Чому існують багаті і бідні? Закон розподілу добробуту людей

«Усі мислячі істоти народжуються нерівними.
Досконале суспільство дає кожному рівну можливість
плавати на його власній глибині»
(Френк Герберт)

Вступ

Метою даної статті є доведення того факту, що поведінку великих людських спільнот можна описати точними математичними формулами. Поширена точка зору на людину та, що її поведінка є непередбачуваною. А щодо великих людських спільнот не варто і сподіватись щодо прогнозування їх поведінки. Першими навчились керувати великими масами людей ще левіти 2500 років тому – автори Старого Заповіту. Їх алгоритм керування був чисто емпіричним, не містив жодних формул, але був надзвичайно ефективним і працює досі. Нашою метою є створення математичної моделі людського суспільства, яка б дозволяла зрозуміти за допомого математичних формул механізм його функціонування, а також і механізм влади над ним. Стартовим майданчиком для пошуку такої моделі є статистична фізика. Вона розглядає системи, що складаються з колосальної кількості елементів: елементарні частинки, атоми, молекули. Нас же цікавлять люди. Що спільного між атомами і людьми? Механічний рух атома з високою точністю може описати класична механіка. Його внутрішній стан також з високою точністю може описати квантова механіка. А чи можна описати матеріальний стан пересічної людини, рівень її особистої свободи, тиск влади на її поведінку тощо? Описати не за допомогою слів, але за допомогою чисел і формул? Виявляється можна. А такі категорії статистичної фізики як внутрішня енергія, вільна енергія, температура, ентропія мають свої аналоги у людському суспільстві. Засадничі розподіли ймовірностей статистичної фізики також мають свої аналоги у світі людей. Дана стаття присвячена обґрунтуванню і використанню найпростішої моделі людського суспільства, але здатної пояснити засадничі властивості великих людських спільнот.

Висновки:

1. Матеріальні ресурси, якими володіють окремі люди, розподілені нерівномірно – точніше за показниковим законом. Це відбувається навіть за умови, якщо люди генетично абсолютно ідентичні і виходять на життєвий шлях в абсолютно однакових стартових умовах. Генетика і різноманітність умов формування різних людей лише підсилюють цю нерівномірність.

2. Матеріальна свобода є підґрунтям свободи особистої в найширшому розумінні цього слова. Підґрунтям же матеріальної свободи є кількість матеріальних благ в розпорядженні окремої людини. Свобода окремої людини є тим більшою, чим більша ця кількість. Фізичним аналогом для свободи суспільства і окремої людини є така характеристика фізичної системи як ентропія.

3. Свобода і рівність несумісні категорії. Математичним виразом нерівності між людьми є дисперсія для закону розподілу матеріальних ресурсів у суспільстві. Досягнення максимальної рівності людей можливе лише при досягненні мінімального рівня їх особистої свободи і навпаки.

4. Влада над людиною і її особиста свобода - пов`язані категорії. Чим більшою є влада над людиною, тим меншою є її особиста свобода і навпаки.

5. Майновий стан пересічної людини можна охарактеризувати лише його ймовірністю. Але ймовірність одночасно є часткою людей, що перебувають у даному майновому стані. Тобто поведінка великих людських спільнот піддається точному математичному опису, на відміну від поведінки окремої людини.

6. Потенційна небезпека країни для її сусідів прямо пропорційна середній густині її населення і його життєвому рівню. Фізичним аналогом потенційної агресивності країни є тиск, що виникає у фізичній системі або рівняння стану.

(для тих, кому важко розібратись у математичних викладках, далі можна не читати)

Енергія – матеріальний ресурс

Замкненою системою називатимемо спільноту людей, ізольовану від будь-якої взаємодії з оточенням. Цю спільноту розділимо на дві не рівні частини. Одна складається з N людей, інша з n людей, причому N >> n. Більшу систему назвемо термостатом, а меншу – просто системою. Замкнутою системою може бути населення всієї планети, системою – населення окремої країни, термостатом – решта населення планети. Замкненою системою може бути населення окремої країни, термостатом – державний апарат цієї країни, системою решта людей, що не є носіями державної влади. Тут умова N >> n не виконується, але матеріальні ресурси, контрольовані державою можуть значно перевищувати матеріальні ресурси населення поза державним апаратом. В Російській імперії майже вся орна земля належала приватним особам. Проте решта природних ресурсів держави були власністю цієї держави. У Радянському союзі вже і вся орна земля вже належала державі, а також житло мешканців великих міст і вся промисловість. Приватна власність населення була мізерною порівняно з власністю держави. Термостатом може бути і все населення даної країни, за виключенням окремої людини, яка у даному разі може відігравати роль системи.

Кожну людину характеризуватимемо її статками, тобто сукупністю матеріальних засобів існування, якими вона володіє. Ці статки можна виразити у грошовому еквіваленті, а отже виміряти. Для термостату статки окремих людей позначимо E₁, E₂, … , E_N. Для системи - ε₁, ε₂, …, ε_n. Для замкненої системи вважатимемо, що загальна вартість матеріальних ресурсів не змінюється E₁ + E₂ + … + E_N + ε₁ + ε₂ + … + ε_n = E₀. Тобто окремі люди створюють нові матеріальні цінності – нові вартості, але споживають рівно таку ж саму їх кількість. Статки окремих людей, як і статки їх сукупності для стислості далі називатимемо енергіями. Отже ми розглядаємо ситуацію, коли енергія замкненої системи зберігається.

Кожну людину також можна характеризувати також її координатами у реальному просторі (радіус-векторами) R₁, R₂, … , R_N, r₁, r₂, …, r_n. Координатам окремої людини з геометричної точки зору відповідає точка у тривимірному просторі. Вважатимемо, що сучасна людина живе не лише безпосередньо на поверхні Землі, а і на довільній відстані від неї при врахуванні нерівностей земної поверхні, хмарочоси і космічні подорожі. Сукупності координат всіх людей з геометричної точки зору відповідає точка просторі розмірності 3N+3n.

Кожна з величин E₁, E₂, … , E_N, ε₁, ε₂, …, ε_n може мати складну структуру через те, що складається як з матеріальних ресурсів, що контролюються виключно даною людиною, так і матеріальних ресурсів, що належать кільком особам. Таку спільну власність можна розглядати як матеріальну взаємодію між людьми. Власності окремих людей можна розглядати в якості координат N+n – вимірного Декартового простору. Якщо об`єднати підпростір енергій і підпростір координат, то ми отримаємо простір розмірності 4N+4n, який зручно, за аналогією з фізичними системами, називати фазовим простором, де кожному стану системи з геометричної точки зору відповідає точка цього простору.

У підпросторі енергій з геометричної точки зору закон збереження енергії

E₁ + E₂ + … + E_N + ε₁ + ε₂ + … + ε_n = E₀

Малюнок. Енергетична поверхня у тривимірному випадку

можна розглядати як рівняння поверхні у N+n – вимірному просторі. Якщо енергії не залежать від координат, то у фазовому просторі з розмірністю 4N+4n закону збереження енергії відповідатиме об`єм гіперциліндру, дном якого є енергетична поверхня у підпросторі енергій. Надалі ми не враховуватимемо залежність енергій від координат. Це дозволить обмежитись розглядом лише підпростору енергій. Найпростіший вигляд поверхня, що відповідає заданій енергії замкненої системи, має у разі, якщо матеріальні статки окремих людей повністю ними контролюються, тобто люди не мають спільної власності. Таку систему можна назвати ідеальною спільнотою, аналогічною ідеальному газу, що складається з атомів або молекул. У цьому разі закон збереження енергії у підпросторі енергій є рівнянням площини. Проте окремі доданки цієї суми можуть з часом змінюватись. На практиці такі зміни можна розглядати як такі, що відбуваються стрибком: люди купують або продають майно, люди купують або продають різноманітні товари, люди отримують платню або сплачують кредити тощо. Кожна така стрибкова зміна майнового стану окремої людини викликає і стрибкову зміну майнового стану спільноти. З геометричної точки зору кожній такій стрибковій зміні майнового стану відповідає інша точка N+n – вимірного простору. Оскільки сукупне майно при цьому не змінюється, то всі такі точки лежать на поверхні, що відповідає енергії E₀. За досить великий проміжок часу такі точки покриють всю площину. Чим більший проміжок часу ми візьмемо, тим більшою буде густина цих точок. Всю сукупність таких точок для замкненої системи за деякий проміжок часу позначимо через Γ`.

Чим з більшої кількості елементів складається система, тим густіше розташовані точки, що відповідають мікростанам системи, у фазовому просторі. Оскільки надалі ми матимемо справу з макроскопічними системами, тобто системами з колосальною кількістю елементів, то сукупність таких точок можна вважати квазінеперервною і застосовувати до неї апарат диференційного та інтегрального числення, тобто понять диференціалів, похідних та інтегралів.

З позиції теорії ймовірностей кожну таку точку можна розглядати як елементарну подію. У статистичній фізиці їй відповідає мікроскопічний стан системи. Сукупність всіх точок, що відповідають даному майновому стану, можна назвати простором елементарних подій. У нашому випадку – це всі точки, що лежать на площині, яка відповідає заданій енергії.

Перше спрощуюче припущення полягатиме у тому, що всі такі точки (елементарні події) рівноправні. З математичної точки зору це означатиме, що ймовірності потрапляння спільнотою у стани, що відповідають цим точкам (елементарні ймовірності), однакові

P₁= P₂ = … = P_N = p₁= p₂ = … = p_n = … = p = 1/Γ.

Всі використовувані нами у цій статті величини мають розмірність енергії. У багатьох випадках працювати з розмірними величинами не зручно. Так, у випадку ентропії це призводить до її визначення з точністю до довільної сталої, що залежить від вибору одиниць вимірювання енергії. Ситуація спрощується у разі існування виділеної самою природою одиниці вимірювання. У квантовій фізичній статистиці такою виділеною величиною є стала Планка. Для людської спільноти і її матеріальних статків такою виділеною величиною є прожитковий мінімум ε₀, тобто мінімальна кількість матеріальних благ, необхідна для фізичного виживання окремої людини у суспільстві. Надалі ми вважатимемо прожитковий мінімум одиницею вимірювання всіх величин, що мають розмірність енергії, тобто поводитимемось з ними як з нерозмірними.

Мікроканонічний розподіл

Розглянемо сукупність компактно розташованих точок, мірою яких є dΓ`. У теорії ймовірностей ця сукупність називається подією. У статистичній фізиці вона називається кількістю мікростанів, що відповідає певній ділянці енергетичної площини або статистичною вагою цієї ділянки. Якщо прийняти зазначену вище гіпотезу про рівномірний розподіл точок (мікростанів) енергетичною поверхнею, то ймовірність спільноти належати до такого майнового стану визначатиметься класичним означенням ймовірності, відповідно до якого, ймовірність окремої елементарної події (мікростану) слід просто помножити на їх кількість

dp(E₀) = p(E₀) dΓ`(E₀) = dΓ`(E₀) /Γ`(E₀).

Якщо мова йде про диференціали відповідних величин, то для них класичне означення ймовірності дійсне навіть у разі, коли для скінчених ймовірностей воно не працює.

Ця ймовірність прив`язана до поверхні, що відповідає вартості даного сукупного майна (даній енергії). Зручно задати цю ймовірність як об`ємну функцію. Це можна зробити за допомогою дельта-функції, яка є нулем за межами цієї площини, і дорівнює нескінченості на самій площині. При цьому її інтеграл має дорівнювати одиниці. Це так звана сингулярна узагальнена функція. Сенс інтегралу від неї визначається відповідним межовим переходом. Отже

dp(E) = A(E₀) δ(E - E₀) dΓ`(E)/Γ`(E).

Тут А – стала нормування, а Е – довільна енергія замкненої системи. Значення цієї сталої отримується з умови нормування ймовірності, тобто рівності одиниці суми таких ймовірностей за всіма можливими значеннями вартості сукупного майна

∫ dp = 1.

Тут ми використовуємо інтегрування, а не підсумовування, оскільки надалі матимемо справу лише з дуже великими за кількістю елементів системами. Якщо замість сталої нормування А розглянути сталу нормування С таку, що

C(E₀) = A(E₀)/Γ`(E₀),

то вираз для ймовірності можна записати так

dp(E₀) = С(E₀) δ(E – E₀) dΓ`(E₀).

Такий розподіл ймовірностей у статистичній фізиці називається мікроканонічним. Він служить основою для отримання інших базових розподілів статистичної фізики – канонічного і великого канонічного розподілів.

Канонічний розподіл

Розглянемо тепер замкнену систему як сукупність термостату і взаємодіючої з ним системи. Енергію термостату позначимо через E, системи – через ε, всієї сукупної спільноти через E₀. Очевидно, що

E₀ = E + ε.

Фазовий простір термостату – кількість точок, з яких він складається, позначимо через Γ, фазовий простір системи – через γ. Оскільки термостат і система взаємодіють між собою, то їх енергії не зберігаються окремо. Це означає, що точки (мікростани) фазового простору є об`ємними функціями і для термостату, і для системи. Надалі будемо вважати, що Γ при заданій енергії термостату Е означає кількість точок, що знаходяться у фазовому просторі термостату під енергетичною поверхнею E=const. Аналогічно γ, що відповідає енергії ε, означатиме кількість точок, яка знаходиться під енергетичною поверхнею ε=const. Очевидно, що фазовий простір замкненої системи є добутком фазових просторів термостату і системи

Γ`(E₀) = Γ(E) γ(ε).

Якщо фазовий простір термостату має розмірність N, а фазовий простір системи – розмірність n, розмірність їх спільного фазового простору буде N n.

Розглянемо термостат детальніше. Такий розгляд простіше зробити саме для нього, оскільки закон розподілу ймовірностей тут має універсальний і максимально простий характер. Ймовірність dp приналежності стану термостату сукупності станів dΓ визначатиметься аналогічно попередньому

dp(E) = p(E) dΓ(E).

Друга наша гіпотеза полягатиме у тому, що взаємодія між термостатом і системою надзвичайно мала порівняно з загальною енергією термостату і, навіть, системи.. Крім того, термостат у багато разів перевищує систему. Це означає, що енергія термостату у висліді такої взаємодії змінюється надзвичайно мало, залишаючись переважно близькою до його середнього значення ͞E, коливаючись у вузьких межах ͞E – ΔE/2 < E < ͞E + ΔE/2 . Істотними є те, що і статистична вага термостату також змінюється у вузьких межах ͞Γ(Е) – ΔΓ(Е)/2 < Γ(Е) < ͞Γ(Е) + ΔΓ(Е)/2. Тут

ΔΓ(Е) = Γ(Е + ΔE) - Γ(Е).

Нагадаємо, що Γ(Е+ΔE) – це кількість точок (мікростанів), що лежать під енергетичною поверхнею Е + ΔE=const, а Γ(Е) – це кількість точок, що лежать під енергетичною поверхнею Е=const. Тобто ΔΓ(Е) – це кількість точок (мікростанів), що лежать у прошарку між цими двома енергетичними поверхнями. Якщо величина ΔE достатньо мала, то всі мікростани цього прошарку мають однакову ймовірність – працює класичне означення ймовірності. Тоді інтеграл нормування можна легко обчислити з високою точністю так

∫ dp = ∫ p(E) dΓ(E) = p( ͞E ) ΔΓ( ͞E) = 1.

Звідси

ΔΓ( ͞E ) = 1/ p( ͞E ).

Оскільки

dΓ(E) = [dΓ(E)/dE] dE,

то зручно від диференціала за статистичною вагою перейти до диференціала за енергією

dp(E) = p(E) [dΓ(E)/dE] dE.

Тепер обчислення інтеграла нормування дасть наступний результат

∫ dp = ∫ p(E) [dΓ(E)/dE] dE = p( ͞E ) [dΓ(͞E)/dE] ΔE = 1.

Звідси

ΔΓ( ͞E ) = [dΓ(͞E)/dE] ΔE.

Стосовно ж системи жодних припущень щодо її конкретних статистичних властивостей, можна не робити. Важливим є лише те, що система лише незначним чином може впливати на термостат. Останнє означає, що незалежно від закону розподілу ймовірностей для станів системи, закон розподілу ймовірностей для термостату визначається лише його властивостями, які надзвичайно близькі до властивостей всієї замкненої системи. Якщо її закон розподілу мікроканонічний, то і для термостату він буде мікроканонічним. Важливо лише, що статистична вага замкненої системи буде добутком статистичних ваг термостату і системи, тобто

dp(E, ε) = С(E₀) δ(E + ε – E₀) dΓ(E) Δγ(ε).

Тут ми не конкретизуємо величину Δγ(ε), вважаючи, що вона може відповідати як дискретному розподілу точок, так і квазінеперервному. В останньому разі Δγ(ε) = dγ(ε).

Якщо цей закон розподілу для замкненої системи зінтегрувати за станами термостату, то ми отримаємо закон розподілу ймовірностей для нашої системи

p`(ε) = С(E₀) ∫ δ(E + ε – E₀) dΓ(E) Δγ(ε).

Цей закон розподілу суттєво залежатиме від статистичної ваги мікростанів системи γ(ε). Якщо цікавитимемось лише ймовірністю одного довільного стану системи (мікростану) p(ε), то, оскільки

p`(ε) = p(ε) Δγ(ε),

то він від статистичної ваги мікростанів вже не залежатиме

p(ε) = С(E₀) ∫ δ(E + ε – E₀) dΓ(E).

Зручно перейти від інтегрування за статистичною вагою до інтегрування за енергією, оскільки аргументом дельта-функції є саме енергія. У цьому разі, з урахуванням співвідношення ΔΓ( ͞E ) = [dΓ(͞E)/dE] ΔE, матимемо

p(ε) = С(E₀) ∫ [ΔΓ( ͞E )/ΔE] δ(E + ε – E₀) dE.

У висліді інтегрування

p(ε) = С(E₀) [ΔΓ( ͞E )/ΔE]_E_{0 -}_ε.

Оскільки кількість елементарних подій або мікростанів термостату, або просто точок його фазового простору пропорційна його об`єму, а останній пропорційний кубу енергії її енергії, тобто Γ(E) ~ E³, то ΔΓ(Е) ~ E² ΔE. Враховуючи, що енергія термостату є надзвичайно великою, маємо для відповідних числових значень ΔΓ >> ΔE. Це означає, що з двох величин ΔΓ і ΔE від енергії суттєво залежить лише величина ΔΓ. Для величини ΔE цією залежністю можна знехтувати і об`єднати цю величину з нормувальним множником С(E₀), замінивши його множником

С`(E₀) = С(E₀)/ΔE.

Величина ж ΔΓ безпосередньо пов`язана з термодинамічною характеристикою термостату, що називається ентропією

S(͞E) = ln[ΔΓ(E)].

Тут ми ввели ентропію чисто формально. Її реальний зміст для нашого конкретного випадку ми розглянемо пізніше. Математична зручність цієї величини у тому, що вона залежить від середньої енергії термостату вже не так сильно як відповідна статистична вага, оскільки ентропія є показником експоненти, яка визначає енергетичну залежність від середньої енергії статистичної ваги. Важливо, що ентропія у даному разі є характеристикою макроскопічного його стану термостату, що характеризується саме його середньою енергією ͞Е. Оскільки середня енергія з переважаючою ймовірністю знаходиться у дуже вузькому інтервалі енергій ΔE, який має статистичну вагу ΔΓ(E), то ця статистична вага є характеристикою даного макростану, а відповідно його характеристикою є і ентропія.

Оскільки E = E₀ – ε, то ентропію можна розвинути в ряд за степенями малої величини ε

S(E) = S(E₀) – ε dS(E₀)/dE.

Проте і похідна ентропії за енергією має чітко визначений фізичний сенс. Це так звана температура термостату. Про її фізичний зміст для нашого конкретного розгляду ми також поговоримо пізніше. Але оскільки наша система і термостат знаходяться у стані термодинамічної рівноваги, то це і температура системи, а також і температура всієї замкненої системи – термостата плюс системи

dS(E₀)/dE = 1/T.

Остаточно закон розподілу ймовірностей мікростанів спільноти за її сукупним майном визначатиметься так

p(ε) = z^-1 exp(- ε/T).

У статистичній фізиці він називається канонічним розподілом, або розподілом Гіббса, нормувальний множник - статистичною сумою. Остання формально визначатиметься так

z^-1 = С`(E₀) exp[S(E₀)],

але у кожному конкретному випадку її доцільно визначати з умови нормування.

Важливо зазначити, що температура є характеристикою всієї замкненої системи. Якщо наша мала система також є макроскопічною, тобто складається з статистично великої кількості елементів, то температура характеризує і термостат, і цю систему однаковим чином. У разі, якщо система складається з небагатьох елементів або навіть з одного, то температура є характеристикою лише термостату. А от статистична сума є характеристикою виключно самої системи. Алгоритм її знаходження залежить від конкретного закону залежності статистичної ваги від енергії Γ(E).

Якщо майнові стани малої спільноти дискретні, які саме ми не конкретизуємо, то умова нормування матиме вигляд

z^-1 = Σ_n exp(- ε_n/T),

де підсумовування здійснюється за всіма можливими станами системи. Отже,

p(ε_n) = exp(- ε_n/T) /z.

Канонічний розподіл ще називається розподілом Гіббса.

Температура - середній матеріальний ресурс

Зручність температури я характеристики фізичної системи полягає у тому, що вона легко вимірюється у разі її невеликих значень термометрами. З фізичної точки зору вона характеризує інтенсивність руху атомів або молекул, з яких складається фізична система. Якщо висловитись точніше, то вона напряму пов`язана з кінетичною енергією цих частинок матерії, відрізняючись від кінетичної енергії лише числовим коефіцієнтом. У разі людської спільноти температура визначає середню кількість матеріальних ресурсів, які контролює окрема людина. Конкретний вигляд цієї залежності визначатиметься конкретною моделлю системи. А зараз ми розглянемо ті властивості температури, що не залежать від моделі.

Розглянемо дві системи, що знаходяться у стані рівноваги між собою. Прикладом таких систем можуть бути населення Сполучених штатів і Канади. Проігноруємо економічну взаємодію цих держав з іншими країнами світу. Тобто вважатимемо систему Сполучені штати і Канаду з сукупними матеріальними ресурсами ε_{1 і} ε₂замкненою системою. Ясно, що у цьому разі їх спільний матеріальний ресурс зберігається

ε = ε₁ + ε₂ = const.

Очевидно, у разі статистичної рівноваги кількість матеріальних ресурсів, що за великий проміжок часу перетинає кордон між цими країнами в обох напрямках, приблизно дорівнює нулю. Пізніше, при обговоренні ентропії, буде зазначено, що у стані статистичної рівноваги ентропія замкненої системи має максимально можливе значення. Вважатимемо, що система знаходиться у стані статистичної рівноваги, якщо як би ми її не поділили на дві частини за достатньо великий проміж часу обмін енергією між цими частинами дорівнює нулю. Ентропія замкненої системи є сумою ентропій кожної з країн

s(ε) = s(ε₁) + s(ε₂) = s(ε₁) + s(ε - ε₁)

і залежить лише від однієї з енергій ε_1, ε₂. З умови екстремума цієї функції за змінною ε₁маємо

ds(ε)/dε₁ = ds(ε₁)/dε₁ + ds(ε - ε₁)/dε₁ = 1/T₁ – 1/T₂ = 0.

Звідси випливає висновок: температури двох систем, що знаходяться у стані статистичної рівноваги між собою і у сукупності утворюють замкнену систему, однакові. Рівність температур Сполучених штатів і Канади означає, що добробут громадян в обох країнах приблизно на одному рівні і з матеріальної точки зору немає різниці у якій країні жити.

Якщо ж дві системи, які сукупно утворюють замкнену систему, не знаходяться у стані статистичної рівноваги, то їх сукупна ентропія буде меншою, ніж у разі досягнення цієї статистичної рівноваги. Це означає, що у процесі еволюції такої замкненої системи до стану рівноваги сукупна ентропія буде зростати, тобто її похідна буде додатною

ds(ε)/dt = ds(ε₁)/dt + ds(ε - ε₁)/dt = [ds(ε₁)/dε₁ + ds(ε - ε₁)/dε₁] dε₁/dt =

= (1/T₁ – 1/T₂) dε₁/dt > 0.

Якщо температура другої країни більша за температуру першої країни T₂ > T₁, то dε₁/dt > 0 і матеріальні ресурси першої держави будуть зростати, а другої зменшуватись. На прикладі Сполучених штатів і Мексики, якщо їх розглядати як замкнену систему, зрозуміла невигідність для Сполучених штатів відкритість їх кордону з Мексикою. Через цю обставину відбувається вирівнювання життєвих рівнів обох країн за рахунок саме Сполучених штатів. Тому зрозумілим є і прагнення України до вступу у Європейське економічне співтовариство. У цьому разі відбуватиметься швидке підвищення життєвого рівня українців за рахунок кран співтовариства. Матеріальний сенс температури для людської спільноти можна зрозуміти на такому простому прикладі.

Приклад. Розглянемо максимально просту модель спільноти людей – певний аналог ідеального газу у статистичній фізиці. Ця спільнота має три характерні властивості. Перша: матеріальні ресурси, що перебувають у окремих членів спільноти змінюються незалежно один від одного. Це означає відсутність будь-якої спільної власності у окремих членів даної спільноти. У цьому разі матеріальні ресурси окремих людей ε₁, ε₂, …, ε_n є незалежними, а також і змінюються незалежно один від одного. Друга: всі члени абсолютно ідентичні один одному від народження і за соціальними умовами виховання. Третя: енергії окремих осіб не залежать від координат. Всі три припущення доволі далекі від реального життя. Перше припущення справедливе хіба що для тоталітарного суспільства, члени якого мають мінімальні матеріальні ресурси у особистій власності і майже не мали спільної власності. Друге припущення не описує жодне реальне суспільство, але відповідає уявленням філософів-романтиків про ідеальне суспільство. Проте саме на таких уявленням базується сучасна правова система західних країн. Друге припущення означає, що єдиними характеристиками окремих людей є величини ε₁, ε₂, …, ε_n і вони не мають внутрішньої структури, що несла б відбиток індивідуальності окремої людини. Третє припущення означає, що матеріальний добробут людей не залежить від місця проживання, хоча очевидно, що це не так. Наприклад, рівень життя у столиці держави завжди вищий за рівень життя у віддаленому селі.

Для опису такої спільноти використаємо канонічний розподіл ймовірностей

P(E) = exp(- E/T) /Z.

Тут енергія системи є сумою незалежних доданків

E = ε₁ + ε₂ + … + ε_n.

Якщо майнові стани спільноти утворюють континуальну множину, знизу обмежену нулем, а зверху нескінченістю, і кожному майновому стану відповідає лише один мікростан, тобто dγ(ε)/dε = 1, то умова нормування для канонічного розподілу має вигляд

Z = ∫ exp(- E/T) dγ = ∫ exp(- ε₁/T) dγ₁ ∫ exp(- ε₂/T) dγ₂ … ∫ exp(- ε_n/T) dγ_n =

=∫dr₁ ∫dε₁exp(- ε₁/T)∫dr₂∫ dε₂exp(- ε₂/T) … ∫dr_n∫dε_n exp(- ε_n/T) =

= [∫ exp(- ε/T) dε]ⁿ= VⁿTⁿ.

Тут ми врахували, що енергії окремих осіб не залежать від їх координат і можна інтегрувати незалежно за координатами і енергіями. Звідси

P(E) = exp[-(ε₁ + ε₂ + … + ε_n)/T] /(VⁿTⁿ) = p(ε) = [exp(- ε/T)/ (V T)]ⁿ

де V - об`єм системи. Тобто закон розподілу ймовірностей нашої людської спільноти є добутком однакових законів розподілу окремих людей. Кожний з них є відомим з математичної статистики показниковим розподілом (з точністю до множника V)

p(ε) = exp(- ε/T)/ (V T).

Якщо за допомогою цього розподілу знайти математичне сподівання, то

͞ε = T.

Тепер ми можемо легко надати температурі людської спільноти конкретного фізичного змісту: температура дорівнює середній кількості матеріальних благ, що припадають на одну людину. Вища температура відповідає вищому матеріальному добробуту людей. Таку температуру можна легко обчислити теоретично, виходячи з її фізичного сенсу.

Отриманий нами показниковий розподіл ймовірностей можна застосувати не лише як характеристику окремої людини, але і як характеристику всієї людської спільноти. Зроблене нами припущення про ідентичність людей дозволяє інтерпретувати ймовірність p(ε) не лише як ймовірність пересічної людини мати той, чи інший рівень матеріального добробуту, але і як долю всіх людей, що мають рівень добробуту ε. Цікавим і важливим є той факт, що навіть для абсолютно ідентичних людей з точки зору генетики і стартових умов виховання і навчання, їх матеріальний добробут в результаті дії стихійних сил реального життя буде розподіленим за показниковим законом. Останній означає, що людей з малим рівнем добробуту завжди буде набагато більше, ніж людей з великим рівнем добробуту. Цієї нерівності можна уникнути лише за допомогою насилля, тобто за рахунок нехтування свободою людей.

Отже перед людством завжди існує така альтернатива: свобода без рівності або рівність без свободи. Тому засадниче гасло масонів, яке піднімало мільйони людей на бунт проти законної влади (французька революція) – за рівність і свободу – є внутрішньо суперечливе і фізично не здійсненне.

Малюнок. Ймовірність статків в залежності від величини цих статків для пересічної людини при температурі суспільства, рівній 1, тобто прожитковому мінімуму.

Площу під графіком можна розбити на три характерні ділянки: від 0 до 2 – бідна частина населення; від 2 до 4 – середній клас; більше 4 – багата частина населення. Бачимо, що при низькій температурі суспільства, коли температура – середня кількість матеріальних ресурсів, що припадає на одну людину дорівнює прожитковому мінімуму, тобто 1, більшість людей є бідними, майже на порядок менша їх кількість належить до середнього класу і дуже мала може вважатись багатою. Щодо найбіднішої частини населення слід зробити наступне зауваження. Коли особистий матеріальний ресурс людини значно менший за прожитковий мінімум, то така ситуація не сумісна фактом фізичного виживанням цієї людини. Ясно, що сучасне суспільство не може дозволити значній кількості своїх членів помирати з голоду. Завжди існують державні і недержавні організації, які опікуються знедоленими з різних причин людьми. Наведена крива відповідає результату дії лише випадкових сил у житті суспільства. Врахування не стихійних сил в життя суспільства, зазначених вище, призводить до суттєвої відмінності реальної кривої від теоретичної саме в області малих значень енергії.

З математичної точки зору для малих температур слід використовувати розподіли Фермі або Бозе.

Універсальним шляхом розв`язання проблеми знедолених є підвищення температури суспільства. На наступному малюнку видно, як при зростанні температури суспільства швидко зменшується відсоток знедолених людей, що вимагають для свого існування втручання держави або благодійних організацій.

Малюнок. Ймовірність статків в залежності від величини цих статків для пересічної людини при температурах суспільства, рівних 1, 3, 5 прожитковим мінімумам.

Температури багатих держав у десятки разів вищі, ніж температури бідних, тому прошарки бідних людей у багатих державах незначні. І саме тому населення бідних країн прагне потрапити у будь-який спосіб на території багатих держав. Саме для запобігання цього напливу небажаного населення на свою територію, Сполучені штати на кордоні з Мексикою вже багато років будують непроникну стіну.

Природна ж неоднаковість людей, так само як і різноманітність їх стартових умов є ще однією надзвичайно вагомою підставою для їх майбутньої матеріальної нерівності у дорослому самостійному житті. Така нерівність є універсальною властивістю світу живого: рослинного і тваринного. Саме така нерівність є фундаментом еволюції всього живого на Землі від примітивних одноклітинних організмів до колосального різноманіття сучасного життя на планеті.

Ентропія - свобода

Ентропію нашої системи s(ε) можна виразити і через її функцію розподілу ймовірностей p(ε_n). Для цього її умову нормування

Σ_n p(ε_n) = 1

зручно записати у вигляді інтегралу

∫ p(ε) dγ = 1.

Тут інтегранда, як і у разі термостату, має гострий пік і відмінна від нуля лише у вузькій області Δγ(͞ε). Тоді інтеграл з великою точністю можна замінити простим добутком і умова нормування матиме вигляд

p(͞ε) Δγ(͞ε) = 1.

Виходячи з означення ентропії системи, маємо

s(͞ε) = ln[Δγ(͞ε)] = - ln[p(͞ε)] = (f- ͞ε)/T = <(f- ε)/T > = <ln[p(ε)]>.

Тут ми врахували ту обставину, що ентропія лінійно залежить від середньої енергії системи, а для лінійних функцій усереднення можна переносити з аргументу на саму функцію. Отже, повертаючись від інтегрування до підсумовування, матимемо

s(͞ε) = - Σ_n p(ε_n) ln[p(ε_n)].

Якщо ж для конкретної системи адекватнішим є використання інтегралу, то вираз для ентропії буде наступним

s(͞ε) = - ∫dr ∫dε ρ(ε) ln[ρ(ε)].

Тут ρ(ε) – вже не ймовірність, як у разі підсумовування, а густина ймовірності. Зв`язок між ймовірністю і густиною ймовірності можна конкретно встановити лише за конкретизації залежності густини станів від енергії системи.

Другий закон термодинаміки (про перший закон мова йтитиме нижче) можна сформулювати на основі ентропії. «У замкнутій системі ентропія не зменшується; з часом вона або зростає, або залишається сталою». Стосовно людської спільноти сказане означає, що суспільство, надане саме собі розвивається у напрямку до більшої матеріальної свободи його громадян. Зрозуміло, що мова йде про рівноважний стан суспільства. Будь-яке збурення суспільства завжди супроводжується зменшенням свободи його громадян. Оскільки особиста свобода базується на матеріальній свободі, то зростання добробуту людини означає і зростання її особистої свободи.

Третій закон термодинаміки також стосується ентропії. Для фізичної системи він формулюється так: «Ентропія чистої кристалічної речовини прямує до нуля при температурі, що прямує до абсолютного нуля». Стосовно людської спільноти це означає, що при падінні добробуту люди поступово упорядковуються у «кристалічну гратку», де про якусь індивідуальність не може бути і мови. Тобто їх індивідуальна свобода (ентропія) прямує до нуля. Тому не випадково програма ілюмінатів, а за нею програма комуністів (див. Маніфест комуністичної партії) вимагали скасування приватної власності. В рамках нашої моделі ця вимога аналогічна прямуванню температури суспільства до нуля, а одночасно з нею прямуванню до нуля і матеріальної і особистої свободи людини.

Але не для всякої системи ентропія прямує до нуля при прямуванні до нуля температури. Якщо система неоднорідна, то при кристалізації системи можуть утворюватися дефекти гратки. У цьому разі навіть за нульової температури може існувати залишкове ненульове значення ентропії. Можливо не випадково для максимального контролю в армії над солдатами у кожному підрозділі їх намагають підібрати одного віку і навіть однієї національності, не говорячи вже про однакову стать. Програма комуністичної партії, викладена у маніфесті комуністичної партії передбачала повну атомізацію суспільства через руйнування родини і повне позбавлення людей приватної власності через глобальну її націоналізацію. Це виглядає як створення максимально сприятливих умов для реалізації третього закону термодинаміки, тобто максимальне позбавлення людини особистої свободи.

Приклад. Для показникового розподілу, що описує розподіл ймовірностей окремої людини, густина ймовірностей має вигляд

ρ(ε) = exp(- ε/T)/ (V T)

ентропія має наступний вигляд

s(͞ε) = ln(V T) +͞ε / T.

Для сукупності з N ідентичних в обговорюваному вище сенсі людей,

S(͞E) = N [ln(V T) +͞ε / T].

Якщо матеріальну свободу людей вимірювати їх ентропією, то видно, що ця свобода зростає із зростанням температури суспільства за логарифмічним законом. Вільне суспільство – це багате суспільство. При прямуванні температури до нуля ентропія відповідно до отриманої формули спочатку прямує до нуля, при T=1/e дорівнює нулю, а далі набуває від`ємних значень. Це протирічить третьому закону термодинаміки. Проте тут слід мати на увазі наступну обставину. Температура суспільства не може бути нульовою, оскільки при такій температурі людська спільнота не може фізично існувати (ми домовились вимірювати температуру у величинах прожиткового мінімуму). В рамках нашої моделі p з математичної точки зору граничним значенням температури, меншим за яке вона не може бути, є T=1/e. З фізичної точки зору воно не може бути меншим за 1.

Малюнок. Залежності ентропії і влади від температури

З малюнка видно, що особиста свобода людини монотонно зростає із зростанням добробуту-температури суспільства. Цей закон зростання є практично логарифмічним. Саме тому так званий цивілізований світ складається з багатих країн, де паралельно існує і високий рівень особистої свободи. Відповідно залежність влади над людиною з боку держави є монотонно спадною функцією, тобто чим багатша в середньому пересічна людина, тим меншу владу над нею має держава або інша людина.

Особиста свобода людини полягає у можливості якісно харчуватись, якісно лікуватись, жити у комфортних житлових умовах, працювати за покликанням на високооплачуваній роботі тощо. Всі ці можливості відкриваються перед пересічною людиною у багатій країні. Тому патріотизм щодо своєї нації і держави виправданий і з еволюційної, біологічної точки зору

Дисперсія - нерівність

Дисперсія є важливою характеристикою закону розподіу ймовірностей. Вона визначає розкиданість значень випадкової величини щодо її середнього значення. Дисперсія задається так

D(ε) = <ε²> - <ε>².

Корінь квадратний з дисперсії називається середнім квадратичним відхилення. Якщо розглянути інтервал

[<ε> - D(ε)^1/2, <ε> + D(ε)^1/2],

то ймовірність того, що значення випадкової величини ε не належать цьому інтервалу, надзвичайно мала. Середнє квадратичне відхилення може бути ефективною характеристикою людської спільноти. Чим більшим воно є, тим більшим є реальна відмінність у доходах різних груп людей і навпаки. Майнова нерівність тотожна нерівності рівня свободи різних людей. Розглянемо цю ситуацію на конкретному прикладі

Приклад. Нехай закон розподілу ймовірностей для пересічної людини є показниковим

ρ(ε) = exp(- ε/T)/ T.

Внутрішня енергія такої спільноти є

E = N ͞ε,

а дисперсія

D(ε) = N T².

Видно, що дисперсія зменшується з температурою як її квадрат. Тобто чим нижчим є добробут людей, тим нижчою є їх нерівність. Відповідно тим нижчою є і їх свобода. На цьому прикладі добре видна непослідовність масонського гасла: «Свобода, рівність і братерство». Під цим гаслом мільйони людей у різні часи і у різних країнах піднімались на бунт проти законної влади, руйнували власні держави. Це і нідерландська, і англійська, і французька революції. Насправді з трьох термінів: свобода, рівність, братерство вони реально розуміли і прагнули реалізувати лише один – рівність. Заклик до братства не заважав їм пролити море крові найкращих представників власного народу, а слово свобода вони просто не розуміли. У висліді вони суттєво знекровили власну інтелектуальну еліту, суттєво зменшили кількість заможних людей і середній рівень життя решти, суттєво зменшили рівень свободи у суспільстві, оскільки влада аристократії не була такою деспотичною як влада представників черні, що прорвались на вищі її щаблі, але досягли більшої рівності. Це досягнення заспокоїло бунтівників.

Вільна енергія - робота

Канонічний розподіл або розподіл Гіббса можна записати і у іншому вигляді, а саме

p(ε_n) = exp[(f- ε_n)/(V T)] ,

де величина

f = - T ln(z)

називається в термодинаміці вільною енергією. У даному разі вільна енергія також певним чином характеризує енергетичний стан нашої системи. Для канонічного розподілу легко встановити взаємний зв`язок середньої енергії, вільної енергії, ентропії і температури

s = (f- ͞ε)/T.

Звичайно цей зв`язок записують так

f = ͞ε – T s.

Його можна записати у вигляді диференційного рівняння

df = d ͞ε – T ds.

Виписане рівняння називається першим законом термодинаміки.

Важливість вільної енергії, як енергетичної характеристики системи, полягає у тому, що її зміна дорівнює виконаній над тілом або тілом роботи

dA = dF.

Стосовно енергії (внутрішньої енергії) такого зв`язку між енергією і роботою немає. Зміна внутрішньої енергії системи призводить не лише до виконання роботи над системою або зовнішнім середовищем, але і до зміни майнового стану самої спільноти через зміну ентропії. При обчисленні диференціала вільної енергії ми маємо враховувати її залежність від температур.

Приклад. Знайдемо вільну енергію спільноти ідентичних людей. Для пересічної людини закон розподілу ймовірностей її статків, як було показано вище, є показниковим

ρ(ε) = exp(- ε/T)/ (V T).

Енергія такої спільноти

E = N ͞ε,

ентропія

S(͞E) = N [ln(V T) +͞ε/T].

Вільна енергія

F(T, V) = E – T S = - N T ln(V T).

Її диференціал

dF = - N [ln(V T) + 1] dT = dA.

Якщо температура системи зростає, то dT > 0, при цьому dF < 0, тобто зростання температури можливе лише за рахунок зовнішнього джерела. Для цього над системою потрібно виконати роботу, абсолютна величина якої │dA│= N [ln(T) + 1] dT. Якщо температура системи спадає dT < 0, при цьому dF > 0, то таке зменшення температури супроводжується зменшенням її внутрішньої енергії і виконанням роботи над зовнішнім середовищем, величина якої dA = N [ln(T) + 1] dT.

Яскравим прикладом використання розглянутої закономірності є індустріалізація в Радянському союзу. У тридцяті роки більшість населення Радянського союзу мешкала у селі. Роль зовнішнього середовища тут відігравала держава, створена більшовиками. Її промисловий потенціал був мізерним і абсолютно недостатнім для здійснення світової революції, з ідеєю якої носились тоді більшовики і їх хазяї. Потрібна була індустріалізація. Для такого масштабного будівництва були необхідні колосальні ресурси. Одним з джерел цих ресурсів були якраз селяни. В умова Нової економічної політики двадцятих років їх життя майже налагодилось і почало навіть нагадувати життя до більшовицького перевороту 1917 року. Тобто вони знову напрацьовували і споживали доволі суттєвий матеріальний ресурс. Мовою нашої моделі це означає, що температура села була доволі високою. Цей ресурс більшовики вирішили використати для індустріалізації. Перше, що вони зробили – відібрали у селян землю і засоби її обробітку (так звана колективізація сільського господарства). Селяни залишились без приватної власності. Життєвий рівень села суттєво впав. Село, як система, виконало роботу по створенню промислового потенціалу Радянського союзу. Друге, що вони зробили, – це примусили селян важко працювати у колгоспі, не сплачуючи їм нічого за працю. Фізично виживати селяни мали за рахунок невеликих присадибних ділянок, що залишились у них для господарювання (не у власності). Це звільнило додатковий ресурс на користь індустріалізації, тобто ще зменшило температуру села. Для того, щоб від такого життя селяни не втекли у міста, їм не видавали паспорти і не дозволяли без дозволу залишати село навіть на добу. Фактично влада використовувала запропоновану нами модель на чисто інтуїтивному рівні. Про інтелектуальні можливості тодішньої влади можна особливо не поширюватись. Знання таблиці множення серед її типових представників було великим досягненням. Про дії з дробами можна було б і не згадувати.

Влада

Ми виходимо з того, що особиста свобода і влада над особистістю тісно між собою пов`язані. Можна запропонувати різні форми цього зв`язку. Ми пропонуємо одну з таких можливих форм. Вважаємо, що влада над особистістю v(T) просто є оберненою величиною щодо її особистої свободи s(T)

v(T) = c / s(T).

Значення сталої с визначається точкою відліку влади над особистістю. Для ентропії s(T) такою природною точкою відліку є нуль температури. Для влади над особистістю ця точка не може бути точкою відліку, оскільки величина влади у цьому випадку просто дорівнює нескінченості. Якщо в якості точки відліку для влади взяти температуру, що дорівнює трансцендентному числу е і відповідає середині майнового інтервалу, відведеному нами для середнього класу при Т=1, то с=2.

Всі диктатори прагнуть максимальної влади над громадянами своєї країни. Згідно з нашим підходом це можливе лише у разі жебрацького стану цих громадян. Високий життєвий рівень громадян і диктатура речі несумісні. Саме тому однією з головних вимог комуністичного маніфесту є повне скасування приватної власності. Згідно з нашою моделлю це автоматично означає майже нульове значення особистої свободи громадян. Тобто глобальною метою комуністичного руху – світової революції – було встановлення глобальної світової диктатури над людьми земної кулі. Але диктатура в ім`я чого або кого?

Тиск - агресивність

Термодинамічна система у статистичній фізиці має таку важливу характеристику як тиск. За означенням

P = - [∂F(T, V) / ∂V]_T.

Для неодноразово використовуваної вище моделі людської спільноти

F(T, V) = - N T ln(V T).

У висліді

p = n T,

де – середня густина людей на території певної країни. Ця формула з точністю до числового коефіцієнта збігається з формулою для ідеального газу елементарних частинок, або атомів, або молекул. Відповідний числовий коефіцієнт у цьому разі потрібен для того, щоб вимірювати температуру фізичної системи у зручних для практики одиницях – градусах Кельвіна і називається сталою Больцмана. Так само як і для фізичних систем у разі людських спільнот їх тиск залежить від середньої густини населення даної країни і його життєвого рівня і прямо пропорційний цим величинам. З цієї точки зору слід очікувати небезпечних дій з боку такої країни як Китай – країни перенаселеної і з доволі високим життєвим рівнем населення.

Агресивність Московії також у часовому вимірі зростала пропорційно життєвому рівню її населення. Коли за рахунок переважно нафтодоларів життєвий рівень Московії значно перевищив життєвий рівень України, Московія напала на Україну. При цьому в якості середньої густини населення Московії слід брати густину населення на територіях, придатних для проживання, а не на всій території Московії.

Якщо в якості системи розглядати конкретну країну, то тиск визначає потенційний рівень її агресивності щодо сусідів. Якщо тиск сусідніх країн такий же, то немає підстав очікувати агресивних дій даної країни щодо сусідніх або навпаки. Якщо тиск з боку сусідніх країн вищи за тиск всередині даної країни, то слід очікувати агресії цих країн на дану. Якщо тиск даної країни вищий за тиск у сусідніх країн, то цілком ймовірною є агресія даної країни щодо сусідніх.

Шукати в цьому блозі

Science with Shvets V. T.