Зовнішній розв`язок Шварцшильда

Продовження. Початок: Максимально просто про загальну теорію відносності https://valeriyshvetsscience.blogspot.com/2025/03/blog-post_23.html

 

Зовнішній розв`язок Шварцшильда

            Знайдемо розв`язок релятивістського рівняння гравітаційного поля у разі, коли джерелом поля є центрально симетрична статична маса. Розв`язок шукатимемо за межами області простору, зайнятою цією масою. Оскільки компоненти тензора енергії-імпульсу у цьому разі дорівнюють нулю, то рівняння поля має вигляд

R_ij = 0.

Розв`язок цього рівняння шукатимемо у вигляді квадрату інтервалу між двома нескінченно близькими подіями – точками чотиривимірного простору, що мають три просторові координати і час. В якості першої специфічної межової умови оберемо таку: на дуже великих відстанях від джерела поля, де гравітаційне поле практично відсутнє, квадрат цього інтервалу збігається з квадратом інтервалу у релятивістській механіці у відсутності гравітаційного поля

(ds)² = - (dr)² – r² (dθ)² - r² sin²(θ) (dφ)² + (dt)².

Ця умова означає, що такою ж має залишатись структура інтервалу і на будь-якій відстані від джерела поля. Умова сферичної симетрії задачі, пов`язана із сферичною симетричністю джерела поля і його нерухомістю, дозволяє стверджувати, що гравітаційне поле не випливатиме на кутові доданки інтервалу. Інші два доданки – перший і четвертий матимуть додаткові змінні множники, що прямуватимуть до 1 при нескінченному віддалені від джерела поля. Такі міркування дозволяють записати інтервал у присутності поля у вигляді

(ds)² = - exp(α) (dr)² – r² (dθ)² - r² sin²(θ) (dφ)² + exp(β) (dt)².

Тут α = α(r), β = β(r), що знову ж таки зумовлене статичністю поля і його сферичною симетричністю. Якщо ввести стандартні позначення релятивістської теорії гравітації: r=x¹, θ=x², φ=x³, t=x⁴,  а також використати запис інтервали через метричний тензор, то квадрат інтервалу можна записати так

(ds)² = g₁₁ (dx¹)² + g₂₂ (dx²)² + g₃₃ (dx³)² + g₄₄ (dx⁴)².

Співставляючи два вирази для інтервалу легко бачити, що коваріантні компоненти визначаються так

g₁₁ = - exp(α);   g₂₂ = - r²;   g₃₃ = - r² sin²(θ);   g₄₄ = exp(β);   g_ij = 0,    i≠j.

Алгоритм знаходження контраваріантних компонент метричного тензора – це алгоритм знаходження оберненої матриці. Для його реалізації нам потрібний визначник метричного тензора, який для діагональної матриці дорівнює

g = g₁₁ g₂₂ g₃₃ g₄₄ = - r⁴ sin²(θ) exp(α + β).

Відповідні алгебраїчні доповнення матимуть вигляд

A₁₁ = g₂₂ g₃₃ g₄₄;   A₂₂ = g₁₁ g₃₃ g₄₄; A₃₃ = g₁₁ g₂₂ g₄₄;   A₁₁ = g₁₁ g₂₂ g₃₃.

Контраваріантні компоненти метричного тензора тепер будуть такими

g¹¹ = A₁₁ / g = - exp(-α);   g²² = A₂₂ / g = - 1 / r²;

g³³ = A₃₃ / g = - 1 / [r² sin²(θ);   g⁴⁴ = A₄₄ / g = exp(-β).

Вирази для ненульових символів Кристофеля будуть такими

Γⁱ_jj = - gⁱⁱ (∂g_jj/∂xⁱ) / 2;   Γⁱ_ij = - gⁱⁱ (∂g_ii/∂x^j) / 2;   Γⁱ_ii = - gⁱⁱ (∂g_ii/∂xⁱ) / 2.

Після підстановки сюди виразів для компонент метричного тензора, матимемо

Γ¹₁₁ = α`/ 2;   Γ¹₂₂ = - r exp(- α);   Γ¹₃₃ = - r sin²(θ) exp(- α);   Γ¹₄₄ = β exp(β - α) / 2;

Γ²₃₃ = - sin(θ) cos(θ);   Γ²₂₁ = 1 / r;   Γ³₃₁ = 1 / r;   Γ⁴₄₁= β`/ 2;   Γ³₃₂= cot(θ).  

Тепер діагональні компоненти тензора Річі визначатимуться так

R₁₁ = β``/ 2 – α` β`/ 4 + (β`)<sup>2</sup>/ 4 – α` / r;

R₂₂ = exp(- α) [1 + r (β` -  α`) / 2] – 1;

R₃₃ = exp(- α) sin²(θ) [1 + r (β` -  α`) / 2] – sin²(θ);

R₄₄ = exp(β - α) [- β``/ 2 + α` β`/ 4 -  (β`)<sup>2</sup>/ 4 – β`/ r].

Прирівнюючи ці компоненти нулю, отримуємо чотири рівняння щодо невідомих функцій α і β.  Видно, що друге і третє рівняння збігаються, отже достатньо записати лише три наступні рівняння

β``/ 2 – α` β`/ 4 + (β`)<sup>2</sup>/ 4 – α` / r = 0;

exp(- α) [1 + r (β` -  α`) / 2] – 1 = 0;

- β``/ 2 + α` β`/ 4 -  (β`)<sup>2</sup>/ 4 – β`/ r = 0.

Лише два з цих трьох рівнянь незалежні. В якості цих двох рівнянь доцільно взяти суму першого і третього і друге рівняння, яке можна спростити використанням першого рівняння

α` + β` = 0;

exp(- α) (1 - r α`) – 1 = 0.

Після інтегрування першого рівняння матимемо наступний загальний інтеграл

α + β = С,

де С – довільна стала. Її можна знайти з межової умови на нескінченості, тобто з умови того, що на нескінченості квадрат інтервалу з урахуванням гравітаційного поля переходить у квадрат інтервалу при його відсутності (α=0, β=0). Отже, ця стала дорівнює нулю і

α + β = 0.

Друге рівняння системи можна записати у такому спрощеному вигляді

d [r exp(- α)] / dr = 1.

Це рівняння легко інтегрується і його загальний інтеграл має вигляд

r exp(- α) = r + D,

де D – нова довільна стала. Її можна знайти ще з однієї межової умови, яка полягає у тому, що на достатньо великій, але скінченій, відстані від джерела поля гравітаційαне поле має визначатись відомим з теорії Ньютона класичним виразом. Ця умова має вигляд

g₄₄ / 2 = - m / r + const.

Два отримані нами загальні інтеграли дозволяють записати наступні вирази для відповідних компонент метричного тензора

g₁₁ = - exp(α) = - 1 / (1 + D / r);

g₄₄ = exp(β) = 1 + D / r.

Межова умова  тепер має вигляд

g₄₄ / 2 = 1 + D / r  = - m / r + const.

Звідси D=-2m. Остаточно вираз для квадрату інтервалу тепер буде таким

 

(ds)² = - (1 – 2 m / r)^-1 (dr)² – r² (dθ)² - r² sin²(θ) (dφ)² + (1 – 2 m / r) (dt)².

Це і є зовнішній розв`язок Шварцшильда. Замість одного Ньютонівського потенціалу гравітаційного поля

U(r) = m / r + const

ми маємо чотири ненульові компоненти метричного тензора, які відіграють роль гравітаційних потенціалів,

 g₁₁  = - 1 / (1 - 2 m / r);   g₂₂ = - r²;   g₃₃ = - r² sin²(θ);   g₄₄  = 1 - 2 m / r

Цей розв`язок має особливу точку при виконанні умови

1 – 2 m / r = 0.

Відповідне значення радіус-вектора називається гравітаційним радіусом тіла, що є джерелом гравітаційного поля

r_g = 2 m = 2 γ M / c².

Для Сонця гравітаційний радіус дорівнює 3 км. Якщо вся маса тіла, що є джерелом гравітаційного поля, зосереджена у сфері меншого радіусу, ніж гравітаційний, то геометрія простору-часу всередині цієї сфери принципово відрізняється від геометрії за її межами. Світло, що випромінюється всередині такої сфери, не зможе подолати тяжіння такої маси і вирватись за межі такої сфери. Такий об`єкт називається чорною дірою. Такі чорні діри знаходяться в центрах галактик, забезпечуючи їх видиму структуру.