термін руський на сьогодні не має етнічного забарвлення, а свідчить лише про громадянство людини.  

            Ще одна цікава обставина. Відстань Московії від Китаю за формулою крові становить 1.81, у той час як для України - 2.73. Тобто населення Московії суттєво ближче за формулою крові до Китаю, ніж Україна.

Хазарія

            Всі народи, які щодо українців ми позначили як братні, відповідно до нашого означення одного народу, є одним народом. Чому ж ми вжили до них термін братні? Тому ще не дивлячись на кровну спорідненість, вони тисячі років рухались своїм окремими шляхами. Часто вони належать до різних релігійних конфесій, мають суттєво різні мови і, як наслідок, різну ментальність. То що, можна забути про термін один народ стосовно українців і якихось інших народів Європи? Думаю, що ні. Якщо серед братніх за формулою крові щодо українців народів виділити народи, що розмовляють близькими мовами і мають подібний менталітет, тобто взяти такі країни: Україна, Північна Македонія, Боснія і Герцеговина, Хорватія, Сербія, Словенія, Польща, Болгарія, Словаччина, Чехія, Білорусь, то народи цих країн цілком можна назвати одним народом. Чи вже існує у світі давня назва цього народу? Так, існує. І цією назвою є слов`яни. Московія, через її пістрявий етнічний склад , очевидно не належить до цього слов`янського народу, хоча її населення і розмовляє переважно слов`янською мовою.

            Чи в межах цього єдиного слов`янського народу є якійсь етнос, особливо близький українцям? Так, є - це поляки, з якими у нас спільна багатосотлітня історія приналежності до однієї держави – Речі Посполитої (Справа Загальна).

            А чи можна говорити про всіх європейців, як про один народ? Давайте українців і братні їм європейські народи вважати одним народом, так само як і німців і братні їм народи. Оскільки українці і німці за формулою крові є одним народом, то майже всіх європейців можна вважати одним народом. Приналежними до цього суперетносу є також турки і грузини. За межами цього супернароду залишаються лише ірландці і московити.

Перші київські князі

            Трагедія цього супернароду полягає в тому, що дві найкривавіші війни, які знало людство: Перша і Друга світові війни відбувались переважно на території Європи і нанесли колосальні людські і матеріальні втрати саме європейським народам.

            Третя світова війна також набирає оберти саме на території Європи. Поки що це переважно російсько-українська війна. Колосальна консолідація зусиль більшості європейських країн відбувається на користь України. України, що є частиною єдиного європейського суперетносу, проти Московії, яка не має прямого стосунку до Європи у генетичному сенсі. Перемога України у цій війні – це перемога об`єднаної Європи. Ця перемога має офіційно засвідчити приналежність українців до цього суперетносу і відкрити шляхи його подальшої консолідації з метою економічного, мілітарного і духовного зростання його могутності у світі вже за участі України, як його невід`ємної складової.

            Українцям слід ставитись до всіх європейських народів як до своїх братів, навіть якщо хтось з них тимчасово веде себе не по братські. Проте особливу увагу слід приділити нашим дружнім стосункам з двома європейськими народами – німцями і поляками. Ми повинні пам`ятати, що на світанку нашої державності у 1918 році Німеччина була єдиною країною в світі, що підтримала нашу незалежність. Ми повинні пам`ятати, що в тридцяті роки минулого сторіччя Німеччина виявилась єдиною країною у світі, що засудила геноцид українського народу у 1932-1933 роках. Ми також повинні пам`ятати, що  у 1920 поляки першими у світі збройно стали поруч з нами у боротьбі з більшовиками і наші об`єднані війська звільняли він більшовиків столицю України Київ, а пізніше, коли більшовики перейшли у контрнаступ, українці поруч з поляками спільно боронили Варшаву і вщент розбили червону армію. На поляків взагалі слід дивитись як на ту частину українців, що своїм успішним прикладом показує іншим українцям правильний шлях у майбутнє.

            А як дивитись на московитів? Може це не вони тричі влаштовували нам геноцид, що забрав життя 15.5 млн українців. Можливо це не вони фізично нищили нашу інтелігенцію, виселяли до Сибіру наших селян, забирали у них землю, наповнювали концтабори мільйонами українців? Може це банда мерзотників типу Леніна, Сталіна, Троцького і іже з ними все це робила? Події останньої російсько-української війни слід розглядати як акт чергового геноциду українського народу, що користується масовою підтримкою населення Московії. Це і є відповідь на запитання про першопричину нашої національної трагедії, що триває вже понад сто років. Раз і назавжди ми повинні вирішити для себе доленосне питання: цивілізаційні шляхи України і Московії кардинально різні. Ми не є братами по крові і у нас різні уявлення про моральні цінності. Наш шлях у Європу і назавжди геть від Москви.

Припис:

               Вихідні дані для розрахунків взяті з: https://en.wikipedia.org/wiki/Blood_type_distribution_by_country

Для України і Московії ці дані були уточнені. З довоєнного населення України ми відкинули 20% московитів, що за статистикою проживали в Україні до початку війни, а з населення Московії відповідну кількість у 20% українців. Для розрахунків використовувалась комп`ютерна програма Scilab.

В тему: 

Формула крові і спорідненість народів – дослідженняЧисловий вимір геноциду українців з погляду математика: скільки було знищено українців у 20 століттіІнформаційна ємність мов народів світу з погляду математикиЄвропейці і формула крові (дослідження)Українці. Формула крові. Повне дослідженняНаціональна асоціація дослідників Голодомору - геноциду українців | Публікація 26Національна асоціація дослідників Голодомору - геноциду українців | Публікація 15

Валерій Швець