Звідки взялася формула E=mc2?

 

            Розглянемо рух математичної точки масою m. Якщо її швидкість порівняльна з швидкістю світла, то її механічний рух зручно розглядати у чотиривимірному просторі, де до трьох просторових координат x, y, z дається ще час t. Тут ми використовуємо математичний аппарат, створений Анрі Пуанкаре*. Для аналізу руху точки оберемо інерційну систему координат K. Нехай у момент часу t матеріальна точка знаходиться у точці тривимірного простору з координатами x, y, z. Її тривимірний чисто просторовий радіус-вектор r=(x, y, z), а чотиривимірний радіус-вектор

                                                                       

r=(r, ict) =(x, y, z, ict).

Тут стала c має розмірність швидкості. Це для того, щоб розмірність четвертої координати була такою ж як і перших трьох. Числово ця стала дорівнює швидкості світла у вакуумі. Така вимога випливає з відповідності релятивістських формул релятивістським експериментам. i – це уявна одиниця. Вона необхідна для того, щоб чотири координати були координатами вектора (означення вектора дамо нижче), а не просто сукупністю чотирьох скалярів.

Розглянемо тепер інерційну систему координат K’, що рухається зі швидкістю V відносно системи відліку K’ вздовж додатного напряму осі x. У ній чотиривимірний радіус-вектор матеріальної точки буде

r’=(r’, ict’) =(x’, y’, z’, ict’).

Вектори у запропонованій Пуанкаре геометрії визначаються так, щоб при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої квадрат довжини векторів залишалися незмінними (інваріантними), а змінювався лише їх напрям. Це означає, що

r²= r’²

або

с²t’²-x’²-y’²-z’²= с²t²-x²-y²-z².

Порядок доданків обрано за домовленістю. Зручність такого вибору знаків доданків зумовлена тим, що для реального руху матеріальної точки зазначений квадрат радіус-вектора буде додатним. Дійсно, нехай матеріальна точка рухається з швидкістю v вздовж осі x починаючи рух у момент часу t=0 в точці з координатами x=y=z=0. Тоді її x-координата змінюється за законом x=vt. Очевидно, квадрат чотиривимірного радіус вектора у довільний момент часу буде завжди додатним

r²= с²t²-x²= (с²-v²) t²>0,

оскільки, як вважається на сьогодні, швидкість реальної частинки не може перевищувати швидкості світла. Якщо замість матеріальної точки ми розглянемо промінь світла, випущений в нульовий момент часу з початку координат у напрямку осі x, то для нього квадрат чотиривимірного радіус-вектора у довільний момент часу завжди буде нульовою

r²= с²t²-x²= (с²-с²) t²=0.

Легко перевірити, що зазначеному вище випадку взаємного руху двох інерційних систем відліку просторові координати і час мають перетворюватись за законом

                                                                        

x’=(x-Vt)/(1-V²/c²)^(1/2), y’=y, z’=z,

t’=(t-xV/c²)/(1-V²/c²)^(1/2).

Такі перетворення називаються перетвореннями Лоренца** Так назвав ці перетворення сам Пуанкаре, який надав їм сучасного вигляду (Лоренц запропонував їх лише у першому наближенні за часткою швидкості матеріальної точки і швидкості світла. Якщо система відліку K’ рухається у довільному напряму щодо осей координат системи відліку K, то кожна з координат чотиривимірного вектора в одній системі відліку буде визначатись через всі координати в іншій системі відліку. Насправді об’єкт, який ми називаємо радіус-вектором, з сучасної точки зору є бікватерніоном (аналог комплексного числа, але з трьома уявними одиницями) з відповідними законами перетворення компонент при його обертанні у чотиривимірному просторі щодо початку координат. Спеціальний вибір напрямку осей системи K’ і напрямку швидкості V дозволяє обмежитись законом перетворення двовимірного вектора з однією уявною компонентою при його повороті в площині відносно початку координат.

            Будь-який інший вектор чотиривимірного простору з початком у довільній точці

r₁=(r₁, ict₁) =(x₁, y₁, z₁, ict₁)

і кінцем у довільній точці

r₂=(r₂, ict₂) =(x₂, y₂, z₂, ict₂),

тобто вектор з координатами

r= r₂-r₁=(r₂-r₁, ic(t₂-t₁)) =( x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁, ic(t₂-t₁))

буде перетворюватись за тим же законом. У разі обраного вище напрямку швидкості і осей рухомої системи координат

x₂’-x₁’=[x₂-x₁-V(t₂-t₁)]/(1-V²/c²)^(1/2), y₂’- y₁’=y₂-y₁, z₂’-z₁’=z₂-z₁,

t₂’-t₁’=[t₂-t₁-(x₂-x₁)V/c²]/(1-V²/c²)^(1/2).

Довжина такого вектора називається інтервалом.

Розглянемо дві матеріальні точки, що знаходяться у системі відліку K в один і той же момент часу t у різних просторових точках r₁=(x₁, y, z) і r₂=(x₂, y, z). Відстань між ними буде │r₂-r₁│=│x₂-x₁│. У системі відліку K’ ця відстань буде │r₂’-r₁’│=│x₂’-x₁’│. Відповідно до перетворень Лоренца ці відстані будуть пов’язані між собою співвідношенням

                                          │x₂’-x₁’│=│x₂-x₁│/(1-V²/c²)^(1/2).

Останнє означає, що відстань у рухомій системі відліку між двома просторовими точками буде більшою, ніж відстань між ними у нерухомій системі відліку. Якщо ж розмістити дві матеріальні точки в одній просторовій точці, але в різні моменти часу, то проміжок часу між цими двома подіями визначиться аналогічним чином. На відміну від сучасної точки зору, Лоренц вважав це скорочення реальним, зумовленим взаємодією рухомого тіла з середовищем - ефіром. На тепер це вважається кінематичним, а не динамічним ефектом.

│t₂’-t₁’│=│t₂-t₁│/(1-V²/c²)^(1/2).

Останнє означає, що проміжок часу у рухомій системі між двома подіями у часі в одній просторовій точці буде більшим, ніж у нерухомій системі відліку.

            Інтервал між точками у чотиривимірному просторі  може бути і нескінченно малим. У цьому разі

dx’=(dx-Vdt)/(1-V²/c²)^(1/2)=dt(dx/dt-V)/(1-V²/c²)^(1/2),

y’=y, z’=z,

dt’=dt(1-dx/dt V/c²)/(1-V²/c²)^(1/2).

Якщо розділити перше з цих співвідношень на останнє, то отримаємо закон додавання швидкостей релятивістської механіки, вперше отриманий Пуанкаре,

v_x’=(v_x-V)/(1-v_xV/c²),

v_y’=v_y=0,

v_z’=v_z=0.

            Дозволимо матеріальній точці у системі відліку K рухатись довільним чином. У цьому разі диференціали координат матимуть вигляд

dx’=(dx-Vdt)/(1-V²/c²)^(1/2)=dt(dx/dt-V)/(1-V²/c²)^(1/2),

dy’=dy, dz’=dz,

dt’=dt(1-dx/dt V/c²)/(1-V²/c²)^(1/2).

Якщо розділити перші три з цих співвідношень на останнє, то отримаємо закон додавання швидкостей релятивістської механіки у разі довільного напряму руху матеріальної точки

v_x’=(v_x-V)/(1-v_xV/c²),

v_y’=v_y/(1-v_xV/c²),

v_z’=v_z/(1-v_xV/c²).

Тут (v_x, v_y, v_z)=(dx/dt, dy/dt, dz/dt) – просторові компоненти швидкості матеріальної точки у нерухомій системі відліку, (v_x’, v_y’, v_z’)=(dx’/dt’, dy’/dt’, dz’/dt’) – просторові компоненти швидкості матеріальної точки у рухомій системі відліку. Якщо швидкість матеріальної точки у нерухомій системі відліку мала щодо швидкості світла, то ми отримуємо закон додавання швидкостей Галілея***

v_x’=v_x-V, v_y’=v_y, v_z’=v_z.

Із релятивістської формули додавання швидкостей також видно, що за будь-яких швидкостей v і V результуюча швидкість не може перевищувати швидкість світла c.

            Крім чотиривимірного радіус-вектору матеріальної точки можна побудувати і чотиривимірні вектори інших важливих для релятивістської динаміки матеріальної точки фізичних характеристик, наприклад, чотиривимірний вектор швидкості. Очевидно, що для цього потрібно здиференціювати чотиривимірний радіус-вектор за часом. Виникає запитання – за яким часом? У нас є два варіанти. Розглядаючи рух матеріальної точки у системі відліку K, де частинка рухається з швидкістю v(t)=dr(t)/dt, ми могли б взяти наступну сукупність координат (dr/dt, ic). Проте ця сукупність не є вектором. Якщо ж поряд з часом t системи відліку, щодо якої система відліку рухається із швидкістю v, розглянути систему відліку K₀, пов’язану з самою матеріальною точкою, а  у ній час t₀ – так званий власний час, то сукупність координат (dr/dt₀, ic dt/dt₀) вже утворюватиме чотиривимірний вектор. Оскільки t₀ – час у нерухомій щодо матеріальної точки системи відліку, а t – у рухомої системи відліку, то зв’язок між ними (дивись вище)

t=t₀/(1-v²/c²)^(1/2),

і чотиривимірний вектор швидкості матиме вигляд

u=(v/(1-v²/c²)^(1/2), ic/(1-v²/c²)^(1/2)).

Легко перевірити, що квадрат чотиривимірної швидкості матеріальної точки, на яку не діють зовнішні поля, зберігається

u²=-c².

Тут ми маємо приклад чотиривимірного вектора, квадрат довжини якого від’ємний.

            Помноживши чотиривимірну швидкість на масу матеріальної точки, ми отримаємо її чотиривимірний імпульс

p=mu=(mv/(1-v²/c²)^(1/2), imc/(1-v²/c²)^(1/2)).

Якщо коефіцієнт пропорційності між імпульсом і швидкістю розглядати як ефективну масу матеріальної точки, яку вона набуває внаслідок руху, то ми отримаємо формулу залежності маси матеріальної точки від її швидкості. Відповідно до неї маса матеріальної точки тим більша, чи більша її швидкість. Ця формула вперше була запропонована Лоренцом.

            Принцип релятивізму (відносності), запропонований Пуанкаре ще у 1904 році, полягає у тому, що всі фундаментальні рівняння фізики мають бути інваріантними щодо перетворень Лоренца. Рівняння Максвелла**** такими були вже від самого їх відкриття, а рівняння для другого закону Ньютона ні. Покажемо, як це можна виправити. Ввівши чотиривимірний вектор сили F=(F, iF_t), структуру якого ми тут не конкретизуємо, можна записати релятивістське рівняння руху матеріальної точки формально подібно рівнянню Ньютона з тою різницею, що диференціювання відбувається за власним часом матеріальної точки, а не за часом інерційної системи відліку, щодо якої точка рухається

dp/dt₀=F.

Крім того, якщо це чотиривекторне рівняння записати у вигляді одного векторного і одного скалярного рівнянь

[1/(1-v²/c²)^(1/2)]d [mv/(1-v²/c²)^(1/2)]/dt=F,

[1/(1-v²/c²)^(1/2)]d [mc/(1-v²/c²)^(1/2)]/dt=F_t,

то ми маємо зайве рівняння порівняно з другим законом Ньютона нерелятивістської механіки, якому відповідає лише перше з виписаних рівнянь. Друге рівняння у нерелятивістській механіці також існує під назвою теореми про кінетичну енергію. Але і перше рівняння записане у дещо відмінній від закону Ньютона формі через наявність множника перед похідною за часом у лівиці рівняння і чотиривимірного вектора сили у правиці. Таким же чином відрізняється від нерелятивістського аналога і друге рівняння. Першому рівнянню можна легко надати вигляду, характерному для другого закону Ньютона, аналогічним чином виконавши перетворення і у скалярному рівнянні,

d [mv/(1-v²/c²)^(1/2)]/dt=(1-v²/c²)^(1/2)F=f,

d [mc²/(1-v²/c²)^(1/2)]/dt=с(1-v²/c²)^(1/2)F_t=fv.

Тут f – звичайна сила закону Ньютона, fv – робота цієї сили за одиницю часу. Викладки щодо отримання правиці останнього рівняння ми тут опускаємо. Вперше ці рівняння були отримані Анрі Пуанкаре*.З сенсу цього рівняння випливає, що під знаком похідної має бути енергія матеріальної точки

E=mc²/(1-v²/c²)^(1/2).

Тепер чотиривимірний імпульс матеріальної точки можна записати наступним чином

p=(p, iE/c),

де

p=mv/(1-v²/c²)^(1/2).

Початкові умови для другого закону Ньютона – це початкові значення координат і швидкості матеріальної точки. Початковою умовою для другого рівняння є початкове значення енергії. Розглянемо детальніше друге рівняння. Якщо зовнішні сили відсутні, то матеріальна точка рухається після початку руху за інерцією завдяки наданій початковій швидкості. Тоді обидва рівняння стануть однорідними. Розв’язок першого рівняння дає нам збереження імпульсу матеріальної точки під час руху за інерцією. Розв’язок другого рівняння дає нам збереження енергії матеріальної точки під час такого руху. Якщо швидкість  матеріальної точки мала щодо швидкості світла, то енергію матеріальної точки можна розвинути у ряд Тейлора за степенями частки швидкості матеріальної точки до швидкості світла. Цей ряд буде таким

E= mc²+mv²/2+ ….

Збереження енергії під час руху означає збереження кожного окремого доданку цього виразу, оскільки кожний з них залежить лише від швидкості, яка зберігається. Другий доданок у правиці рівняння є кінетичною енергією матеріальної точки у разі малих швидкостей руху матеріальної точки, і ця енергія зберігається при русі. Перший доданок у нерелятивістській механіці відсутній. Він і є знаменитою енергією спокою матеріальної точки. Ця енергія з’являється лише у релятивістській теорії. Вона також зберігається під час даного руху. Але, оскільки вона не залежить від швидкості матеріальної точки, то вона зберігається і у загальному випадку руху матеріальної точки, тобто є властивістю самої матеріальної точки, незалежною від її руху.

            Релятивістська фізика була результатом творчих досягнень багатьох науковців світу. Тут не можна не згадати про єврейського науковця Альберта Айнштайна******. Саме він дав сучасну інтерпретацію всіх основних результатів релятивістської фізики. Простір між частинками матерії у Всесвіті порожній. Про ефір слід забути. Всі результати релятивістської фізики є наслідком відповідної геометрії цього простору, а не результатом взаємодії реальної матерії з міфічним ефіром.

            Пуанкаре вважав, що геометрія, використовувана для опису фізичних явищ, є вислідом домовленості, а не властивістю порожнього простору, у якого немає властивостей. Ефір, як матеріальне середовище, що заповнює весь простір і служить для передачі взаємодії між тілами, має право на існування. Ці погляди Пуанкаре не були підтримані сучасними йому фізиками і його праці з релятивістської фізики відомі на сьогодні лише вузькому колу фахівців.

            На жаль, жодний з творців релятивістської фізики не отримав Нобелівської премії, хоча, на мою думку, ця теорія варта багатьох таких премій.

            *Жюль Анрі Пуанкаре (1854 – 1912) французький математик, фізик, механік, астроном і філософ. Голова Паризької академії наук, член Французької академії і ще більше, ніж 30 академій світу. Анрі Пуанкаре вважають найвеличнішим математиком всіх часів. Його вважають, поряд з Гільбертом, останнім математиком універсалом, здатним охопити всі математичні результати свого часу. Не було у сучасній йому математиці такої області, яку б він не збагатив своїми результатами.

            **Хендрік Антон Лоренц (1853 – 1928) голандський фізик-теоретик. Лоренц, поряд з багатьма іншими своїми науковими досягненнями, вивів залежність маси тіла від його швидкості, а також співвідношення між координатами і часами при переході від однієї інерційної системи до іншої при їх взаємному поступальному русі.

            ***Ді Вінченцо Бонаюті де Галілей (1564 – 1642) італійський астроном, математик, фізик, поет і літературний критик. Галілея вважають батьком спостережної астрономії і експериментальної фізики.

            ****Джеймс Клерк Максвел (1831 – 1879) шотландський вчений, який створив теорію електромагнітного поля.

      *****Сер Ісак Ньютон (1643 – 1727) англійський науковець. Ньютон започаткував теоретичну фізику як науку, відкривши три свої знамениті закони механіки. Він відкрив також закон всесвітнього тяжіння і на його основі пояснив рух планет сонячної системи. Разом з німецьким математиком Готфрідом Лейбніцем створив диференційне та інтегральне числення. Це дало йому не лише можливість записати свій другий закон у сучасному вигляді, як диференційне рівняння, але і розв’язати його для ряду важливих випадків. Про мудре ставлення влади Великої Британії тих часів до науковців такого рівня свідчило обрання його членом парламенту та директором королівського монетного двору.

            ******Альберт Айнштайн (1879 – 1955) єврейський науковець, творець релятивістської теорії гравітації, один з творців сучасної релятивістської фізики, займав активну громадянську позицію у сучасному йому світі середини двадцятого сторіччя.

* А. А. Логунов. К работам Анри Пуанкаре О динамике єлектрона. Москва.-Институт ядерних исследований Академии наук СССР.- 1984.- С. 96.

    В монографії міститься переклад двох класичних робіт Анрі Пуанкаре з релятивістської фізики з коментарями академіка А. А. Логунова:

        1.А. Пуанкаре. О динамике єлектрона (5 июня 1905 года).

        2.А. Пуанкаре. О динамике єлектрона (23 июня 1905 года).

З цих робіт видно, що релятивістська фізика у них сформульована у цілком сучасному вигляді.

Цим же роком датована і знаменита робота Альберта Айнштайна: Albert Eistein. Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik, (1905)

Доктор фіз.-мат. наук, професор, академік Академії наук вищої школи України Швець В. Т.