Релятивістська квантова механіка. Рівняння Дірака. Структура вакууму

Релятивістська квантова механіка. Рівняння Дірака. Структура вакуума

Зміст:

1.Вступ

2.Рівняння Дірака

3.Спін мікрочастинки

4.Рівняння Дірака для вільного електрона

Пол Дірак (1902 - 1984) - геніальний британський фізик-теоретик

1.Вступ

         Релятивістська квантова механіка, побудована Діраком, має воістину революційне значення для нашого сприйняття світу. Простір порожній – такою була філософська концепція Айнштайна. Немає жодного ефіру, чи як би ми не називали субстанцію, між частинками видимої матерії. Вакуум – це щось таке, де немає нічого. Для такого твердження на початку двадцятого сторіччя були всі підстави. Численні досліди не виявляли присутність якоїсь субстанції, що наповнювала б космічний простір. Не існує те, чого не можна спостерегти. Це абсолютна істина сучасної науки. Але після 1927 року все змінилось.

         Простір вщент наповнений речовиною. Основним станом матерії у всесвіті є якраз порожній простір. Видима матерія – це бризки, якими обдає нас морська хвиля, що розбивається о скелю, на якій ми стоїмо. А як же експериментальне підтвердження такого революційного бачення світу? Воно є і піддається вимірюванню з наперед заданою точністю. Це море невидимої матерії під назвою вакуум впливає на поведінку видимої матерії. Якщо енергетичний спектр атома водню розрахувати в межах нерелятивістської і релятивістської квантових механік, то ці спектри помітно відрізнятимуться. Причому спектр, розрахований в межах релятивістської квантової механіки, буде ближчим до експериментальних спектроскопічних даних.

Тепер про так званий вакуум у світлі відкриттів останніх десятиліть. На початку двадцятого сторіччя люди і гадки не мали, що таке темна матерія і темна енергія. Слідом за Айнштайном всі вважали простір порожнім. Як можна говорити про якусь субстанцію типу ефіру у порожньому просторі?  Астрономічні відкриття останніх десятиліть все змінили. У сучасній космології Всесвіт складається з:

• Темної енергії — приблизно 68–70%
• Темної матерії — приблизно 25–27%
• Звичайної (баріонної) матерії — лише близько 5%

Ці цифри базуються на найновіших даних, зокрема з космічного мікрохвильового фону (CMB), які отримав супутник Planck. Коротко їх властивості:

• Темна енергія (~70%) — прискорює розширення Всесвіту.
• Темна матерія (~25%) — не випромінює світло, але має гравітаційний вплив (наприклад, утримує галактики разом).
• Звичайна матерія (~5%) — усе, що ми можемо побачити (зірки, планети, люди тощо).

          Отже, з сучасної точки зору видима матерія становить лише 5% маси Всесвіту. Ні темна матерія, ні темна енергія не фіксуються безпосередньо вимірювальними приладами. А може темна матерія, або темна енергія і є тою субстанцією, яку класики сучасної фізики називали єфіром, тобто тим середовищем, у якому і розповсюджуються електромагнітні хвилі?

         Отже і астрофізичні дослідження виявили складну структуру невидмої матерії, яку ми звикли називати вакуумом. Але починалось все з релятивітської квантової механіки, про яку йтитиме мова у даній статті. Основні ідеї цієї теорії доволі наочні і доступні для сприйняття широкою аудиторією при умові володіння вищою математикою хоча б у межах програми технічного вузу.

Детальніше про заторкнуті проблеми можна прочитати у найкращому підручнику з квантової механіки всіх часів і народів (це без перебільшення) І. О. Вакарчук. Квантова механіка. – Львів. ЛНУ імені Івана Франка. – 2007. – С. 848.

Іван Олександрович Вакарчук 

(6 березня 1947 р. - 4 квітня 1920 р.)

Видатний український фізик-теоретик.

2.Рівняння Дірака

         Принцип побудови рівнянь квантової механіки такий. Ми записуємо фундаментальне співвідношення класичної механіки, наприклад закон збереження енергії, і в ньому механічні величини замінюємо відповідними операторами. Розглянемо, наприклад, закон збереження енергії матеріальної точки з масою m і зарядом q у зовнішньому електричному полі з потенціалом U(r, t). Її повна енергія E дорівнює сумі кінетичної енергії T = p²/(2 m), де p – імпульс матеріальної точки, і енергії її взаємодії із зовнішнім полем q U(r, t)

E = p²/(2 m) + q U(r, t) = (p_x² + p_y² + p_z²)/(2 m) + q U(r, t).

При переході до квантової механіки класичному імпульсу ставляться у відповідність диференційні оператори

p_x = - i ℏ ꝺ/ꝺx,     p_y = - i ℏ ꝺ/ꝺy,     p_z = - i ℏ ꝺ/ꝺz.

Відповідно, для кінетичної енергії матимемо

T = - ℏ²/(2 m) (ꝺ²/ꝺx² + ꝺ²/ꝺy² + ꝺ²/ꝺz².

Енергії ставиться у відповідність диференційний оператор

E = i ℏ ꝺ/ꝺt.

Потенціалу зовнішнього поля, що залежить лише від координат і часу, ставиться у відповідність сам цей потенціал. Основне рівняння квантової механіки – рівняння Шредінгера, назване на честь видатного австрійського фізика, матиме вигляд

i ℏ ꝺψ/ꝺt = H ψ = - ℏ²/(2 m) (ꝺ²ψ/ꝺx² + ꝺ²ψ/ꝺy² + ꝺ²ψ/ꝺz²) + q U(r, t) ψ.

Функція ψ(x, y, z, t)  називається хвильовою функцією. Квадрат її модуля є густиною ймовірності знаходження матеріальної точки в точці простору з координатами x, y, z в момент часу t. Відповідно

dP = │ ψ(x, y, z, t) │² dx dy dz

є ймовірністю того, що матеріальна точка знаходиться у паралелепіпеді обсягом dx dy dz, одна з вершин якого має координати (x, y, z).

Рівняння Шредінгера для квантової частинки є аналогом Другого закону Ньютона для класичної частинки. Так само як і рівняння Ньютона, рівняння Шредінгера інваріантне щодо перетворень Галілея при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої. Дійсно, якщо координати і час матеріальної точки у рухомій системі координат x`, y`, z`, t` пов`язані з її координатами і часом у нерухомій системі координат x, y, z, t співвідношеннями

x` = x – V t,     y` = y,     z` = z,     t` = t,

де V – швидкість руху рухомої інерційної системи координат щодо нерухомої, то імпульс матеріальної точки зміниться

p_x` = - i ℏ ꝺ/ꝺx` = - i ℏ ꝺ/ꝺx - V,     p_y = - i ℏ ꝺ/ꝺy,     p_z = - i ℏ ꝺ/ꝺz,

а кінетична енергія залишиться незмінною

T` = - ℏ<sup>2</sup>/(2 m) (ꝺ<sup>2</sup>/ꝺx`² + ꝺ²/ꝺy`<sup>2</sup> + ꝺ<sup>2</sup>/ꝺz`² =

= - ℏ²/(2 m) (ꝺ²/ꝺx² + ꝺ²/ꝺy² + ꝺ²/ꝺz² = T.

Для простоти ми розглянули випадок, коли вісі координат обох систем спрямовані однаково і одна інерційна система координат рухається щодо іншої інерційної системи координат з швидкістю V паралельно осі x.

         Легко переконатись, що рівняння Шредінгера не інваріантне щодо перетворень Лоренца

x` = (x – V t) / (1 – V²/c²)^1/2,

y` = y,     z` = z,

t` = [t – (V/c) (x/c)] / (1 – V²/c²)^1/2.

Останній факт означає, що рівняння Шредінгера не застосовне тоді, коли швидкість матеріальної точки сумірна з швидкістю світла. Зауважимо, що у рівняння Шредінгера швидкість світла c навіть не входить.

         Основний закон фізики великих швидкостей або релятивістської фізики формулюється так: всі основні рівняння фізики, куди входять координати і час, мають бути інваріантними щодо перетворень Лоренца.

Згідно з основним принципом квантової механіки, для отримання квантовомеханічного рівняння, інваріантного щодо перетворення Лоренца, необхідного виходити з закону збереження енергії класичної матеріальної точки, дійсного при її високих швидкостях. Такий закон має вигляд

E² = p² c² + m² c⁴.

Далі перехід від класичного виразу до квантовомеханічного рівняння здійснюється за вище наведеним правилом через співставлення енергії і імпульсу відповідних диференційних операторів і оператор Гамільтона матиме вигляд

H = E = (p² c² + m² c⁴)^1/2.

Проблемою тут є наявність кореня квадратного з суми квадратів диференційних операторів, що відповідають диференціюванню за просторовими координатами. У 1928 році видатний англійський вчений П. А. М. Дірак запропонував зробити це так, записавши гамільтоніан у вигляді

H = (a p) c + m c² b.

Оскільки оператор Гамільтона і оператор імпульсу є ермітовими

H⁺ = H,     p⁺ = p,

то ермітовими мають бути і величини a, b

a⁺ = a,     b⁺ = b.

Невідомий скаляр b і вектор a мають знаходитись з умови рівності

p² c² + m² c⁴ = [(a p) c + m c² b]² = (a p)² c² + m² c⁴ b² + (a b + b a) p m c².

Для тотожності лівої і правої частин рівняння мають виконуватись рівності

a b + b a = 0,

b² = 1,

(a p)² = p².

Останню рівність можна записати так

p_x² + p_y² + p_z² = (a_x p_x + a_y p_y + a_z p_z)² =

= a_x² p_x² + a_y² p_y² + a_z² p_z² + p_x p_y (a_x a_y + a_y a_x) +

+ p_x p_z (a_x a_z + a_z a_x) + p_y p_z (a_y a_z + a_z a_y).

У висліді маємо 10 співвідношень, яким мають задовольняти чотири невідомі величини b, a_x, a_y, a_z

b² = 1,

a_x² = 1,

a_y² = 1,

a_z² = 1,

a_x a_y + a_y a_x = 0,

a_x a_z + a_z a_x = 0,

a_y a_z + a_z a_y = 0,

a_x b + b a_x = 0,

a_y b + b a_y = 0,

a_z b + b a_z = 0.

Додаючи до цих умов умови ермітовості, отримаємо наступні вирази для величин b, a_x, a_y, a_z

b = (1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1),

a_x = (0, 0, 0, 1; 0, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 0; 1, 0, 0, 0),

a_y = (0, 0, 0, - i; 0, 0, i, 0; 0, - i, 0, 0; i, 0, 0, 0),

a_z = (0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, - 1; 1, 0, 0, 0; 0, - 1, 0, 0).

Тут ми використали запис матриць у рядок. Матричні елементи у рядку відділяються комами, а рядки комами з точками. Ці матриці називаються матрицями Дірака. У висліді однорідності простору і часу, матричні елементи є дійсними або комплексними числами. Оскільки матриці Дірака є квадратними матрицями четвертого порядку, то хвильова функція у рівнянні Дірака має бути чотириелементною матрицею стовпцем, яка називається спінором,

ψ = (ψ₁, ψ₂, ψ₃, ψ₄).

Рівняння Дірака тепер можна записати так

i ℏ І ꝺψ/ꝺt = - (a p) c ψ + m c² b ψ.

Тут І – одинична матриця четвертого порядку. У це рівняння похідні за часом і координатами входять симетричним чином і  мають перший порядок. Можна показати, що це рівняння інваріантне щодо перетворень Лоренца.

         Ми отримали цікавий результат. Замість однієї хвильової функції, що входить у рівняння Шредінгера, у нас є чотири хвильові функції ψ₁, ψ₂, ψ₃, ψ₄. Одна матеріальна точка з певною масою і зарядом і чотири хвильові функції, що описують її поведінку. Як з`ясується далі, хвильові функції ψ<sub>1</sub>, ψ<sub>2</sub> описують стан матеріальної точки з додатними енергіями, а хвильові функції ψ<sub>3</sub>, ψ<sub>4</sub> описують стан матеріальної точки з від`ємними енергіями. Стани з додатними і від`ємними значеннями енергії розділені забороненою зоною шириною 2mc². Кожна з зазначених пар хвильових функцій, у свою чергу, описує певну внутрішню ступінь свободи. Ця внутрішня ступінь свободи реалізується двома станами – станом, що описується хвильовими функціями ψ₁, ψ₃, і станом, що описується хвильовими функціями ψ₂, ψ₄. Про фізичне наповнення зазначених властивостей функцій ψ₁, ψ₂, ψ₃, ψ₄ мова йтитиме нижче.

3.Спін мікрочастинки

         Класичний момент кількості руху мікрочастинки, не пов`язаний з її внутрішніми ступенями вільності, має вигляд

L = [r p] = i (y p_z – z p_y) – j (x p_z – z p_x) + k (x p_y – y p_z).

Квантовомеханічний оператор моменту кількості руху ми отримаємо, якщо замість класичних компонент імпульсу запишемо відповідні диференційні оператори. Легко переконатись, що якщо поведінку мікрочастинки описувати  гамільтоніаном Шредінгера

H = - ℏ²/(2 m) (ꝺ²/ꝺx² + ꝺ²/ꝺy² + ꝺ²/ꝺz²) + q U(r, t),

то оператор момента кількості руху комутує з таким гамільтоніаном

[L, H] = 0.

Останнє означає, що момент кількості руху є інтегралом руху, тобто в процесі руху мікрочастинки зберігається. Якщо ж в якості гамільтоніана взяти гамільтоніан Дірака

H = (a p) c + m c² b,

 то відповідний комутатор вже не дорівнює нулю

[L, H] = i ℏ c [a p].

Це означає, що момент кількості руху мікрочастинки вже не є інтегралом руху. Ситуацію можна виправити, якщо до оператора L додати такий оператор, що разом вони вже комутуватимуть з гамільтоніаном Дірака. В просторі квадратних матриць другого порядку для початку візьмемо найпопулярніший повний ортонормований базис, що складається з одиничної матриці I і матриць

σ = i σ_x + j σ_y + k σ_z,

σ_x = (0, 1; 1, 0),     σ_y = (0, - i; i, 0),     σ_z = (1, 0; 0, - 1).

Ці матриці називаються матрицями Паулі. Довільну квадратну матрицю другого порядку можна єдино можливим способом представити лінійною комбінацією таких базисних матриць. Легко перевірити, що

[σ, H] = - 2 I c [a p].

Тоді інтегралом руху буде оператор

J = L + ℏ σ / 2.

Якщо розглянути мікрочастинку в системі координат, щодо якої вона не рухається, тобто L = 0, то оператор повного момента J все одно  відмінний від нуля. Тобто мікрочастинка знаходиться у спокої, а її момент кількості руху відмінний від нуля. З цієї причини момент кількості руху мікрочастинки ℏσ/2 називають власним моментом кількості руху або спіном. Цей оператор має для електрона і протона два власних значення + ½ та – ½. Повертаючись до хвильових функцій можна сказати, що ψ₁, ψ₃ відповідають стану мікрочастинки, проекція спіна якої на виділений напрямок дорівнює ℏ / 2, а ψ₂, ψ₄ - - ℏ / 2.

4.Рівняння Дірака для вільного електрона

         Надалі, для конкретності ми застосовуватимемо рівняння Дірака до електрона. Почнемо з рівняння Шредінгера для вільного електрона

i ℏ ꝺψ/ꝺt = - ℏ²/(2 m) [ꝺ²ψ/ꝺx² + ꝺ²ψ/ꝺy² + ꝺ²ψ/ꝺz²].

Простий вигляд цього рівняння дозволяє застосувати для його розв`язку методу поділу змінних Представимо хвильову функцію у вигляді наступного добутку

ψ(r, t) = ψ(r) θ(t).

У висліді рівняння Шредінгера можна записати так

i ℏ [ꝺθ(t)/ꝺt] / θ(t) = - ℏ²/(2 m) [ꝺ² ψ(r)/ꝺx² + ꝺ² ψ(r)/ꝺy² + ꝺ² ψ(r)/ꝺz²] / ψ(r).

Оскільки обидві частини рівняння залежать від різних змінних, то кожна з них є сталою величиною

i ℏ [ꝺθ(t)/ꝺt] / θ(t) = - ℏ²/(2 m) [ꝺ²ψ(r)/ꝺx² + ꝺ²ψ(r)/ꝺy² + ꝺ²ψ(r)/ꝺz²] / ψ(r) = E.

Тепер маємо систему двох рівнянь

i ℏ [ꝺθ(t)/ꝺt] / θ(t) = E,

- ℏ²/(2 m) [ꝺ²ψ(r)/ꝺx² + ꝺ²ψ(r)/ꝺy² + ꝺ²ψ(r)/ꝺz²] / ψ(r) = E.

Частинний розв`язок першого рівняння є

θ(t) = exp[- (i / ℏ) E t].

Його загальний розв`язок можна отримати домноживши цей частинний розв`язок на довільну сталу. Друге рівняння у векторній формі можна записати так

ℏ²/(2 m) [ꝺ²ψ(r)/ꝺr²] / ψ(r) = - E

або

ℏ²/(2 m) [ꝺ² ψ(r)/ꝺr²] + E ψ(r) = 0.

Характеристичне рівняння останнього диференційного рівняння має вигляд

ℏ² k² / (2 m) + E = 0.

Звідки

k = + - i [(2 m E) / ℏ²]^1/2.

Його частинний розв`язок має вигляд

ψ(r) = exp(i k r).

Його загальний розв`язок можна отримати домноживши цей частинний розв`язок на довільну комплексну сталу.

         Шукану хвильову функцію тепер можна записати так

ψ(r, t) = А exp[- (i / ℏ) E t] exp(i k r).

Тут E відіграє роль енергії мікрочастинки, а k відіграє роль її хвильового вектора. З характеристичного рівняння ми знаходимо закон дисперсії для мікрочастинки, тобто зв`язок між енергією і хвильовим вектором або її енергетичний спектр

E = ℏ² k² / (2 m).

Довільна стала знаходиться з умови нормування

∫_V ψ*(r, t) ψ(r, t) dr = 1.

і дорівнює 1/V^1/2, де V – об`єм простору, де знаходиться мікрочастинка.

         Очевидним результатом цієї задачі є той факт, що енергія мікрочастинки завжди додатна і може набувати будь-яких значень в інтервалі (0, ∞).

         Розглянемо тепер рівняння Дірака

i ℏ І ꝺψ/ꝺt = - (a p) c ψ + m c² b ψ.

Для його розв`язання також можна застосувати метод поділу змінних. Хвильову функцію знову можна представити у вигляді добутку

ψ(r, t) = ψ(r) θ(t),

оскільки оператори у лівій і правій частинах рівняння залежать від різних змінних. Рівняння матиме вигляд

i ℏ І [ꝺθ(t)/ꝺt] / θ(t) = – [(a p) c ψ(r)  + m c² b ψ(r)] / ψ(r) = І E.

         Це рівняння розпадається на систему двох рівнянь 

i ℏ [ꝺθ(t)/ꝺt] / θ(t) = І E,

[- (a p) c ψ(r) + m c² b ψ(r)] / ψ(r) = І E.

Розв`язок першого рівняння, як і раніше,

θ(t) = exp[- (i / ℏ) E t].

Друге рівняння зручно записати у вигляді

- (a p) c ψ(r) + m c² b ψ(r) = E І ψ(r).

Спінор ψ(r) очевидно є нормованим

∫_V ψ+(r) ψ(r) dr = 1,

де

ψ+(r) ψ(r) = (ψ₁+(r), ψ₂+(r), ψ₃+(r), ψ₄+(r)) (ψ₁(r); ψ₂(r); ψ₃(r); ψ₄(r)) =

= ψ₁+(r) ψ₁(r) + ψ₂+(r) ψ₂(r) + ψ₃+(r) ψ₃(r) + ψ₄+(r) ψ₄(r).

Оскільки матриці Дірака можна записати через матриці Паулі

α = (0, σ; σ, 0),

то рівняння щодо спінора можна записати у матричному вигляді так

[(0, (σ p) c; (σ p) c, 0) + m c² І] ψ(r) = E І ψ(r).

Тут І – одинична матриця другого порядку. Це одне рівняння, структура якого збігається із структурою квадратних матриць четвертого порядку, можна представити системою двох рівнянь, кожне з яких матиме структуру вже квадратних матриць другого порядку

(σ p) c χ(r) + m c² І φ(r) = E І φ(r),

(σ p) c φ(r) – m c² І χ(r) = E І χ(r).

Тут матриці стопці з двох елементів φ(r) = (ψ₁(r); ψ₂(r)), χ(r) = (ψ₃(r); ψ₃(r)).

         Умовою наявності у цієї однорідної системи рівнянь ненульового розв`язку є рівність нулю її визначника

│(m c² – E), (σ p) c ; (σ p) c , - (m c² + E)│= 0.

Розкриваючи його, маємо

(m c² – E) (m c² + E) + (σ p)² c² = 0.

Оскільки

(σ p)² = (σ_x p_x + σ_y p_y + σ_z p_z )²=

= [(0, p_x; p_x, 0) + (0, - i p_y; i p_y, 0) + (p_z, 0; 0, - p_z)]² =

= (p_z, p_x - i p_y; p_x + i p_y, - p_z)² = p²,

то умова ненульового розв`язку матиме вигляд

E² – m² c⁴ - p² c² = 0.

У висліді для енергетичного спектра вільної мікрочастинки маємо два вирази

E₊ = (p² c² + m² c⁴)^1/2,

E_- = - (p² c² + m² c⁴)^1/2.

Тобто енергія мікрочастинки може бути і додатною, і від`ємною. Якщо покласти імпульс мікрочастинки рівним нулю, то ми побачимо, що додатні і від`ємні значення енергії розділені щілиною 2mc². Ці ж значення енергії випливають і релятивістського виразу для енергії мікрочастинки

E² = p² c² + m² c⁴,

якби у нас вистачило сміливості не відкинути від`ємне значення кореня.

         Отриманий результат містить одне слабке місце. Мікрочастинка у стані з від`ємною енергією має прямувати до її мінімального значення, тобто у мінус нескінченність, виділяючи надлишок енергії у зовнішній простір. Зняти цей недолік можна у різний спосіб. Один з них – це припустити, що всі стани з від`ємною енергією зайняті. Я ж від себе зауважу, що надто просту модель мікрочастинки ми розглянули. Можна розглянути безліч інших моделей, де мікрочастинка взаємодіє з іншими мікрочастинками або матерією в основному стані. Дірак зробив лише перший крок. Він довів, що вакуум наповнений невидимою матерією, яка впливає на поведінку видимої матерії. Попереду захоплюючий шлях фізики у дослідженні детальної структури і властивостей основного стану матерії у Всесвіті – вакууму.

Знайдемо тепер хвильову функцію мікрочастинки для додатних і від`ємних значень енергії. Почнемо з додатних енергій. З другого рівняння системи

χ(r) = (σ p) c φ(r) / ([E₊ + m c²] І).

Оскільки ділення на квадратну матрицю еквівалентне множенню чисельника на обернену матрицю, а для одиничної матриці пряма і обернена матриці збігаються, то одиничну матрицю у знаменнику можна опустити

χ(r) = (σ p) c φ(r) / [E₊ + m c²].

Тепер хвильову функцію мікрочастинки можна записати так

ψ(r) = (φ(r); (σ p) c φ(r) / [E₊ + m c²]).

Матрична функція φ(r) залежить як від координат, так і від спіну мікрочастинки. Оскільки Оператори спіну і імпульсу мікрочастинки є незалежними, а на функцію φ(r) діє їх добуток, то цю функцію можна представити добутком двох функцій, що окремо залежить від координат і від спіну

φ(r) = А R(r) S.

Тут А є довільною сталою, що знаходиться з умови нормування, а R(r)  зручно взяти нормованою на одиницю. Оскільки матричну структуру має лише оператор спіну, то координатна частина є звичайною функцією, спінова частина є вектором стовпцем з двох елементів. Оскільки спін мікрочастинки є інтегралом руху, то матриця S має бути власною функцією оператора квадрата спіну, а отже і оператора проекції спіну ℏσ_z/2 на напрямок осі z, тобто має виконуватись рівність

ℏ σ_z / 2 S = ℏ m І S.

Звідси отримуємо, що m = + - ½, а матриця-стовпець S може мати або структуру S₊ = (1; 0) для m = ½, або структуру S_- = (0; 1) для m = - ½.

         Розглянемо, який вигляд матиме спінор для спіна S₊. Для цього обчислимо наступний добуток операторів

σ p S₊ = (p_z; p_x + i p_y).

У разі спіну S_- вище наведений добуток буде таким

σ p S_- = (p_x - i p_y; - p_z).

Тепер спінори для цих двох випадків будуть такими

ψ₊(r) = А (1; 0; c p_z / [E₊ + m c²]; c (p_x + i p_y) / [E₊ + m c²]) R(r),

ψ_-(r) = А (0; 1; c (p_x - i p_y) / [E₊ + m c²]; - c p_z / [E₊ + m c²]) R(r).

Спряжені спінори матимуть отримуються заміною стовпців на рядки і комплексним спряженням всіх величин, що входять у них.

ψ₊⁺(r) = А (1; 0; c p_z / [E₊ + m c²]; c (p_x - i p_y) / [E₊ + m c²]) R*(r),

ψ_-⁺(r) = А (0; 1; c (p_x + i p_y) / [E₊ + m c²]; - c p_z / [E₊ + m c²]) R*(r),

Оскільки для вільної частинки координатна частина її хвильової функції має бути власною функцією оператора імпульса, оскільки імпульс зберігається, то дія оператора імпульса на таку хвильову функцію зводиться  до множення на сам імпульс. Легко переконатись, що за цих умов

∫_V ψ₊⁺(r) ψ₊(r) dr = A² ∫_V R* (r) R(r) dr (1 + p² c² / [E₊ + m c²]²) = 1.

Остаточно,

ψ₊(r) = 1 / (1 + p² c² / [E₊ + m c²]²)

(1; 0; c p_z / [E₊ + m c²]; c (p_x + i p_y) / [E₊ + m c²]) R(r),

ψ_-(r) = 1 / (1 + p² c² / [E₊ + m c²]²)

(0; 1; c (p_x - i p_y) / [E₊ + m c²]; - c p_z / [E₊ + m c²]) R(r).

Аналогічно для енергії E_-

ψ₊(r) = 1 / (1 - p² c² / [E_- - m c²]²)

(c p_z / [E_- - m c²]; c (p_x + i p_y) / [E_- - m c²]; 1, 0) R(r),

ψ_-(r) = 1 / (1 - p² c² / [E_- - m c²]²)

(c (p_x - i p_y) / [E_- - m c²]; - c p_z / [E_- - m c²]; 0, 1) R®.

Очевидно, що E₊ = - E_-.

         Якщо швидкість мікрочастинки прямує до нуля, то з точністю до членів другого порядку за часткою швидкості мікрочастинки до швидкості світла

ψ₊(r) = (1; 0; v_z / (2 c); (v_x + i v_y) / (2 c)) R(r),

ψ_-(r) = (0; 1; (v_x - i v_y) / (2 c); - c v_z / (2 c)) R(r).

Тут перші дві компоненти спінора, якщо рахувати зверху, відповідають додатним значенням енергії і вони не залежать від швидкості світла. Третя і четверта компоненти відповідають станам з від`ємними енергіями і мають порядок величини частки швидкості мікрочастинки до швидкості світла.  У межі малих швидкостей ними можна знехтувати і наявність вакууму ніяк не впливає на поведінку мікрочастинки.

ψ₊(r)  = (- v_z / ( 2 c); - (v_x + i v_y) / (2 c); 1, 0) R(r),

ψ_-(r)  = (- (v_x – i v_y) / (2 c); v_z / (2 c); 0, 1) R(r).

Тут перші дві компоненти також відповідають станам з додатними енергіями мають порядок величини частки швидкості мікрочастинки до швидкості світла. При малих швидкостях ними можна знехтувати і стани з додатними значеннями енергії ніяк не впливають на поведінку мікрочастинки при від`ємних значеннях енергії. Третя і четверта компоненти спінора від швидкості світла не залежать і є основними.

         Стани з негативними енергіями можна розглядати як стани з позитивними енергіями, але для мікрочастинок, що мають заряд, протилежний заряду частинок у станах з позитивними енергіями. Для електронів, які несуть негативний заряд, такими частинками є позитивно заряджені позитрони, які були невдовзі відкриті. Для протонів, які мають позитивний заряд, такими частинками виявились негативно заряджені антипротони, які також були невдовзі відкриті.

         Якщо виходити з того, що всі стани з негативними енергіями зайняті, то античастинкам – позитрону і антипротону з сучасної точки зору відповідають дірки, тобто незайняті стани, у морі мікрочастинок, що займають решту станів.

         Оскільки кожна частинка має свою античастинку, то на фоні видимої матерії, що складається з різноманітних частинок, існує море невидимих різноманітних мікрочастинок, що займають стани з від`ємними енергіями.

           Як ми бачили вище, стани з додатними і від`ємними значеннями енергії для мікрочастинки розділені щілиною у 2mc². Якщо енергія фотона перевищує цю енергію, то при взаємодії фотона з ядром будь-якого атома фотон може зникати, а замість нього виникає електрон-позитронна пара. В земних умовах процеси утворення електрон-позитронних пар спостерігаються на прискорювачах елементарних частинок при їх зіткненнях, якщо їх енергії достатньо великі. І цей процес вже знайшов практичне застосування у медичній томографії. В космічних умовах народження електрон-позитронних пар спостерігається поблизу чорних дірок і пульсарів.

         Отака складна матерія наповнює те, що тисячі років вважалось порожнечею. Ось такий він сучасний світ, до вивчення якого ми лише приступили.

Валерій Швець