Як літають ракети?

Автор: Valeriy Shvets грудня 20, 2024

Нині польоти ракет у космос стали звичайним явищем. Ще більш звичайним, щоденним, явищем став обстріл бойовими ракетами території України з боку Московії. Для того, щоб зрозуміти принцип дії ракетного двигуна розглянемо масу m, що рухається відносно інерційної системи відліку з швидкістю v, і малу масу dm, що рухається у тій же системі відліку з швидкістю u. Їх сумарний імпульс буде

P = m v + dm u .

Нехай вони рухають вздовж однієї прямої лінії і так, що в момент часу t=0 стикаються і далі рухаються разом. У момент часу t+dt, де dt мала величина, швидкість об’єднаної маси стане v+dv, а імпульс

P + dP = ( m + dm )( v + dv ).

Відповідно

dP = m dv – dm u.

Запишемо для об’єднаної маси другий закон Ньютона у вигляді

dP / dt = F

або

m dv / dt = w dm / dt + F,

де F – зовнішня сила, що діє на об’єднану масу, а w= u – v – відносна швидкість малої маси відносно великої. Якщо до початкової маси m весь час приєднується малими порціями додаткова маса, то швидкості v і w мають однаковий напрямок. Якщо навпаки, початкова маса m весь час малими порціями втрачає масу, то швидкості спрямовані протилежно. Надалі нас цікавитиме саме останній випадок, а саме рух ракети на активній ділянці її траєкторії. У цьому разі вона весь час витрачає пальне, яке згорає, а утворені при цьому гази з великою швидкістю вилітають через її сопло назад, рухаючи ракету при цьому вперед. Для простоти розглянемо набір швидкості ракетою у космічному просторі поза полем тяжіння якоїсь з планет сонячної системи. Якщо записати рівняння руху для цього випадку у скалярному вигляді, то воно матиме вигляд *

m dv / dt = - w dm / dt.

У цьому рівнянні легко перейти від похідних до диференціалів

dv = - w dm / m.

Далі воно легко інтегрується один раз

v / w = - ln( m ) + ln( c ).

Для знаходження довільної сталої c використаємо початкову умову

v( 0 ) =0, m( 0 ) = m₀, w = const.

Тоді

ln( c ) = ln( m₀ )

і рівняння матиме вигляд

v( t ) = - w ln[ m( t ) / m₀].

Тепер, якщо задати динаміку згоряння палива ракети, то ми визначимо динаміку наростання її швидкості. Цю формулу можна записати і інакше

v( t ) = - w ln[ m( t ) / m₀].

m₀ = m( t ) exp[ v( t ) / w ].

Остання формула дозволяє відповісти на питання: скільки потрібно витратити палива для розгону від нуля до першої космічної швидкості v(t₁)=7910 м / сек або другої космічної швидкості v(t₂)=11200 м / сек 1 кг маси. (Ці числа подані для конкретності для старту з поверхні Землі. Для кожної планети вони свої. Для космічного простору поза тяжінням планет вони взагалі не мають сенсу.). Якщо вважати, що розпечений газ виривається з сопла ракети з швидкістю відносно неї w=3000 м / сек, то обчислення дають такий результат: для першої космічної швидкості m₀=14 кг, для другої космічної швидкості m₀=42 кг.

Наведені числа дають лише порядок величини для відповідних мас, оскільки не враховують вагу баків для пального, які скидаються, як тільки пальне з них повністю витрачається.

Розглянемо тепер роль тяжіння Землі, якщо ракета стартує з її поверхні. При врахуванні сили тяжіння Землі рівняння руху матиме вигляд

m dv / dt = - w dm / dt + m g,

де g=9.81 м / сек² – прискорення вільного падіння на поверхні Землі. Рівняння зручно записати у диференціалах

dv = - w dm / m+ g dt.

Після разового інтегрування матимемо

v / w = - ln( m ) + g t / w + ln( c ).

За попередньої початкової умови для довільної сталої отримаємо попереднє значення У висліді матимемо

v( t ) = - w ln( m / m₀ ) + g t.

Якщо ж нас цікавлять витрати пального, то останній результат зручно записати так

m₀ = m( t ) exp[ ( v( t ) + g t ) / w ].

Тепер відповідь на запитання про витрати пального залежатиме від темпу витрати пального. Якщо пальне витрачатиметься максимально швидко, так щоб перевантаження, що виникає при цьому, не зруйнувало апаратуру ракети або не загрозило життю людей, якщо вони є на борту, то результат мало відрізнятиметься від попереднього. Дійсно, нехай активний політ ракети до набору потрібної швидкості відбувається протягом ста секунд, тоді другий доданок у виразі v( t ) + g t буде достатньо малим порівняно з першим, а прискорення вільного падіння можна для оцінки вважати сталою величиною і ми отримуємо попередню оцінку маси витраченого пального.