Перехід від дискретного до неперервного спектру енергії

 

             Цей перехід не є засадниче необхідним. Той самий результат ми отримаємо і при підсумовуванні за дискретним спектром, і при інтегруванні за неперервним спектром. Проте операцію інтегрування технічно легше виконувати у більшості випадків, ніж операцію підсумовування. Цей перехід легше виконується у разі, коли спектр енергій є еквідистантним і квазінеперервним. Перше означає однакову відстань між сусідніми рівнями енергії, друге – малість цієї відстані порівняно з характерними енергетичним параметрами задачі. Якщо обидві умови виконуються, то як ми показали вище, дискретний канонічний розподіл ймовірності переходить у показниковий розподіл ймовірності

 

w(ε) = Z(T)^-1 exp(-ε / T).

                                                         

          Z = ∑_n exp(- ε_n / T) = T.

                                                         

Тепер канонічний розподіл, тобто ймовірність знаходження мікрочастинки у стані з енергією ε_n матиме вигляд

 

w(ε_n) = T^-1 exp(-ε_n / T).

 

Тут температура і енергія вимірюються в одиницях, що дорівнюють відстані між сусідніми енергетичними рівнями Δε. Якщо не виконувати межовий перехід до неперервного спектра, то математичне очікування слід знаходити так, як ми це і робили вище, підсумовуючи ряд

 

М f(ε) = (1 / T) ∑_n f(ε_n) exp(- ε_n / T).

 

Проте замість підсумовування ряду можна обчислити такий інтеграл

 

М f(ε) = (1 / T) ∫ f(ε) exp(- ε / T) dε.

 

Інтегрування виконується у нескінчених симетричних межах. Легко бачити, що для середнього значення енергії ми отримаємо попередній результат

 

      М ε = (1 / T) ∫ ε exp(- ε / T) dε = T,

 

так само як і для дисперсії

D ε² = М ε² – (М ε)² = T².

                                                                              

            Квазінеперервність спектру для макроскопічних систем завжди має місце. Складніше з еквідистантністю. Це скоріше виключення, ніж правило. Якщо енергетичні рівні розташовані нерівномірно з густиною, що описується функцією G(ε), то перехід до інтегрування здійснюватиметься за формулою

 

М f(ε) = (1 / T) ∫ f(ε) G(ε) exp(- ε / T) dε.

 

Якщо першоджерелом енергетичного спектру підсистеми є один атомарний рівень, розмазаний за рахунок взаємодії між атомами у квазінеперевну енергетичну полосу станів підсистеми, а ступінь його виродження була Γ, то для невпорядкованої підсистеми мікрочастинок цілком слушним є нормальний розподіл, нормований на ступінь виродження

 

G(ε) = [Γ / (2 π)^1/2 σ]^-1 exp[(ε – μ) / 2 σ²].

 

Якщо ж ми маємо упорядковану підсистему, то аналогічним чином можна використати рівномірний розподіл ймовірності. Ключовим питання є розуміння того, від чого ми відштовхуємось при переході від підсумовування до інтегрування. Якщо від атомарного спектру, то вище наведений варіант такого переходу. Якщо від енергетичних станів вільних частинок, то алгоритм переходу буде простішим і не потребуватиме моделювання такої характеристики підсистеми як густина станів. До розгляду цього випадку ми і перейдемо.

            Розглянемо вільну квантовомеханічну частинку, наприклад електрон. Рівняння Шредінгера для неї в атомній системі одиниць має вигляд

- (1 / 2) d²Ψ(x) / dx² = ε Ψ(x).

 

Легко бачити, що два його лінійно-незалежні розв’язки наступні

 

Ψ₁(x) = exp(i k x),   Ψ₂(x) = exp(- i k x).

 

Загальний розв`язок є їх лінійною комбінацією

 

Ψ(x). = A Ψ₁(x) + B Ψ₂(x) = A exp(i k x) + B exp(- i k x).

 

Тут A, B і k – довільні сталі. Після підстановки будь-якого з частинних розв`язків у рівняння для енергії отримуємо вираз

 

ε_k = k² / 2.

 

Як бачимо, для вільної мікрочастинки спектр є неперервним.

Тепер дещо ускладнимо задачу. Розмістимо нашу мікрочастинку у прямокутну потенційну яму, вертикальні стінки якої розташовані в точках x₁=-l/2, x₂ =l/2. Простота форми цієї ями дозволяє врахувати її наявність не через ускладнення рівняння, а через додавання до існуючого рівняння межових умов

 

Ψ(- l / 2) = 0,   Ψ(l / 2) = 0.

 

Використаємо ці умови для знаходження довільних сталих A, B і k. Маємо

 

Ψ(- l / 2) = A Ψ₁(- l / 2) + B Ψ₂(- l / 2) = A exp(- i k l /2) + B exp(i k l / 2) = 0,

 

Ψ(l / 2) = A Ψ₁(l / 2) + B Ψ₂(l / 2) = A exp(i k l /2) + B exp(- i k l / 2) = 0.

 

Використовуючи формули Ейлера,

 

exp(i k x) = cos(k x) + i sin(k x),

 

exp(- i k x) = cos(k x) - i sin(k x)

 

можна замінити їх наступними двома

 

(A + B) cos(k l /2) - i (A – B) sin(k l / 2) = 0,

 

(A + B) cos(k l /2) + i (A – B) sin(k l / 2) = 0.

 

Додаючи і віднімаючи ці рівняння можна замінити їх наступними

 

cos(k l /2) = 0,

 

sin(k l / 2) = 0.

 

Розв`язками цих рівнянь є наступні значення параметра k

 

k l /2 = π / 2 +π n,   k l /2 = π n

або

k_1n = π / 2 l+2 π n / l,   k_2n = 2 π n / l.

Бачимо, що дана система рівнянь не має розв`язків, оскільки розв`язки першого рівняння не є розв`язками другого і навпаки. Проте є одна спрощуюча обставина – нас цікавлять ці розв`язки у межі, коли розміри потенційної ями прямують до нескінченості. Саме у цьому разі дискретний спектр стає квазінеперервним. У цій межі можна знехтувати доданком π/2l у нас з`являються розв`язки спільні для обох рівнянь

k_n = k_1n = k_2n = 2 π n / l.

 

Для енергії тепер матимемо вираз

ε_k = (2 π n / l)² / 2.

 

Як бачимо, тепер енергетичний спектр став дискретним. У разі, коли розміри потенційної ями прямують до нескінченості, цей спектр стає квазінеперервним. До того ж спектр є еквідистантним, тобто відстані між сусідніми енергетичними рівнями завжди однакові і дорівнюють за параметром Δk=2π/l, а за енергією Δε=(Δk)²=(2π/l)². Наближення майже вільних мікрочастинок є популярним наближення у багатьох царинах теоретичної фізики. Для таких мікрочастинок параметр k називається їх хвильовим вектором і є хорошим квантовим числом для опису їх енергетичного стану. При обчисленні різноманітних характеристик систем взаємодіючих мікрочастинок, для яких наближення вільних мікрочастинок є добрим, часто необхідно обчислювати суми за цим квантовим числом. Ці суми можна обчислювати через підсумовування відповідних рядів, а можна обчислювати і як інтеграли. В останньому разі перехід від підсумовування до інтегрування буде таким

 

∑_k = ∫ dk / Δk = Γ (l / 2 π) ∫ dk.

 

При дослідженні властивостей електронного газу слід врахувати, що кожний енергетичний стан дві вироджений за рахунок того, що спін електрона дорівнює 1/2, тому статистична вага кожного стану Γ=2.

            У тривимірному випадку

 

∑_k = ∫ dk / Δk = Γ V / (2 π)³ ∫ dk.

 

Тут V=l³ – об`єм системи.

            Приклад 1. Знайти статистичну суму для канонічного розподілу ймовірності для енергії класичного електронного газу.

            Розв`язання 1. Канонічний розподіл ймовірності для класичного електронного газу має вигляд (тут k²/2T<<1 і канонічний розподіл стає розподілом Больцмана)

w(k) = Z^-1 exp(- k² / 2 T),

 

де статистична сума має вигляд

Z = ∑_n Γ exp(- k_n² / 2 T).

 

Спочатку обчислимо статистичну суму як суму за хвильовими векторами. Маємо

Z = 2 ∑_n exp[-((2 π)² / 2 l² T) n²] =

 

= 2 + 2{ exp(- x²) + exp(-2² x²) + exp(-3² x²) + … + exp(-n² x²) +     },

 

де x² = 2 π² / l² T. Для обчислення цієї суми скористаємось відомою формулою*

 

exp(- x²) + exp(-2² x²) + exp(-3² x²) + … + exp(-n² x²) +    =

 

= - 1 / 2 + (π^1/2 / x) [1 / 2 + exp(-π² / x²) + exp(-2² π² / x2) + exp(-3² π² / x2) + … +

 

+ exp(-n² π² / x2) + …].

 

Враховуючи, що l прямує до нескінченості, а x прямує до нуля, маємо

 

exp(- x²) + exp(-2² x²) + exp(-3² x²) + … + exp(-n² x²) +    = - 1 / 2 + π^1/2 / 2 x

 

і

Z = 2 – 1 +π^1/2 / x = 1 + π^1/2 l T^1/2 / 2^1/2 π = l T^1/2 / (2 π)^1/2.

 

Тепер розподіл Больцмана матиме вигляд

 

w(k) = [(2 π)^1/2 / l T^1/2 ]exp(- k² / 2 T).

 

Розв`язання 2. Інший  спосіб знаходження статистичної суми полягатиме у переході від підсумовування до інтегрування. При цьому ми врахуємо, що підсумовування ведеться від 0 до нескінченості, а інтегрування від мінус нескінченості до плюс нескінченості, тобто перед інтегралом маємо поставити додатково коефіцієнт 1/2

 

Z = ∑_n Γ exp(- k_n² / 2 T) = (1 / 2) ( l / π) ∫ exp(- k² / 2 T) dk = l T^1/2/ (2 π)^1/2.

 

У висліді ми отримуємо той самий вираз, що і вище

 

w(k) = [(2 π)^1/2 / l T^1/2 ]exp(- k² / 2 T).

 

·       Г. Б. Двайт. Таблица интегралов и другие математические формули (стор. 115).

Національна асоціація дослідників Голодомору - геноциду українців | Публікація 26Національна асоціація дослідників Голодомору - геноциду українців | Публікація 15

Валерій Швець